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高中数学选修课高考考点


高中数学选修课高考考点
一、重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: 1.圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 2.排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 3.概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 4.导数:导数的概念、求导、导数的应用 5.复数:复数的概念与运算

二、高考数学文理科的差别
1 文科 函数部分:定积分、复合函数的导数、导数的几何意义不考;函数次数不能超过三次; 立体几何部分: 空间向量、 向量方法都不考; 角度只要求直线与平面的, 不要求异面直线和二面角; 圆锥曲线部分:直线与圆锥曲线、曲线方程都不考; 概率部分:计数原理、二项式、离散型、正态分布、几何概率都不考; 数学归纳法不考; (1)理科:理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念 文科:了解两条异面直线所成角及二面角的概念,理解并会求直线与平面所成角。 (2)理科:能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题。 文科:能用坐标法解决简单的直线与抛物线的位置关系等问题。 (3)理科:了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。 文科:无 (4)理科:空间向量与立体几何(整大块) 文科:无 (5)理科: (一)导数概念及其几何意义:1.了解导数概念的实际背景。2.理解导数的几何意义。 文科:无 (6)理科:能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b) )的导数。 文科:无 (7)理科:无特别提示的限制 文科:1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性, 会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的 最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)。 (8)理科: (三)数学归纳法:了解数学学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命 题。文科:无 (9)理科:计数原理 文科:无

-1-

③若 p

q, 但q ? p , 则 p 是 q 必要而不充分条件;

④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤若 p

q 且q

p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要

条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? x x 满足条件 p? , B ? x x 满足条件 q? : ①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件;

?

?

三、理科选修数学考点
专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑 联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,??表示命 题. 2、四种命题及其相互关系

③若 A ④若 B

B,则 p 是 q 充分而不必要条件; A,则 p 是 q 必要而不充分条件;

⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A ? B 且 B ? A , 则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) ; p 且q ( p ? q) ;非 p ( ? p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称 量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫 做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词, 并用符号 “?” 表示.含有存在量词的命题, 叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ① 全 称 命 题 p : ?x ??, p( x) , 它 的 否 定 ? p :

四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的 充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q, 则 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件. ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命 题的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ、从逻辑推理关系上看: ①若 p ? q , 则 p 是 q 充分条件,q 是 p 的必要条件; p, ②若 p ? q , 但q 则 p 是 q 充分而不必要条件;

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ? p :

?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

专题二:圆锥曲线与方程
-2-

1.椭圆 焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围

到两定点 F 、 F2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 1 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (0 ? e ? 1) d
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?

轴长 对称性 焦点 焦距

长轴的长 ? 2 a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 (0 ? e ? 1)
a2 c

离心率

准线方程

x??

a2 c

y??

焦半径

左焦半径: MF 1 ? a ? ex0 右焦半径: MF2 ? a ? ex0

下焦半径: MF 1 ? a ? ey0 上焦半径: MF2 ? a ? ey0

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积

S?MF1F2 ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

(焦点)弦长公式

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

焦点的位置

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图形 图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1 F2 | ) 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (e ? 1) d
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2 a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
a2 x?? c
y?? b x a

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

(e ? 1)
a2 y?? c
y?? a x b

准线方程

渐近线方程

焦半径

? MF1 ? ex0 ? a ?左焦: M 在右支 ? MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:
S?MF1F2 ? b 2 cot

? MF1 ? ey0 ? a ?左焦: M 在上支 ? MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

M ( x0, y0 )

焦点三角形面积

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径 2.双曲线 3.抛物线

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

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y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴

y?0

y?0

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程 焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式 参数 p 的几 何意义

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ⑴ x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

2p ; sin 2 ?

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

B 在准线上射影的张角为 ⑷ 焦点 F 对 A 、


? ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P

专题三:定积分
1、定积分的概念 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点
-4-

a ? x0 ? x1 ? … ? xi ?1 ? xi ? … ? xn ? b 将区间 [a, b]
等分成 n 个小区间, 在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点

?i (i ? 1, 2,…, n) ,作和式
b?a 当 n ?? 时, 上 Ln ? ? f (?i )?x ? ? f (?i ), , n i ?1 i ?1
n n

⑻ ? cos xdx ? sin x ? c ⑼ ? sin axdx ? ? ⑽ ? cos axdx ?

