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一次函数的图像与性质


y
y?? 5 x?5 4

6 4 2 o -2

y?

2 x?2 3

-6

-4

-2

2

4

6

x

天才= 1%的灵感

-4

+ 99%的汗水

一.复习:
1.作函数图像的步骤是什么? (1)列表 (2)描点 (3)连线

2.一次函数图像的特点是什么?
是一条直线,所以我们在作一次图像 的时候只需要确定两个点,再过这两 个点作直线就可以了。

二.尝试探索
1.在同一坐标系中作出正比例函数 y=0.5x y= –2x , y=-x的图象
y

y=x ,y=3x和

y=-2x y=-x

6 4 2 o -2 -4

y=3x y=x y=0.5x
2 4 6

-6

-4

-2

x

y

y=-2x
y=-x

6 4 2 o -2 -4

y=3x (1)上面的函数都是什么函数? y=x 正比例函数 y=0.5x
2 4 6 x

(2)正比例函数y=kx的 图象有什么特点?

-6

-4

-2

正比例函数y=kx的图象是经 过(0,0),(1,K)的一条直线

(3) y随x的增减性 ?经过的象限? k>0,y随x的增大而增大;过一,三象限 k<0,y随x增大而减小 ;过二,四象限。

(4)直线的倾斜程度 ? |k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴

一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线,这条直 你所画出的图象是什么形状?列表 线通常又称为直线y=kx+b(k≠0)

描点 作函数图象一般步骤是什么? 正比例函数 y=kx(k≠0)是经过原点(0,0)的一条直线 . 连线 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
y? 1 x?2 2

1 ?1? y ? x 2 1 ? 2? y ? x ? 2 2 ? 3? y ? 3 x

1 y? x 2

? 4 ? y ? 3x ? 2

y ? 3x ? 2

y ? 3x

一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线,这条直 线通常又称为直线y=kx+b(k≠0)
正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点(0,0)的一条直线.

经过几点可以 确定一条直线? 画图象时,只要取两个 点即可 一般情况下,画一次函数 的图象取与x轴、y轴的交 点比较简便 画正比例的图象只要过原 点(0,0)和(1,k)最 y ? 3 x ? 2 为简便.

y?

1 x?2 2

1 y? x 2

y ? 3x

一次函数y=kx+b(k≠0) 图象的画法 (两点)

?1? y ? 2 x与
y ? 2x ? 3

例1 在同一平面直角坐标系中画出下列 每组函数的图象:

? 2 ? y ? 2 x ? 1与
1 y ? x ?1 2

对于直线y=k1x+b1与直线 y=k2x+b2 比较下列一对一次函数的图象有什么共同点, 当k1=k2 , b1≠b2 时,两直线平行 ; 有什么不同点? 当k1 ≠ k2 , b1=b2 时,两直线相交于点(0,b) ; 直线(图象)平行 K相同 b不同
y? 1 x?2 2

y ? 3 x ? 2 y ? 3x
K不同 b相同 直线(图象)相交

1 y? x 2

1 y ? x?2 2

1 y? x 2
y ? 3x ? 2

K相同 b不同 直线(图象)平行

y ? 3x

2 画出一次函数 y ? x ? 1 的图象 当一个点在直线上从 3
X y 0 1 3 3
左向右移动时,它的 位置怎样变化

观察分析: 小 到___ 大 自变量x由___ 小 到___ 大 函数y的值从___

2 函数y=3x-2的图象 画出一次函数 y ? x ? 1 的图象 是否也有这种现象 3
X y 0 1 3 3
2 y ? x ?1 3

观察分析: 小 到___ 大 自变量x由___ 小 到___ 大 函数y的值从___

y ? 3x ? 2 结 y随x的增大而增大, 论 这时函数的图象从左到右上升;

观察分析:

2 y ? ? x ? 1和 3

y ? ? x ? 2 的图象

2 y ? ? x ?1 3

小 到___ 大 自变量x由___ 大 到___ 小 函数y的值从___ 结 y随x的增大而减小, 论 这时函数的图象从左到右下降;

y ? ?x ? 2

概括
一次函数y=kx+b有下列性质:

增大 ,这时 (1) 当k>0时,y随x的增大而_____ 上升 ; 函数的图象从左到右_____ 减小,这时 (2) 当k<0时,y随x的增大而_____ 函数的图象从左到右下降 _____.

五.想一想
1)x从0开始逐渐增 大时,y=2x+6和y=5x 哪一个的值先达到20? 这说明了什么?
y 20 15 10 5 o -5

y=5x y=2x+6

-15

-10 -5

5

10

15

x

你看出来了吗?

-10

(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
y 6

y=-x+6

y=-x

4 2 o -2 -4

-6

-4

-2

2

4

6

x

平行

(3)直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何?
y=-x+6
y 6 4 2 o -2 -4

y=2x+6

-6

-4

-2

2

4

6

x

相交

六.探索发现
(1) 在同一坐标系中作出下列函数的图象

( 1)

1 y? x 3
-3 -2 -1

y 3 2 1 o -1 -2
y? 1 x ?1 3
1 x 3

1 ( 2) y ? x ?1 3 1 ( 3) y ? x ?1 3

y?

1 y ? x ?1 3

1

2

3

x

思考:k,b的值跟图像有什么关系?

(2)在同一坐标系中作出下列函数的图象

1 ( 1) y ? ? x 3 ( 2)

y 3 2 1 o -1

y ? ? x ?1
1 3

y ??1 3 x ?1
1 2 3 x

-3

-2

-1

( 3)

y ? ? x ?1
1 3

y??

-2

1 x 3

y ??1 3 x ?1

思考 做了这三个图像你发现了
K,b跟图像的关系吗?

(3)

结 论

通过作以上一次函数的图像我们发现y=kx+b 中,k,b的取值跟图像的关系如下:
K>o K<0 b<0 b=0 b>0 b<0

b=0

b>0

一,三

一,二,三 一,三,四

二,四

一,二,四 二,三,四

当k>0时,y的值随x的增大而增大

当k<0时,y的值随x的增大而减小

七.练一练
1.下列一次函数中,y的值随x的增大 (2) (4) 。 而减小的有________

(1) y=10x-9

(2) y=-0.3x+2 (3) y ?

5x ? 4
3) x

(4) y ? ( 2 ?

2.下列哪个图像是一次函数y=-3x+5 和y=2x-4的大致图像( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。

3.如果一次函数y=kx-3k+6的图象经 K=2 过原点,那么k的值为_________ 。

4.写出m的3个值,使相应的一次函数 y = (2m-1)x+2的值都是随x的增大而减小.
可以写无数个,只要满足2m-1<0就可以了。 例如:m=0.m=-1,m=-2

八.小结:
本节课的主要内容有: 1.正比例函数的特点是什么? 2.一次函数及其图像的性质有哪些? 3.函数图像的位置关系有几种? 4.关于函数y=kx+b图像的大致 位置跟k,b的关系。

付出定有回报,努力就有收获。 同学们扬起你们理想的风帆,带上你们的智慧, 迈向明天------


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