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江苏南通市通州区2013届高三寒假学习情况数学调研卷


南通市通州区 2013 届高三寒假学习情况调研卷

数学 I

2013.02

命题单位:南通市通州区教研室 2013 年寒假结束供各校内部使用 一、填空题(本题共 14 题,每题 5 分,计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上) ........ 1. 已知 R 为实数集,M ? {x | x2 ? 2 x ?

0}, N ? {x | x ? 1} , M ? (C R N ) ? 则 2. 命题:“ ?x ? (0, ??) , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 ▲ ▲ . ▲ .

3. 已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ?(a∈ i 为虚数单位) 若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上, R, , 则 a= .

4. 设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是____ ▲ ____. 5. 阅读右图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 s 值等于__ ▲ ____. 2 2 x y 6. 椭圆 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过点 F1 且垂直 a b 于 x 轴 的 弦 的 弦 长 等 于 点 F1 到 l1 的 距 离 , 则 椭 圆 的 离 心 率 是 ▲ .

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的 最大值为__ ▲ ____. 8. 设 a, b ? R, 且 a ? 2, 若定义在区间 ? ?b, b ? 内的函数 f ? x ? ? lg

1 ? ax 是奇函数,则 1? 2x

a ? b 的取值范围是



.

9. 巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0,2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 , 且方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3 , x 4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为_▲ ______. 10. 关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立,则实数 a 的取值范围 是__▲ . 11. 已知正数 x,y 满足(1+x)(1+2y)=2,则 4xy+ 的最小值是____▲
2

1 xy

.

y A

12. 已 知 实 数 p ? 0 , 直 线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 抛 物 线 x ? 2 p y和 圆 与

AB p p2 从 左 到 右 的 交 点 依 次 为 A、B、C、D, 则 的值为 x 2 ? ( y ? )2 ? CD 2 4 ▲ .

D

B

o

C x

13. 如图,用一块形状为半椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取一个以短轴 BC 为底的等 4

腰梯形 ABCD , 记所得等腰梯形 ABCD 的面积为 S , 则
3 2

1 的最小值是 S





14. 已知使函数 f(x)=x -ax -1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个,则 M0 的 取值范围是





二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 在 △ABC 中 , A, B, C 为 三 个 内 角 a , b, c 为 三 条 边 ,

?
3

?C ?

?
2

,且

b s i nC 2 ? . a ? b s i n ? s i nC A 2
(I)判断△ABC 的形状; (II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

16.(本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 AB ? AC , AA1 ? 3 , BC ? CF ? 2 . (I)求证: C1 E // 平面 ADF ;
O C D M E A B A1 B1 F C1

(II)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面
CAM ? 平面 ADF ?

17.(本小题满分 14 分) 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于错误!未找到引用源。三点处,错误!未 找到引用源。,错误!未找到引用源。到线段错误!未找到引用源。的距离错误!未 找到引用源。,错误!未找到引用源。(参考数据: 错误!未找到引用源。). 今计划建 一个生活垃圾中转站错误!未找到引用源。,为方便运输,错误!未找到引用源。准备 建在线段错误!未找到引用源。(不含端点)上. (I)设错误!未找到引用源。,试将错误!未找到引用源。到三个小区距离的最远者 错误!未找到引用源。表示为错误!未找到引用源。的函数,并求错误!未找到引用 源。的最小值; (II)设错误!未找到引用源。,试将错误!未找到引用源。到三个小区的距离之和 错误!未找到引用源。表示为错误!未找到引用源。的函数,并确定当错误!未找到 引用源。取何值时,可使错误!未找到引用源。最小?

18.(本小题满分 16 分) 如图,错误!未找到引用源。是椭圆错误!未找到引用源。的左、右顶点,椭圆错误! 未找到引用源。的离心率为错误!未找到引用源。,右准线错误!未找到引用源。的 方程为错误!未找到引用源。. (I)求椭圆方程; (II)设错误!未找到引用源。是椭圆错误!未找到引用源。上异于错误!未找到 引用源。的一点,直线错误!未找到引用源。交错误!未找到引用源。于点错误!未找 到引用源。,以错误!未找到引用源。为直径的圆记为错误!未找到引用源。. (i)若错误!未找到引用源。恰好是椭圆错误!未找到引用源。的上顶点,求错 误!未找到引用源。截直线错误!未找到引用源。所得的弦长; (ii)设错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。交于点错误!未找 到引用源。,试证明:直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴的交 点错误!未找到引用源。为定点,并求该定点的坐标.