1 cos ax ? c (a ? 0) a

述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f ( x ) 在 区间 [ a, b] 上的定积分.记作

1 sin ax ? c (a ? 0) a
b

4、定积分的性质 ⑴ ⑵

?a f(x )dx ,即

b

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

a

f ( x)dx (k 为常数) ;
b b a a

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? f (?i ) ,这里,a 与 b 分别叫 n ?? n i ?1
n

?

b

a
b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
c b a c

做积分下限与积分上限,区间 [ a, b] 叫做积分区间,函 数 f ( x ) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫 做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;② 近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在 [a, b] 上可积,则

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b) ;
a

⑷利用函数的奇偶性求定积分 : 若 f ( x ) 是 [?a, a] 上 的奇函数 ,则 ? f ( x )dx ? 0 ;若 f ( x ) 是 [?a, a] 上的偶
?a a

函数,则 ? f ( x )dx ? 2? f ( x )dx .
?a 0

a

a

5、定积分的几何意义 定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线

y ? f ( x) 与直线 x ? a 、x ? b 以及 x 轴所围成的平面
图形(曲边梯形)的面积的代数和,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

【 其 中 F ( x) 叫 做 f ( x) 的 一 个 原 函 数 , 因 为

?

b

a

f ( x)dx ? S x轴上方-S x轴下方 .(在 x 轴上方的面积取

? F ( x) ? C ?? ? F ?( x) ? f ( x) 】
3、常用定积分公式 ⑴ ? 0dx ? c ( c 为常数) ⑵ ? 1dx ? x ? c ⑶ ? x dx ? ⑷?
?

x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1

1 dx ? ln x ? c x
x x

正号,在 x 轴下方的面积取负号) 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积 分的上、下限; ⑶写出定积分表达式; ⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 7、定积分的简单应用 ⑴定积分在几何中的应用: 几种常见的曲边梯形面积的计算方法: (1) x 型区域: ① 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线

⑸ ? e dx ? e ? c ⑹ ? a dx ?
x

x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面

a ? c (a ? 0, a ? 1) ln a

x

b f ( x)dx (如图(1) 积: S=?a ) ;

⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c
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图(4) 图(1) ② 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面 积: S= (2) y 型区域: ①由一条曲线 y ? f ( x )(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积, 可由 y ? f ( x ) 得 x ? h( y ) ,然后利用 S= h( y)dy 求
a

?

b

a

f ( x )dx =- f ( x )dx (如图(2) ) ;
a

?

b

?

b

出(如图(5) ) ;

图(2) ③由一条曲线 y ? f ( x) 【当 a ? x ? c 时, f ( x) ? 0 ?

?

c

a b

f ( x)dx ? 0;

图(5) ②由一条曲线 y ? f ( x )(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面 积,可由 y ? f ( x ) 先求出 x ? h( y ) ,然后利用

当 c ? x ? b 时, f ( x) ? 0 ? ? f ( x)dx ? 0. 】
c

S= h( y )dy =- h( y )dy 求出(如图(6) ) ;
a a

?

b

?

b

与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形 的面积: S=

?

c

a

f ( x)dx ?
c

?

b

c

f ( x )dx

=? f ( x)dx ? ? f ( x)dx. (如图(3) ) ;
a c

b

图(6) ③由两条曲线 y ? f ( x ),y ? g ( x ) 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积,可由 y ? f ( x ),y ? g ( x ) 先分别求出 x ? h1 ( y) , 然后利用 S= | h1 ( y)-h2 ( y) | dy 求出 (如 x ? h2 ( y) , 图(3) ④由两条曲线 y ? f ( x),y ? g ( x) ( f ( x) ? g ( x)) 与 直线 x ? a, x ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积:
a

?

b

图(7) ) ;

S ? ? f ( x) dx?? g( x ) dx ? ? ? f( x )? g ( ? x ) dx . (如
b b b a a a

图(4) )

图(7) ⑵定积分在物理中的应用:
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①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 S ,等于其速 度函数 v ? v(t )(v(t ) ? 0) 在时间区间 ? a, b? 上的定积 分,即 S ?

