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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练27


1.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 A.

9 ,底面是边长为 3 的正三角形,若 P 为底面 A1 B1C1 的 4

5? 12

B.

? 3

C.

? 4


D.

? 6

2.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于(



A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

设 AA1 ? 2 AB ? 2 ,则 OC ?

2 2 9 3 AC 2 2 2 ) ? 22 ? ? 2. , C1O ? OC ? CC1 ? ( ? 2 2 2 2 2

3.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦 值为( (A) )

5 5

(B)

5 3

(C)

2 5 5

(D)

3 5

4. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦 值为____________.

【答案 】

6 3

5.如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

7.如图,直棱柱 ABC- A1 B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, AA1 =AC=CB=

2 AB. 2

(Ⅰ)证明: BC1 //平面 A1CD ; (Ⅱ)求二面角 D- AC 1 -E 的正弦值.

所以二面角 D- AC 1 -E 的正弦值为

6 . 3

9.如图, 在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点,P 是 BM 的 中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC .

(Ⅰ)证明: PQ // 平面 BCD ; (Ⅱ)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 0 ,求 ?BDC 的大小.

tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3

? tan ? ? 3 ?? ? (0,90? ) ?? ? 60? ??BDC ? 60? .

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理】 如图 5,在直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AD // BC,

?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1, AD ? AA1 ? 3.
(I)证明: AC ? B1 D ; (II)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值.

????? 平面ACD1 的一个法向量;因为 B1 ( 3, 0,3) , C1 ( 3,1,3) ,所以 B1C1 ? (0,1, 0) 所以直线 B1C1与平面ACD1 所成
角的正弦值 sin ? ?

3 21 ? 7 7

12.如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中 点.

(Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明;
???? 1 ??? ? (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ? CP . 记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 2

? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? .

??? ? ??? ? b2 ? c 2 | FE ? QP | a ? ??? ? ? 所以 cos ? ? ??? ,从而 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . | FE | ? | QP | a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2

13.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 , M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

[来源:学科网 ZXXK]

? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) .

14.

如图,直三棱柱 ABC ? A/ B / C / , ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ; (Ⅱ)若二面角 A/ ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值.

15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O.

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1 B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.

得 AE ?

AO 2 5 ? AA1 5

16.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离 的最小值为 .

Q E1

17.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离 为( A.2 ) B.

3

C. 2

D.1

18.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的 求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______.

三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高为

2 3 2 3 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ? . ? 3 3 3

19.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直 行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

D A D1 B

线 BC1 平

C C1 B1

A1

20.如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90?, BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

(I)证明: PB ? CD; (II)求点 A 到平面 PCD 的距离.

21.如图,直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB / /CD , AD ? AB , AB ? 2 , AD ? 一点, DE ? 1 , EC ? 3

2 , AA1 ? 3 ,E 为 CD 上

(1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C ; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

1 1 A1 E ? 2 3,EC1 ? A1C1 ? 3 2, ? S ?A1EC1 ? ? 2 3 ? 15 ? 45,S ?A1B1C1 ? ? 2 ? 2 ? 2, 2 2 10 10 ?VB1 ? A1EC1 ? VE ? A1B1C1 ,? 45h ? 2 ? 3,? h ? .即所求距离为 . 5 5

23.(2012 年高考天津卷理 科 17)(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD ,

AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?BAC ? 45? , PA=AD=2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 300 , 求 AE 的长.

25. 如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC , AB 上的点, CD ? BE ? 2 , O 为

BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .
C D O . E C A 图1 D 图2 B

A?

O E

B

(Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

A?

z

A?

C D H

O E

B

C D x

B O E
向量法图

y

所以

1. 如图,E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,PC=10,AB=6,
EF=7,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( A. 90° 【答案】B B. 60° C. 45° ) D. 30°

【解析】,取 AC 的中点 M,连结 EM,MF,因为 E,F 是中点,所以

MF / / AB, MF ?

1 6 1 10 AB ? ? 3 , ME / / PC , ME ? PC ? ? 5 ,所以 MF 与 ME 所成的角即为 AB 与 PC 所成的角。 2 2 2 2

在三角形 MEF 中, cos EMF ?

