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基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程


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基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程
(研近年高考真题——找知识联系,找命题规律,找自身差距)

命题点一

基本初等函数?Ⅰ?

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:中、低

1.(2015·

山东高考)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.b<c<a

)

解析:选 C 因为函数 y=0.6x 是减函数,0<0.6<1.5,所以 1>0.60.6>0.61.5,即 b<a<1. 因为函数 y=x0.6 在(0,+∞)上是增函数,1<1.5,所以 1.50.6>10.6=1,即 c>1.综上,b<a<c. 2. (2013· 浙江高考)已知 a, b, c∈R, 函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

b 解析:选 A 由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 对称轴为 x=2,即- =2.所 2a 以 4a+b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-∞,2]上单调递减, 则抛物线开口方向朝上,知 a>0,故选 A. 3.(2014· 浙江高考)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能 是( )

解析:选 D 当 a>1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且 过点(1,0),由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函 数 g(x)=logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,又由幂函数的图象性质可知 B 错,因此选 D. a+b? 1 4. (2015· 陕西高考)设 f(x)=ln x,0<a<b, 若 p=f( ab), q= f ? , r= (f(a)+f(b)), 2 ? 2 ? 则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.q=r>p ) B.p=r<q D.p=r>q

第 2 页 解析:选 B 因为 b>a>0,故

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a+b a+b? > ab.又 f(x)=ln x(x>0)为增函数,所以 f ? 2 ? 2 ?

1 1 >f( ab),即 q>p.又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b)=ln ab=p,即 p=r<q. 2 2 2x+1 5.(2015· 山东高考)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为 2 -a ( ) A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞)


2 x+1 2x+1 解析:选 C 因为函数 y=f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x =- x .化简 2 -a 2 -a 2x+1 2x+1 2x+1-3?2x-1? 2x-2 可得 a=1,则 x >3,即 x -3>0,即 >0,故不等式可化为 x <0,即 x 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 1<2x<2,解得 0<x<1,故选 C. 6.(2015· 天津高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x
-m|

-1(m 为实数)为偶函数,记 a= )

f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b 解析:选 C 由 f(x)=2|x
-m|

B.a<c<b D.c<b<a -1 是偶函数可知 m=0,所以 f(x)=2|x|-1.

所以 a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2, b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4, c=f(0)=2|0|-1=0,所以 c<a<b. 16? - 4 5 4 7.(2014· 安徽高考)? ?81? +log34+log35=______.
3

?2?4? - 4 ?5 4? ?2?-3 27 解析:原式=? ??3? ? +log3?4×5?=?3? = 8 .
答案: 27 8

3

8.(2015· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0 恒成立, ∴-xln(-x+ a+x2)-xln(x+ a+x2)=0 恒成立,∴xln a=0 恒成立,∴ln a=0,即 a=1. 答案:1 9.(2015· 山东高考)已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则 a +b=________.

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1 ? ?a +b=-1, 解析:当 a>1 时,函数 f(x)=a +b 在[-1,0]上为增函数,由题意得? 0 ?a +b=0 ? x

?a 1+b=0, ? 无解.当 0<a<1 时,函数 f(x)=a +b 在[-1,0]上为减函数,由题意得? 0 解得 ?a +b=-1, ?


x

1 ? ?a=2, 3 ? 所以 a+b=- . 2 ? ?b=-2, 3 答案:- 2 10.(2015· 天津高考)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为________时,log2a· log2(2b) 取得最大值. 8 解析:由于 a>0,b>0,ab=8,所以 b= . a 16? 所以 log2a· log2(2b)=log2a· log2? (4-log2a)=-(log2a-2)2+4, ? a ?=log2a· 当且仅当 log2a=2,即 a=4 时,log2a· log2(2b)取得最大值 4. 答案:4 11.(2015· 福建高考)若函数 f(x)=2|x
-a|

(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+∞)

上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 解析:因为 f(x)=2|x a|,所以 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.又由 f(1+x)=f(1-x),


知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故 a=1,且 f(x)的增区间是[1,+∞),由函数 f(x)在

[m,+∞)上单调递增,知[m,+∞)?[1,+∞),所以 m≥1,故 m 的最小值为 1.
答案:1 命题点二 函数与方程 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:高、中

1.(2014· 湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-3x. 则 函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

解析:选 D 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根,由 x2-3x=x-3, 解得 x=1 或 3;当 x<0 时,由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即 f(x)=-x2- 3x.由 f(x)=x-3 得 x=-2- 7(正根舍去).选 D. 6 2.(2014· 北京高考)已知函数 f(x)=x-log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是 ( )

第 4 页 A.(0,1) C.(2,4)

共 5 页 B.(1,2) D.(4,+∞)

3 1 解析:选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0, 2 2 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C. 3 . (2015· 湖南高考 ) 若函数 f(x) = |2x - 2| - b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 ________. 解析:由 f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐标系中画出 y=|2x-2|与 y=b 的图象,如 图所示, 则当 0<b<2 时, 两函数图象有两个交点, 从而函数 f(x)=|2x -2|-b 有两个零点. 答案:(0,2) π? 2 4.(2015· 湖北高考)函数 f(x)=2sin xsin? ?x+2 ?-x 的零点个数为________. π? 2 2 2 解析:f(x)=2sin xsin? ?x+2?-x =2sin xcos x-x =sin 2x-x ,由 f(x)=0,得 sin 2x= x2. 设 y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象,如图所示.由图象 知,两个函数图象有两个交点,故函数 f(x)有两个零点.

答案:2

命题点三

函数模型及其应用

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:高、中

1.(2015· 北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )

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A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析:选 D 根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油 最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小 时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效 率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对. 2.(2015· 四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数 关系 y=ekx b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是


192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. 解析:由已知条件,得 192=eb,∴b=ln 192. 又∵48=e22k b=e22k
+ +ln 192

=192e22k=192(e11k)2,

48 ? 2 ?1? 2 1 ∴e =? ?192? =?4? =2.
11k

1

1

设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时,则 t=e33k =24. 答案:24

+ln 192

1? 3 =192e33k=192(e11k)3=192×? ?2?


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