? 检验猜想。
3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观 察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说, 合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理, 对特殊情况做出的判断. 用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都 具有性质 P , S 是 M 的一个子集 ,那么 S 中所有元素 也都具有性质 P. M 比较法 直接证明 综合法 分析法 间接证明 数学归纳法 反证法 从推理所得的结论来看, 合情推理的结论不一定正 确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都 正确的前提下,得到的结论一定正确. ·a S

?

b

a

v(t )dt. .

②变力作功 物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动, 并且物体沿 着与 F ( x) 相同的方向从 x ? a 移动到 x ? b(a ? b) , 那么变力 F ( x) 所作的功 W ?

?

b

a

F ( x)dx .

专题四:推理与证明
知识结构 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 演绎推理 归纳推理 类比推理

5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止. 框图表示: 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的 推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法.
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1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归 纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般 的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题 (猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想;

用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时命 题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开 始的所有正整数 n 都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学 命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几 何中的计算问题等.

5、常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;

(7) ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ? 1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
? 1 ? 3i 是 1 的立方虚根,则 2

2

专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念 ⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi

(9 ) 设 ? ?

(a, b ? R) ;

1 ? ? ? ? 2 ? 0 , ? 3n?1 ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1
6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ

⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数 z ? a ? bi

? a, b ? R?

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? 虚数 ( b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ?
3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有

a 2 ? b2

m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方
法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有

⑷ z ? a ? bi z, z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共 轭复数). 4、复数运算 ⑴复数加减法:?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法:

m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方
法??做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 2、排列与组合 ⑴排列定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;
⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

m?m ? n ? 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列. ⑵组合定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取
m?m ? n ? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中
任取 m 个元素的一个组合.
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(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分 母实数化)

⑶排列数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m
m 个元素的排列数,记作 An .

⑷组合数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m
m 个元素的组合数,记作 Cn .

⑸排列数公式:
m ① An ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ? 1?

些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好 没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素 按要求插入排好的元素之间). ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题: 要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式:

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?

r n?r r ? Cn a b

m An ?

n! ; ?n ? m?!

?

n n ? Cn b ? n ? N? ? .

⑵二项展开式的通项公式:
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.主要用途

n ② An ? n!,规定 0! ? 1 .

⑹组合数公式: ① Cn ?
m

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? 或 m!

m Cn ?

n! ; m!?n ? m ?!

是求指定的项. ⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当 二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系 数.如 在 (ax ? b)n 的展开式中, 第 r ? 1 项的二项式系数
r r n ?r r 为 Cn ,第 r ? 1 项的系数为 Cn a b ;而 ( x ? ) n 的

0 m n?m ② Cn ,规定 Cn ? 1. ? Cn

1 x

⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.
m m m ⑻排列与组合的联系: An ,即排列就是先 ? Cn ? Am

展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为 正,而项的系数不一定为正. ⑷ ?1 ? x ? 的展开式:
n

组合再全排列.

Am n ? (n ? 1) ? ? (n ? m ? 1) n! m Cn ? n ? ? ( m ? n) m Am m ? (m ? 1) ? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!
⑼排列与组合的两个性质性质 排列 An?1 ? An ? mA n
m m m?1

1 n?1 2 n ?2 n 0 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ,

若令 x ? 1 ,则有
1 2 n . ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn ??? Cn

;组合 Cn?1 ? Cn ? Cn
m m

m?1

.

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
0 2 1 3 的和.即 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

⑽解排列组合问题的方法 ①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑 有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优 先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他 位置). ②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再 把不符合条件的所有情况去掉). ③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列, 最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列). ④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某
-6-

⑸二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项 m n ?m 式系数相等,即 Cn ; ? Cn (2)增减性与最大值:当 r ? 数Cr 当r ? n 的值逐渐增大,

n ?1 时,C r n 的值逐渐减小, 2 n 且在中间取得最大值。 当 n 为偶数时, 中间一项 (第 2

n ?1 时,二项式系 2

n

+1 项)的二项式系数 C n2 取得最大值.当 n 为奇数时, 中间两项(第

⑵对立事件: 其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

n ?1 n ?1 和 + 1 项)的二项式系数 2 2

A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . 特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就 两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个 事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件, 因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定 是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但 不充分的条件. ⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是 否发生对另一个事件发生的概率没有影响) .这样的两 个事件叫做相互独立事件. 当 A、B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 同时发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的积.即

C

n ?1 2 n

?C

n ?1 2 n

相等并同时取最大值.