52 ? 32 ? 7 2 ?15 1 ? ? ? ,所以 ?EMF ? 120? ,所以直线 AB 与 PC 所成的角为为 2? 5? 3 30 2

60? ,选 B.

13.【河北省保定市 2013 年高三第一次模拟考试】正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD
内运动,且满足∠DPD1=∠CPM,则点 P 的轨迹为( A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 )

c 双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 【答案】A 【解析】由 ?DPD1 ? ?CPM 得

MC DD1 2MC PD ,∴ ? ? ? 2 ,在平面 ABCD 内以 D 为原点建立平面直角坐 PC DP DP PC


标系 ADC,设 DC=1,P(x,y) ,P D ?P C 2 ∴

4 4 x 2 ? y 2 ? 2 x 2 ? ( y ? 1) 2 整理得 x 2 ? ( y ? )2 ? ,所以,轨迹为圆的一部分,故选 A. 3 9

14.【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】 (本小题满分 12 分)
如图,在长方体 A1 B1 C1 D1 ? ABCD 中, AD ? CD ? 4 , AD1 ? 5 , M 是线段 B1 D1 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求直线 DD1 与平面 D1 AC 所成角的正弦值.

D1 M A1 B1

C1

[来源:学科网 ZXXK]

AD1 ? ( ? 4 , 0 , 3 ) ,

16. 【云南玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考】 (本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,中,
AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动.

(1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

D1 A1 B1

C1

D A E B

C

17. 【浙江省嘉兴市 2013 届高三 4 月教学测试】如图,在△ ABC 中, ?C ? 90? , AC ? BC ? a ,点 P 在 AB 上, 沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 使平面 A' PE ? 平面 ABC ; 沿 PF PE // BC 交 AC 于 E ,PF // AC 交 BC 于 F . 将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)设
AP ? ? ,当 ? 为何值时,二面角 C ? A' B'? P 的大小为 60? ? PB

C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

E
C

A

P

化简得

1

?

2

? ?2 ?

8

?

? 8? ? 9 ? 0 ,解得 ? ?

7?3 5 . 2

…15 分

(本小题满分 12 分) 18. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=BC, ?ABC ? 90? ,Q 是 AC 上的点,AB1//平面 BC1Q , (Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置; (Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

2 ,求二面角 Q-BC1—C 的余弦值. 4

B1 A1 P

C1

B A Q

C

→ BC =(0,a,b),
1

3 3 → QC1=(- a, a,b). 4 4 因 QC1 与面 BC1C 所成角的正弦值为 2 , 4 …8 分

3 a |m·→ QC1| ___________ 4 ___________ ________ = 2,解得 b= 3 a. 故 = 4 2 3 2 |m|·|→ QC1| a +b2 4

?

设平面 C1BQ 的法向量 n=(x,y,z),则?

? ?n·→ QC1=0, ?n·→ BC =0, ?
1

3 ay+ az=0, ?- 43 ax+ 3 4 2 即? 取 n=(1,- 3 ay + az = 0 , ? 2 m·n 2 所以有 cos ?m,n?= = . |m|·|n| 4 故二面角 Q-BC1-C 的余弦值为 2 . 4

3,2).

…10 分

…12 分

19. 【江西省南昌市 2013 届二模考试】如图已知:菱形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

AB=2AD=2CD=4, ?ABE ? 60 , ?BAD ? ?CDA ? 90 , 点 H,G 分别是线段 EF,BC 的中点.
? ?

(1)求证:平面 AHC ? 平面 BCE; (2)点 M 在直线 EF 上,且 EF//平面 AFD,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值.

20. 【湖北省
黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试】 . (本题满分 12 分)如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平 面 PDCE ^ 平面 ABCD ,

1 ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a . 2
(Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小.