[同类组卷备选]已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l :x ? ?2 的
1

, 距离为 d 1 ,到点 F (?1 0) 的距离为 d2 ,且

d2 2 . ? d1 2

(Ⅰ )求动点 P 所在曲线 C 的方程; (II)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、 B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线, 对应的垂足分别为 M 、N , 试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (Ⅲ S1 )记

? S?FAM , S2 ? S?FMN , S3 ? S?FBN (A、B、 M 、N 是(2)中的点),问是否 2 存在实数 ? ,使 S2 ? ?S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分)
已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a ? 0 , a2 ? a1 ,当

n ? N * 时, an?1 ? f (an ) ,且存在非零常数 k 使 f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 恒成立.
(Ⅰ 若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值; )

(II)求证:数列 {an } 为等比数列的充要条件是 f ( x) ? kx (k ? 1) .

b ? ln an ( n ? N * ),数列 {bn } 的前 n 项是 Sn , (Ⅲ 已知 f ( x) ? kx (k ? 1) , a ? 2 ,且 n )
S( m ?1) n
对于给定常数 m ,若

Smn 是一个与 n 无关的常数,求 k 的值

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 3x ? t )e x , t ? R . (Ⅰ )若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处取到极值. ① t 的取值范围; 求 ② a ? c ? 2b 2 ,求 t 的值. 若

(II)若存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? ,不等式 f ( x) ? x 恒成立.求正整数

m 的最大值.

数学 II
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案 写在答题纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, ? O 的半径 OB 垂直于直径 AC , D 为 AO 上一点, BD 的延长线交 ? O 于 点 E ,过 E 点的圆的切线交 CA 的延长线于 P . 2 求证: PD ? PA ? PC B

C

·
O

D E

A

P

B.(选修 4-2:矩阵与变换选讲)
变换 T1 是逆时针旋转 阵是 M 2 ? ?

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应用的变换矩 2

?1 1? ?. ?0 1?

(Ⅰ )求点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标; (Ⅱ )求函数 y ? x 的图象依次在 T1 , T2 变换的作用下所得曲线的方程.
2

C:(选修 4—4:坐标系与参数方程)

?? ? 2 已知圆的极坐标方程为: ? ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
(Ⅰ )将极坐标方程化为普通方程; (Ⅱ )若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 x、y、z 均为正数,求证:

3 1 1 1 1 1 1 ( ? ? )? 2 ? 2 ? 2 3 x y z x y z

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 在一次数学考试中,第 22 题和第 23 题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一
题. 设 4 名考生选做这两题的可能性均为

1 . 2

(Ⅰ )求其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (Ⅱ )设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望.

23.(本小题满分 10 分)
过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点.
2

(Ⅰ )求证: ?AOB 不是直角三角形;

(Ⅱ )当 l 的斜率为

1 时,抛物线上是否存在点 C,使 ?ABC 为直角三角形且 B 为直角(点 2

B 位于 x 轴下方)?若存在,求出所有的点 C;若不存在,说明理由

南通市通州区 2012-----2013 学年度高三寒假学习情况调研

参考答案
一、填空题 1. {x | 0 ? x ? 1}

2013.02
3.1 6.

2. ?x ? (0,??), x 2 ? x ? 1 ? 0 5. ? 3

4 ?? 4 4.
7. 1 10. (??,10]

1 2
3 2

8. ( ?2,? ] 11. 12
26 63 14.[ , ) 9 16

3 2

9. ? 12.

1 16

13.

2 3 9

二、解答题 15. (Ⅰ 解:由 )

b sin 2C ? 及正弦定理有: sin B ? sin 2C a ? b sin A ? sin 2C

∴ B ? 2C 或 B ? 2C ? ? 若 B ? 2C , 且

?

B ? C ? ? (舍) ;∴B ? 2C ? ? ,则 A ? C ,∴?ABC为等腰 三角形.………………7 分 ??? ??? ? ? 2 ? a2 (? a ? c) , 而 (Ⅱ )∵ | BA ? BC |? 2 , ∴ a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? 4 , ∴ cos B ? a2 ??? ??? ? ? 2 1 4 c o s ? ? c o s C ,∴ ? cos B ? 1,∴1 ? a 2 ? ,∴BA ? BC ? ( ,1) .………………14 B 2 2 3 3
分 16.解:(Ⅰ )连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线, CF CO 2 所以 O 为△ABC 的重心, ? ? . CC1 CE 3 从而 OF//C1E.……………………………………………3 分 OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF .……………………………6 分 (Ⅱ BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . )当 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC. 由于 AB=AC,D 是 BC 中点, 所以 AD ? BC . 又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM.………………9 分 因为 BM =CD=1, BC= CF=2, 所以 Rt?CBM ≌Rt?FCD , 所以 CM ? DF. …11 分 DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF . CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面 ADF .…………………13 分 当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF .……………14 分

3

?C ?

