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高中数学:希望杯竞赛试题详解(91-100题)


高中数学希望杯典型例题 100 道(91-100) 题 91 三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 90?,D 为底面 ABC 内的一点, ?APD ? 45?, ?BPD ? 60? ,则 ?CPD 的余弦值为______. (第九届高一第二试第 20 题) 解法 1 设 D 在 PA、PB、PC 三边上的投影分别是 E、F、G ,则由于 ?APD ? 45?, ?BPD ? 60? ,? PE ? PD cos 45? ? 2 1 PD, PF ? PD cos 60? ? PD. 2 2 PE 2 ? PF 2 ? PG2 ? PD2 , ? PG ? 解法 2 1 1 PD ,即 ?CPD ? 60? ,它的余弦值为 . 2 2 、 P、 B PC 如图 1,以 PA 为 棱 , PD 的 延 长 线 为 对 角 线 长 作 长 方 体 AFCP ? GEHB ,设 PA ? x, ?APD ? 45?, PA ? AE,? AE ? PA ? x. 又设 PB ? y, ?BPD ? 60?, PB ? BE, ? PE ? 2 y ? ?x ? 2y . 2 2 PA ? 2 x, cos 45? 2 2 P A B D F C PC ? GE ? AE ? AG ? x ? y , 2 2 PC ∴在 Rt ?PEC 中, cos ?CPE ? ? PE 即 ?CPD 的余弦值为 x2 ? y 2 y2 1 ? ? , 2y 2y 2 H E 图1 G 解法 3 如图 2,过 D 作平面 ? 垂直于 PD , 、 PC 于 A?、B?、C ? ,由已知有 分别交 PA、 PB 1 . 2 P C ?A?PB? ? ?B?PC? ? ? C? PA? ?90 ? , ? C? P ? 平 ? C?P ? A?B?, 从而 面 PA?B?, A?B? ? 平面 PA?B? , A?B ? ? 平面 PDC? ,连结 C ?D 并延长交 A?B ? 于 E ,连结 PE ,显然有 A?B? ? PE, A?B? ? C?E. 连结 A?D 、 A A’ E D B’ C’ B?D . 不 妨 设 B PD ? 1, ?A? P ?D 4 ? 5 A ? , P D? 图2 ?P 中 ?? D9 ? ? A 0? ?, , B?PD ? ?BPD 又? A P 2 . ? 60?, ?PDB? ? 90?, ? PB? ? 2. 在 Rt ?A?B?P 由 A?B? ? PA?2 ? PB?2 ? 6, PE ? A?B? ? A?P ? B?P, 得 PE ? A?P ? B?P 2 2 2 4 1 ? ? , ? ED ? PE 2 ? PD2 ? ?1 ? . A?B? 3 6 3 3 于是 tan ?DPC ? ? tan ?PED ? PD 1 ? 3, ?DPC ? ? 60?,? cos ?CPD ? cos ?DPC ? ? . ED 2 评析 由已知条件画出的图形, ?CPD 的余弦值可在 ?CPD 中由余弦定理求得,然而,三 边都不知道,这就是本题的难点之所在.如何突破? 解法 2 根据已知 ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 90? 这一特点,将已知三棱锥补成长方体,这 CP . 问 PE 题归结为解直角三角形,这就容易多了.解法 3 则通过过 D 作平面与 PD 垂直,从而使得 ? A

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