2 ?? ?? ? n1 ? n2 1 ∴ cos ? ? ?? ?? ,所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60° . ? ? 2 ? n1 ? n2 1? 2 2
解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG , 连结 HC , ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D, ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D, 垂足为 H,

三.提升自我 21. 【湖北黄冈市 2013 年高三年级 4 月份模拟考试】
(本小题满分 12 分) 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AD⊥CD, AB//CD, AB=AD= 点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 垂合. (1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

1 CD ? 2 , 2

6 时,求三棱锥 M—BDE 的体积. 6

(Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

22.【湖北省八校 2013 届高三第二次联考】 ( (本小题满分 12 分)如左图,四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点,

DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5,

AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C

为 60?, 如右图. (1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.
1 (1) 取 BD 中点 F , 连结 EF , AF ,则 AF ? 1, EF ? , ?AFE ? 60? , 2

(2 分) ,由余弦定理知 AE ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? cos 60? ? (4 分) ,又 BD ? 平面 ,? AF 2 ? EF 2 ? AE 2 ,? AE ? EF , 2 2 ?2?
AEF , ? BD ? AE, AE ? 平面 BDC ;

?1?

2

1

3

(6 分)
3 1 ), C (?1, ,0) , 2 2

(2)以 E 为原点建立如图示的空间直角坐标系,则 A(0,0,

1 1 (8 分) ,设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , B(1, ? ,0), D(?1, ? ,0) , 2 2

23.【2013 年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】
如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥AD, AB∥CD, CD⊥AD, AD = CD 2AB = 2,E,F 分别为 PC,CD 的中点,DE = EC. (1)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (2) 设 PA = a, 若 平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 ? ? [ 的取值范围. (Ⅰ)? AB // CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2 , F 分别为 CD 的中点, =

? ?

, ], 4 3

求a

? ABFD 为矩形, AB ? BF

· · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

? DE ? EC,? DC ? EF ,又 AB // CD,? AB ? EF ? BF ? EF ? E,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE ,

?平面 ABE ⊥平面 BEF

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ) ? DE ? EC,? DC ? EF ,又 PD // EF , AB // CD,? AB ? PD 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
[来源:Zxxk.Com]

法一:建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) 2 ?? · · · · · · · · · 9分 平面 BCD 法向量 n1 ? (0,0,1) ,平面 EBD 法向量 n2 ? (2a, a,?2) ·

cos? ?

1 2 ?[ , ] ,可得 a ? [ 2 5 , 2 15 ] . · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 2 5 5 5a ? 4

2

法二:连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形,所以 K 为 AC 的中点,连 EK ,

24.【成都龙泉驿区 2013 届 5 月高三数学押题试卷】如图,四棱锥 P-ABCD
面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2,∠CDA=45° . (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (Ⅱ)设 AB=AP. (ⅰ) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° ,求线段 AB 的长; (ⅱ) 在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由. 解:解法一: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD, 所以 PA⊥AB,又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 所以 AB⊥平面 PAD,又 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PAD,………………………………………… …3 分 (Ⅱ)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A-xyz(如图). 在平面 ABCD 内,作 CE∥A B 交 AD 于点 E,则 CE⊥AD. 在 Rt△CDE 中,DE=CD· cos45° =1, CE=CD· sin45° =1. 设 AB=AP=t, 则 B(t,0,0),P(0,0,t). 由 AB+AD=4 得 AD=4-t,

中, PA⊥底

从 而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等.……………………………………12 分

25.【北京市朝阳区高三年级第二次综合练习】如图,四边形

P

H F E D G A B C

ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD , EA ? PD , AD ? PD ? 2EA ? 2 , F ,G , H 分别为 PB , EB , PC
的中点. (Ⅰ)求证: FG ? 平面 PED ; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线

PA 所成的角为 60? ?若存在,求出线段 PM 的长;若
不存在,请说明理由. (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . (Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , EA ? PD , …………4 分

所以

cos n1 , n2 =

n1 ? n2 n1 ? n2

=

2 . 2

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

? . 4

…………9 分

(Ⅲ)假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60? . 依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ? 1 .

???? ?

??? ?