⑹系数最大项的求法 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 可确定 r . ⑺赋值法 若 (ax ? b)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? an xn , 则设 f ( x) ? (ax ? b)n . 有: ① a0 ? f (0); ② a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1); ③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1) an ? f (?1);
n

? Ar ? Ar ?1 ? Ar ? Ar ?1

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验 ①一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ②独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
k P ? Cn p n (k ) k

f (1) ? f (?1) ; 2 f (1) ? f (?1) . ⑤ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ? 2
④ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

专题七:随机变量及其分布
知识结构

? (1 p

?n

k )? k ? 0 ,, 1 2n,? .

⑸条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

公式: P( B A) ?

P( AB) , P( A) ? 0. P( A)

1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互斥事 件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、B 是互斥事件时, 那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 中有一个发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的和,即

2、离散型随机变量 ⑴随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示, 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
王新敞
奎屯 新疆

字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值, 可 以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量. ⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,
-7-

P( A ?

B )?

P ( A ) ?

P ( B ) .

可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量. ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出. 若 X 是随机变量, 则Y Y ? aX ? b(a, b 是常数) 也是随机变量 并且不改变其属性 (离散型、 连续型) . 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列)
王新敞
奎屯 新疆

X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ①对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样; ⑵二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取

设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, xn , X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表

n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的
概率为 P ( X ? k ) ?
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

, m ) ,于

X
P

x1

x2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

是得到随机变量 X 的概率分布如下:

p1

p2

X
P

0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

? ?

m
m n ?m CM CN ?M n CN

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1, 2,...n; ⑵两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 ②

?p
i ?1

n

i

? 1.
其中 m ? min? M , n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N .
*

X
P

0

1

我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

1? p

p

则称 X 服从两点分布,并称 p ? P( X ? 1) 为成功概 率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k .

X
P
则称

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

其中 k ? 0,1, 2,..., n, 变量 X 的概率分布如下:

q ? 1 ? p ,于是得到随机
? k ? n

p1

X
0 n

0

1

E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ?
n

? xi pi ?

? xn pn 为离散型

P

C pq

0

n

C pq

1 n

1

n ?1

?

Cn p q

k

k

n?k

?

Cn p q

n

0

随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望).它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 性质:① E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b.

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作 ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p.
-8-

③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

X
P
则称

x1

x2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

p1

p2

相关系数: r
n

?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X ))2 pi 为离散型随机变量 X 的
i ?1

? ? xi ? x ?
n

?? y
i ?1

n

i

? y?

2

方差,并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X 的标 准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集 中与离散的程度.

?

? x y ? nxy
i ?1 i i n ? n 2 2 ?? 2 2? x ? nx ?? i ?? ? yi ? ny ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,取值
越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差,波动越大, 取值越分散.
性质:① D(aX ? b) ? a2 D( X ).

2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数 2 ? 2 列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

1 ? P ) . ②若 X 服从两点分布, 则 D(X ) ?p(
③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P). 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式:

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利 用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法是, 由表中的数据算出随机变量 K 的 值K ?
2
2

f ?x ? ?

1 2? ? ?

e

?

? x?? ?
2? 2

2

, x ? R ,其中 ?,? 是参数,

n(ad ? bc)2 ,其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X
与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 越大, 说明两个分类变量, 关系越强; 反之,越弱。
2

2 且 ? ? 0,?? ? ? ? ?? .记作 N (?, ? ). 如下图:

K 2 ? 3.841 时,X 与 Y 无关; K 2 ? 3.841 时,X
与 Y 有 95%可能性有关; K ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%
2

可能性有关.

专题八:统计案例
1、回归分析

? ? a ? bx , 回归直线方程 y

专题九:坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在

-9-

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P( x, y) 对 ?y? ? ? ? y, (? ? 0). 应到点 P?( x?, y ?) , 称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸
变换 ? : ? 缩变换,简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系。 M ( ? ,? )

y ? ? sin? y ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan? ? ( x ? 0). x
y

x ? ? cos? ,

N

x

M

? ?
? ? ? ? ? ? ?

y

?
?
O 图1 点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与 点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标, 记为 M ( ? ,? ) . 注: 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个 点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平 面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示(即一一对应 的关系) ;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定 的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面 上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对应 惟一点 P( ? , ? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不 惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律 可循的,P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的 极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、 ? 的取值范围加 以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点 与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) , 极坐标是 ( ? ,? ) ,从图中可以得出:
- 10 a
?

x ? ? cos?

