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高二下学期期末考试卷理科数学卷


2012-2013 学年下学期期末考试 高二年级
考试时间:120 分钟

理科数学试卷
总分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知随机变量 ? 的分布列如图,则 ? 最可能 出现的值是(
A. 0.5 B.

?
P

-1 0.5

0 0.3

1 0.2

).
-1 C. 0 ) C. ) C. D. 1

2. 函数 y ? ln(2 x ?1) 的导数是(

1 1 B. ? 2x ?1 2x ?1 2 1? i 3. 复数 的虚部是( ? 1? i 2 1 3 A. B . ? i 2 2
A.

2 2x ?1

D. ?

2 2x ?1

3 2

D. ?

1 2
) D.x+4y+3=0 )

4.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0

5. 高二年级 6 个班进行单循环篮球比赛 (每两个班比赛一场)则比赛的总场次数是 , ( A.

A66

B. A6

2

C. C6

2

D. C6 C4 C2

2

2

2

6.一箱子内有 6 个白球,5 个黑球,一次摸出 3 个球,在已知它们颜色相同的情况下,该 颜色为白色的概率是 ( A.
4 33

) B.
2 33

C.

2 3

D.

1 2

7.若 ax(1 ? A. 2

x )5 的展开式中 x 2 项的系数是 20,则实数 a 等于(
B. 3 C. 4 D. 5



8. 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分 配方案有( A. 30 种 ) B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种

9. 甲、乙 2 人独立解答某道题,解答正确的概率分别为 p1 和 p2 ,则甲、乙至少有 1 人解答 正确的概率是( A. p1 ? p2 ) B. 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) C. 1 ? p1 p2 D. p1 p2

1

10.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B(6, ) ,则 P( ? =2)= (

1 3

)
80 243


A.

3 16

B.

4 243

C.

16 243

D.

11.由曲线 y ? A.

1 ,直线 y ? 4 x, x ? 1 及 x 轴共同围成的封闭图形的面积为( x 1 1 1 B. C. ln 2 ? D. 1 ? ln 2 ln 2 ? ? ln 2 2 3 2

12.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为( A.(-1,1) ) B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) D.(-∞,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 计算

?

?

0

sin xdx ? ___________.
X 1 1 15 2 2 15 3 m 4 4 15 5 1 3

14. 已知随机变量 X 的分布列如下表:
则 m 的值为___________. P

15. 从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概
率为

1 ,则 n=________. 14
元件1 元件3 元件2

16.某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或 元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三 个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布

N (1000,502 ) ,且各个部件能否正常相互独立,那么该部件
的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17. (本题 10 分)
(1)2 个女生与 4 个男生排在一起,女生必须在一起,可以有多少种不同的方法? (2)1 名老师和 4 名同学排成一排照相,若老师不站两端,则不同的排法有多少种?

2

18. (本题 12 分)已知角 A、B 都是锐角,且 A ? B ? 求证: A ? B ?

?
2

, (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ;

?
4

.

19.(本题 12 分)甲、乙两人同时参加一次知识竞赛的选拔赛,已知在备选的 10 道试题中, 甲能答对其中的 6 道题,乙能答对其中的 8 道题。规定每次测试都从备选试题中随机抽出 3 题,至少答对 2 题才能入选。 (1)求甲答对题数 X 的分布列及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率。

20.(本题 12 分)在数列{an}中, a1 ? 1, 项公式,并用数学归纳法证明.

a n ?1 ?

2a n 2 ? an

( n ? N ? ) ,试猜想这个数列的通

3

21. 为了参加今年省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球水平较强的班级中选出12 人组 成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表: 班级 人数 高三( 7 )班 高三(17)班 高二(21)班 高二(22)班

4

2

3

3

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中 来自高三(7)班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

22.(本题满分 12 分)某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件. 如果降低
价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元,

0 ? x ? 30 )的平方成正比.已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件.
(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

4

试室号_____________试室座位号______________班别________________姓名_________________________

-----------------------------------------密---------------------------------------------封--------------------------------------------------线--------------------------------------------------13. 答 案 题 号 1
17 题得分 一、二题得分

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

得 分 阅卷人 2 14. 3 4 5
18 题得分

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)

高二理科数学

19 题得分

2012-2013 学年下学期期末考试

17.(本题满分 10 分)

5

15. 6 7 8 16. 9 10 11 12

20 题得分 21 题得分 22 题得分 总分

答题卡

得 分

阅卷人

18.(本题满分 12 分)

得 分

阅卷人

19.(本题满分 12 分)

6

得 分

阅卷人

20.(本题满分 12 分)

得 分

阅卷人

21.(本题满分 12 分)

7

得 分

阅卷人

22.(本题满分 12 分)

8

高二理科数学参考答案
一、 选择题: 题 号 答 案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 B 10 D 11 C 12 B

二、 填空题: 13. 2; 14.