【考点预测】
1.动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作垂直于面 BB1D1D 的直线与正方体表面交于 M、N , MN =y,则函数 x) D N? y=f(C 1 BP=x, C 2的解析式为 1
D2 B1 C2 P N C A2 D B2 M A B 图1 D2 A1 P? N P M 图2 B2 D1 M? A2
2

B1 P x

D2 D 图3

B2 B



3 2

<x≤ 3 ,则 MN=2 PD2=2 ( B2 D2 ? PB2 ) ? 2( 2 ?

6x 3

) = 2 2 ? 2 36 x .

∴y??

? 0 ? x ? 23 ? 2 36 x , . 2 6x 3 2 2 ? , ? x ? 3 ? 3 2 ?

2.已知圆柱 OO1 底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的一个轴截面.动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D, 其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示. 将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后, 边 B1C1

与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ? ? / 2 时,求点 C1 到平面 APB 的距离; (3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为 ? / 4 ?若存在,求出线段 BP 的长度; 若不存在,请说明理由.
C1

D
D1

O1

C

D

C1

C

P
B1

P

A
A1

O

?

B

A

B1

B

解法一: (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边 BA,曲线 ? 就是对角线 BD.由于 AB ? ? r ? ? ,

AD ? ? ,所以这实际上是一个正方形.

(3)由于二面角 D ? AB ? B1 为直二面角,故只要考查二面角 P ? AB ? B1 是否为 过 B1 作 B1Q ? AB 于 Q,连结 PQ. 由于 B1Q ? AB , B1P ? AB ,所以 AB ? 平面 B1 PQ , 所以 AB ? PQ . 于是 ?PQB1 即为二面角 P ? AB ? B1 的平面角.

? 即可. 4
C1

D
D1

O1

C

P
B1

A
A1

O

?

Q

B

? ?? . 在 Rt? PB1Q 中, B1Q ? sin ? , B1 P ? BB 1
若 ?PQB1 ?

?
4

,则需 B1 P ? B1Q ,即 sin ? ? ? .
'

令 f ( x) ? sin x ? x (0 ? x ? ? ) ,则 f ( x) ? cos x ? 1 ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, ? ) 单调递减.所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即

sin x ? x 在 (0, ? ) 上 (0, ? ) 恒成立.故不存在 ? ? (0, ? ) ,使 sin ? ? ? .也就是说,不存在 ? ? (0, ? ) ,使二面角
D ? AB ? B1 为

? . 4

解法二:如图,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 与 OB 垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.则

? ? ? ,所以 P(cos? ,sin ? ,? ) , C (cos ? ,sin ? , ? ) ,于 A(?1,0,0), B(1,0,0) , B1 (cos ? ,sin ? , 0) .由于 B1 P ? BB 1 1

是 AP ? (cos ? ? 1,sin ? , ? ) , AB ? (2, 0, 0) .

??? ?

??? ?

z
D
D1
O1

C1

C

P y A
A1
B1

O

?

Q

B

x

(1)同解法一;

(2)当 ? ?

?
2

时, AB ? (1,1,

??? ?

?

?? ??? ? ? ) , AB ? (2, 0, 0) ,所以 m ? (0, ? ,1) 是平面 APB 的一个法向量. 2 2

?? ???? ? | ?? ?? | ???? ? | m ? C1O | ? ?? ? 2 ? 又, OC1 ? (0,1, ? ) ,所以点 C1 到平面 APB 的距离为 h ? . |m| ?2 ?2 ?4 1? 4
(3)设 m ? ( x, y, z ) 是平面 APB 的一个法向量,则 ? 取 m ? (0, ?? ,sin ? ) . 又 n ? (1, 0, 0) 是平面 DAB 的一个法向量.

??

? x(cos ? ? 1) ? y ? sin ? ? z ?? ? 0 , 2x ? 0 ? 0 ? 0 ?

?? ?