O
? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
tan? ? y ( x ? 0) x

H

x

y ? ? sin?

(直极互化 图) 4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是

? ?a; (如图 1)
②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方 程是 ? ? 2acos? ; (如图 2)

) (a ? 0) 为圆心,a 为半径的圆的极坐标方 2 程是 ? ? 2asin? ; (如图 4)
③以 ( a,
M

?

a ?
?

M
?

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和

? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1)
②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方程为 x ? a . (如图 2) ③过点 A(a,

? x ? f (t ), 并且对于 t 的 ? y ? g (t ), 每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在
x, y 都是某个变数 t 的函数 ?
这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方 程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程为

?
2

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程

是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为 y ? a .(如图 4)
M(? , ?
?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b ? r sin ?
(2)椭圆



M

?
0

M

?
?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

O

x

?

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? ,?


? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? b sin ? ?
y 2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b

M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? a sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

图4

图5
? ??

a ?? sin ?
5、柱坐标系与球坐标系

a sin?

图6
a ?? cos( ? ? ?)

(3)双曲线

⑴柱坐标:空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与柱坐标

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? b t a n
双曲线

? x ? ? cos ? ? ( ? ,? , z ) 的变换关系为: ? y ? ? sin ? . ?z ? z ?
⑵球坐标系 空间点 P 直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 的变

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? ac s c
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

? x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos ? 换关系: ? . ? y ? r sin ? sin ? ? ? z ? r cos ?
6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标
- 11 -

(4)抛物线 y ? 2 px 参数方程 ?
2

( t 为参

数, t ?

1 ) ; tan ?

参数 t 的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数.

(6)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? (? ? 的参数方程 ?

?
2

) 的直线

? x ? x 0 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? y 0 ? t sin ?

8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时, 要注明参数及参数的取 值范围。 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数, 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要 通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x , y 的取值范围.

- 12 -

专题十:几何证明选讲
知识点 1:比例线段的相关概念 比例线段:对于四条线段 a、b、c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 (或 a : b=c:d )那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式. ⑶比例线段是有顺序的,如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项,那么应得比例式为: 知识点 2:比例的性质
2 基本性质:(1) a : b ? c : d ? ad ? bc ;(2) a : c ? c : b ? c ? a ? b .

a c ? b d

b d ? . c a

反比性质(把比的前项、后项交换):

a c b d ? ? ? . b d a c
b?a d ?c

? a c a?b c?d ? a ? c 等等. a c ? ? ? 合比性质: .发生同样和差变化比例仍成立.如: ? ? ? ? b d b d c?d b d ?a ? b ?a ? b ? ? c?d

等比性质:如果

a c e m a ? c ? e ??? m a ? ? ? ? ? (b ? d ? f ? ? ? n ? 0) ,那么 ? . b d f n b ? d ? f ??? n b

注意:实际上,由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如 ad ? bc ,除 了可化为 a : b ? c : d ,还可化为 a : c ? b : d , c : d ? a : b , b : d ? a : c ,b : a ? d : c , c : a ? d : b , d : c ? b : a ,

d :b ? c:a .
知识点 3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.(三角形中位线定理的逆定理) 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.(梯形中位线定理的逆定理) 平行线等分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形第三 边. 知识点:4:黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC, BC( AC ? BC) ,且使 AC 是 AB和BC 的比例中项,叫做把线段 AB 黄金分 割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其中 AC ? 知识点 5:相似图形

5 ?1 AB ? 0.618 AB . 2

1、相似图形的定义:把形状相同的图形叫做相似图形(即对应角相等、对应边的比也相等的图形). 相似三角形的定义: 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做 相似比(或相似系数) 注意: (1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; (4)相似用“∽”表示,读作“相似于” ;
-1-

(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.