1 5

15.

8 ;

16.

3 8

三、 解答题: 17.解析: (1)捆绑法:把 2 个女生看成一个元素, 不同排法共有 A5 A2 ? 240 种
5 2

(2) 老师在中间三个位置上有 A3 种, 其余 4 个位置上有 A4 种方法; 所以共有 A3 A4 ? 72 种。
1 4 1 4

18. 证明:? (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,?1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 即 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B ,? tan( A ? B) ? 又角 A、B 都是锐角,且 A ? B ?

?
2

,所以 A ? B ?

?

tan A ? tan B ?1, 1 ? tan A tan B

3 C4 1 ? ; 3 C10 30

4

19. 解析:(1)由题意知 X 可能的取值为 0,1,2,3,且 P ( X ? 0) ?

1 2 1 3 C6C4 C62C4 1 C6 1 3 P( X ? 1) ? 3 ? ; P( X ? 2) ? 3 ? ; P( X ? 3) ? 3 ? ; C10 10 C10 2 C10 6

所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

3 1 1 10 2 6 1 3 1 1 9 数学期望是 EX= 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ;---------------------------6 分 30 10 2 6 5 1 30
(2)由(1)知甲入选的概率为 P ? 1

C 2C 1 ? C 3 14 1 1 2 ? ? ,乙入选的概率是 P2 ? 8 2 3 8 ? , C10 15 2 6 3

所以甲、乙两人至少一人入选的概率是 P ? 1 ? P ?P 2 ? 1 ? ? 1

1 1 44 ? 3 15 45

-----12 分

20.解:在数列{an}中,∵ a1 ? 1,
a1 ? 1 ?

a n ?1 ?

2a n 2 ? an

(n ? N ? )

2 2a1 2 2a2 2 2a3 2 2a4 2 , a2 ? ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 2 2 ? a1 2 ? 1 2 ? a2 3 ? 1 2 ? a3 4 ? 1 2 ? a4 5 ? 1

∴可以猜想,这个数列的通项公式是 a n ?

2 。 n?1
9

数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, a1 ? 1 ?
+

2 ,猜想成立; 1?1

(2)假设当 n=k(k∈N )时,猜想成立,即 ak ?

2 k ?1

2 2ak 4 2 2 k ?1 ? 则当 n=k+1 时, ak ?1 ? ? ? ? 2 ? ak 2 ? 2 2k ? 2 ? 2 k ? 2 (k ? 1) ? 1 k ?1 2?
即当 n=k+1 时猜想成立。由(1)(2)可知,对于一切 n∈N 猜想均成立。 、 21. 解: (I)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件 A ,
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 ? 则 P( A) ? 2 C12 66
*

······················· 6?

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ························· 7?
0 2 C4 C8 14 C1C1 16 C 2C 0 3 ? , P(? ? 1) ? 4 2 8 ? , P(? ? 2) ? 4 2 8 ? 2 C12 33 C12 33 C12 33 ∴ ? 的分布列为:

则 P(? ? 0) ?

?

0

1

2

P
∴ E? ? 0 ?

14 33

16 33

3 33

14 16 3 2 ······················ 12? ? 1? ? 2 ? ? 33 33 33 3
2

22.解: (1)设商品降价 x 元,则每个星期多卖的商品数为 kx ,若记商品在一个星期的获 利为 f ( x) ,则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx ) ? (21 ? x)(432 ? kx ) ,??3 分
2 2

又由已知条件, 24 ? k 2 ,于是有 k ? 6 , ·
2
3 2

?????????5 分 ??????6 分

30] 所以 f ( x) ? ?6 x ? 126 x ? 432 x ? 9072,x ? [0, .
2

(2)根据(1) ,我们有 f ?( x) ? ?18 x ? 252 x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .????8 分 当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 的变化如下表:

x
f ?( x) f ( x)

2 ? 0,?
?

2 0 极小

(2, 12)

12 0 极大

30 ?12, ?
?

?
?

?

?

故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11664 , 所以定价为 30 ?12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. ????????12 分
10


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