?? ? ?? ? m?n sin ? 2 ? ? 由 cos ? m, n ?? ?? 得: sin ? ? ? .以下同解法一. 2 2 | m |?| n | ? ? sin ? 2

3. 如图,平面四边形 ABCD 的 4 个顶点都在球 O 的表面 上, 为球面上一点,且 PO ? 平面

AB 为球 O 的直
P

径, P 中点.
M B

ABCD , BC ? CD ? DA ? 2 ,点 M 为 PA 的
C

(1) 证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2) 求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值.
O D

A

(1) 证明:

AB为圆O直径 ? ? ? BC ? CD ? DA ? 2 且 AB ? CD , BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等 于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? ? OM // PB ? OD // 平面PBC ? AM ? PM ? ?? ? ? 平面ODM // 平面PBC OM // 平面PBC ? ? ?????????????????????????BC // OD ?
(6 分) (2) 以 O 为原点, 以平面 ABCD 内 BA 方向为 x 轴,
z

过 O 点且垂直于 AB
P

方向为 y 轴 以 OP 方向为 z 轴,建立如图所示坐标系. 则 P(0, 0, 2) , B(?2, 0, 0) , A(2, 0, 0) ,
C B

M

y

O

C (?1, ? 3, 0) , D(1, ? 3, 0) ,
由 PB ? (?2, 0, ?2) , BC ? (1, ? 3, 0) , 可知 n1 ? ( 3,1, ? 3) 由 PA ? (2, 0, ?2) , AD ? (?1, ? 3, 0) , 可知 n2 ? ( 3, ?1, 3) 则 cos ? ?

D

A

??? ?

??? ?

x

?? ?

??? ?

????

?? ?

| 3 ? 3 ? 1? (?1) ? (? 3) ? 3 | 1 ? , 7 3 ?1? 3 ? 3 ?1? 3

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为

1 . 7

(12 分)

42.如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?DAB ? 600 .点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,

EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平面 PEF ⊥平面 ABFED .
(1)求证: BD ⊥平面 POA ; (2)当 PB 取得最小值时,若点 Q
D A B E O F C A B F P D E O C

???? ??? ? 满足 AQ ? ? QP ( ? ? 0 ),试探究:
直线 OQ 与平面 PBD 所成的角是 否一定大于

第 18 题图

? ?并说明理由. 4

当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ············ 7 分 设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? , 由前知, OP ? 3 ,则 A(3 3, 0, 0) , B( 3, 2,0) , D( 3, ?2, 0) , P(0,0, 3) .
???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ?a, 0, 3 ? c ,

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

? 3 3 a? , ? ? ? a ? 3 3 ? ? ? a, ? ? ?1 ∴? . ?? ? ? c ? 3? ? c ? 3? ? ? c ? ? ?1 ?

∴ Q(

3 3 3? ,0, ), ? ?1 ? ?1

???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( ······ 10 分 , 0, ). ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .
??? ? ∵ PB ?

?

??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0 ? ,∴ ? ? ??4 y ? 0

?



? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) .

··············· 10 分

设直线 OQ 与平面 PBD 所成的 角 ? ,
???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n 3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

1 2

9 ? 6? ? ? 2 1 6? . ? 1? 2 9?? 9 ? ?2 2

? ? ∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 4 ? 因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 ,即结论成立. ··········· 12 分 4
又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?
2 . 2
F

E

5. 如图,AB 为圆柱的底面直径,过母线的截面 ACEF 是边长为 1 的正方形. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥平面 BCF; (Ⅱ)若平面 BEF 与平面 BCF 所成的二面角为 60° ,求圆柱的底面直径 AB 长.
A
C

B

设 BC = t 则 B(0, t , 0), F (1, 0,1), E (0, 0,1) ? BF
u r
uuu r uuu r (1, - t ,1), EF = (1, 0, 0)

设平面 BEF 法向量为 m = ( x, y, z )
u r uuu r ì ? m ?EF ? 镲 眄 u r uuu r 镲 镱 ? ? m ?BF ì ?x= 0 揶 0 ? x - ty + z = 0 0
r

z
E

u r m = (0,1, t )

F

又平面 BCF 法向量为 n ,由 AE ^ 平面 BCF, 故 n = (- 1, 0,1)
x
r

C

A

B
y

u r r cos m, n =

t t +1 2
2

=

1 ? t 2

1,

故直径 AB 长 2 ………12 分


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