2、相似三角形的判定方法 预备定理:平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理的基本图形语言:

数学符号语言表述是:? DE // BC ∴ ?ADE ∽ ?ABC . 判定定理 1: 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似. 简述为: 两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相 似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理 3:如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述 为:三边对应成比例,两个三角形相似. 判定定理 4:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似. 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下: 类型 全等三角形的判定 相似三角形的判定 斜三角形 直角三角形

SAS
两边对应成比 例夹角相等

SSS
三边对应成比例

AAS(ASA)
两角对应相等

HL
一条直角边与斜边对应成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似 三角形的判定定理, 这就是我们数学中的用类比的方法, 在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的 方法. 3、相似三角形的性质定理: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形的周长比等于相似比; (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方; (4)相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系 (1)反身性:对于任一 ?ABC 有 ?ABC ∽ ?ABC . (2)对称性:若 ?ABC ∽ ?A' B ' C ' ,则 ?A' B ' C ' ∽ ?ABC . (3)传递性:若 ?ABC ∽ ?A' B ' C ? ,且 ?A' B ' C ? ∽ ?A??B ??C ?? ,则 ?ABC ∽ ?A??B ??C ?? . 5、相似直角三角形 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第 三边.(与三角形的中位线定理类似) 定理:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似. 定理:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理:如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理 从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影;一条线段在直线上的正射影,是指线段的 两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜
-2-

边上的射影与斜边的比例中项. 推论:直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.
C

A

D

B

经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型 ①平行线型:常见的有如下两种, DE ∥ BC ,则△ ADE ∽△ ABC
A E D A D E

B

C

B

C

②相交线型:常见的有如下四种情形,如图,已知 ?1=?B ,则由公共角 ? A 得,△ ADE ∽△ ABC
A E C 1 E B C D A

B

1 D

如下左图,已知 ?1=?B ,则由公共角 ? A 得,△ ADC ∽△ ACB ;如下右图,已知 ?B ? ?D ,则由对顶 角 ?1 ? ? 2 得,△ ADE ∽△ ABC
A E D 2 1 B C C 1 A B

D

③旋转型:已知 ?BAD ? ?CAE , ?B ? ?D ,则△ ADE ∽△ ABC ,下图为常见的基本图形.
A E D

B

C

④母子型:已知 ?ACB ? 90 ,AB ? CD ,则△ CBD ∽△ ABC ∽△ ACD .
C

?

A

D

B

解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形. 知识点6:与位似图形有关的概念 1、如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. 拓展: (1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点. (2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. (3)位似图形的对应边互相平行或共线. 2、位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展:位似图形有许多性质,它具有相似图形的所有性质. 3、画位似图形 ⑴画位似图形的一般步骤: ①确定位似中心; ②分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取);
-3-

③根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置; ④顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ⑵位似中心的选取: ①位似中心可以在图形外部,此时位似中心在两个图形中间,或在两个图形之外; ②位似中心可取在多边形的一条边上; ③位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明:位似中心的选取决定了位似图形的位置,以上位似中心位置的选取中,每一种方法都能把一个图形放 大或缩小. 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合; 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d ? r ? 点 C 在圆内; 2、点在圆上 ? d ? r ? 点 B 在圆上; 3、点在圆外 ? d ? r ? 点 A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点;
A r B d C d O

r

d

d=r

r

d

四、圆与圆的位置关系 外离(图 1) ? 无交点 ? d ? R?r ; 外切(图 2) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 相交(图 3) ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ; 内切(图 4) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 内含(图 5) ? 无交点 ? d ? R ? r ;
d R 图2 r

-4-

d R 图1 r
R 图3

d r

d R

d r

r R

图4

图5

五、垂径定理 弦:连接圆上任意两点之间的线段叫做弦. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 推论 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论 2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 推论 3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论.即: );⑤ BC ? BD

AB 是直径;② AB ? CD ;③ CE ? DE ;④ 弧 BC ? 弧 BD (
推出其他 3 个结论.

;中任意 2 个条件 AC ? AD

推论 4:圆的两条平行弦所夹的弧相等.即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD 六、 圆心角定理

C O A

D

B

圆心角的定义:顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. 圆心角定理: 圆心角的度数等于它所对弧的度数. (同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弦相等, 所对的弧相等, 弦心距相等——也称一推三定理)即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论也 E 即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ;③ OC ? OF ;④ BA ? ED 推论 1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; 推论 2:在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦也相等; 推论 3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角相等,所对的弧也相等;
A F O D C

七、圆周角定理 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半. 符号语言:①∵在 O 中, ?C、?D 都是弧 AB 所对的圆周角 ∴ ?C ? ?D ②∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB
-5-

B

图形语言:
C
C
D C

C

B

O A

B
B O A

O

A

B

O

A

推论 1:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角; ( 90 的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径)
? ? 符号语言:∵在 O 中, AB 是直径∴ ?C =90 ;或∵ ?C =90 ∴ AB 是直径 ?

推论 3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 符号语言:在△ ABC 中,∵ OA ? OB ? OC ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C =90
?

注:此推论实际上是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理. 八、圆内接四边形 圆内接四边形:如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形 的外接圆. 圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补,圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 符号语言:∵在 O 中,四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ ?C ? ?BAD ? 180?,?B ? ?D ? 180?,?DAE ? ?C 图形语言:
C D

B A E

圆的内接四边形的判定定理 1:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形四个顶点共圆. 符号语言:∵在四边形 ABCD 中, ?C ? ?BAD ? 180?,?B ? ?D ? 180? ∴ A、B、C、D 四点共圆 圆的内接四边形的判定定理 2:如果四边形的一个外角等于它内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 符号语言:∵在四边形 ABCD 中, ?DAE ? ?C 九、 切线的性质与判定定理 1、切线的定义:当直线和圆有且只有一个公共点时,我们把这条直线叫做圆的切线. (1)判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是 O 的切线 图形语言:
B

∴ A、B、C、D 四点共圆

O
O P

M

A

N
A

(2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
-6-

推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理:即:(1)经过圆心(2)经过切点(3)垂直于切线.以上三个条件中, 知道其中两个条件推出最后一个条件.(∵ MN 是切线∴ MN ? OA ) 2、切线长的定义:经过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言:∵ PA、PB 是的两条切线 ∴ PA=PB 且 PO 平分 ?APB 图形语言:

3、弦切角:顶点在圆上,且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角) 弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 符号语言:∵ ?BAC 是圆的一个弦切角 ∴ ?BAC ? ?APC 4、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言: ∵在⊙ O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,∴ PA ? PB ? PC ? PD 图形语言:
D B O P C A

C B O A D

E

推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言:∵在⊙ O 中,直径 AB ? CD , ∴ CE ? AE ? BE
2

5、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 符号语言:∵在⊙ O 中, PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD ? PE 6、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 符号语言:∵在⊙ O 中, PA 是切线, PB 是割线 ∴ PA ? PC ? PB
2

图形语言:
D P C

A E O B

切线长定理 弦切角定理 相交弦定理 割线定理

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等. 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
-7-

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

十、圆内正多边形的计算 (1)正三角形:在 O 中,△ ABC 是正三角形,有关计算在 Rt △ BOD 中进行, OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 (2)正四边形:同理,四边形的有关计算在 Rt △ OAE 中进行, OE : AE : OA ? 1:1: 2 (3)正六边形:同理,六边形的有关计算在 Rt △ OAB 中进行, AB : OB : OA ? 1: 3 : 2
C
B C O

O A

O

B

D

A

E

D

B A

十一、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心. →用到:线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心. →用到:角的平分线及性质
轴对称 3、圆的对称性。 ? ? ? ?中心对称

十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形: (1)弧长公式: l ?

n? R ? R? ; 180

n? R 2 1 ? lR (2)扇形面积公式: S ? 360 2
【 n :圆心角

R :扇形多对应的圆的半径

l :扇形弧长 S :扇形面积】
2

2 2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图 S表 ? S侧 ? 2S底 ? 2? rh ? 2? r ; (2)圆柱的体积: V ? ? r h

3 .圆锥侧面展开图 ①圆柱侧面展开图是 ②圆锥侧面展开图是 形,它的长是底面的 形,它的半径是这个圆锥的 ,高是这个圆柱的 ; .

,它的弧长是这个圆锥的底面的

2 (1) S表 ? S侧 ? S底 ? ? Rr ? ? r ; (2)圆锥的体积: V ? ? r h
2
B1

1 3

A

A
O S l

D

D1
O

母线长 底面圆周长
R

B

B

C

C1
A

C

r

B

-8-


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