?

2

,∴

2 ? ? B ?? , 3

y ? 2?

20 3 2 ? sin ? ……………………………………… ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? cos ? cos ?

……11 分

2sin ? ? 1 1 ? ,令 y ? ? 0 ,即 sin ? ? ,从而 ? ? , 2 cos ? 2 6 ? ? 0 ;当错误!未找到引用源。时, y ? ? 0 . 当错误!未找到引用源。时, y
因为 y? ? 20 3 ?

错误!未找到引用源。………………… 6 分 又直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。,故圆心到直线错误! 未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。 ……………………8 分

从而错误!未找到引用源。截直线错误!未找到引用源。所得的弦长为错误!未找 到引用源。………………………………………10 分 ② 证:设错误!未找到引用源。,则直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到 引用源。,则点 P 的坐标为错误!未找到引用源。, 又直线错误!未找到引用源。的斜率为错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用 源。,所以错误!未找到引用源。, 从 而 直 线 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 方 程 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。…………………………………………………13 分 令错误!未找到引用源。,得点 R 的横坐标为错误!未找到引用 源。…………………………………………………………14 分 又点 M 在椭圆上,所以错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,故错误!未 找到引用源。, 所以直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴的交点错误!未找到引 用源。为定点,且该定点的坐标为错误!未找到引用源。…………………………………16 分

备选(1) 设动点为 P( x,y) ,

依据题意,有 ……………… 3 分

( x ? 1)2 ? y 2 x2 2 ? y 2 ? 1. ,化简得 ? 2 | x?2| 2
x2 ? y 2 ? 1. 因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是: 2
(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时, 不合题意,故可设直线 l : x ? my ? 1 ,如图所 示.
2

………………4 分

5分

?x 2 联立方程组 ? 2 ? y ? 1 ,可化为 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ?1 ? 0 , ? ? x ? my ? 1 ?
2m ? ? y1 ? y2 ? 2 ? m 2 . 则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足 ? ? ?y y ? ? 1 ? 1 2 2 ? m2 ?

7

分 又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点 与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断. ??? ? ???? ? 因 FM ? (?1 y1 ) , FN ? (?1 y2 ) ,则 , ,

???? ??? ? ? 1 ? m2 ? 0 .9 分 = FM ? FN ? (?1 y1 ) ? (?1 y2 ) ? 1? y1 y2 , , 2

2?m

于是, ?MFN 为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. (3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ?

10 分

4 , 2 ? m2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ?


2 ? 2m 2 , 2 ? m2
2

S1S 3 ?

1 1 ( x 1 2) | y |1? ( x ? 2) | y | ? 2 2 2

?

1 1 1 1 ? m2 ? [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ? , 4 2 ? m2 2 (2 ? m2 )2

1 1 1 ? m2 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ?1) 2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 2 . 2 4 (2 ? m2 )2
15 分 在实数 ? ? 4 使得结论成立. 16 分
2 所以,S2 ? 4S1S3 ,即存

19. (1)由已知 an ? f (an ?1 ) , f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得

an?1 ? an ? f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?)
由数列 {an } 是等差数列,得 a n?1 ? a n ? an ? an?1 (n ? 2,3,4,? ? ?) 所以, a ? a ? k (a ? a ) , (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得 k ? 1 . n n ?1 n n ?1 (2)充分性证明:若 f ( x) ? kx (k ? 1) ,则由已知 a ? a ? 0 , 1 ………4 分

an?1 ? f (an ) 得 an?1 ? kan ,
所以, {a } 是等比数列. n ………6 分
*

必要性证明:若 {an } 是等比数列,设公比为 q ,则有 an ? aqn?1 , n ? N

由 f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 及 an?1 ? f (an ) 得 an?2 ? an?1 ? k (an?1 ? an ) 又 a2 ? a1 ? 0 , 所以数列 {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 为首项,公比为 k 的等比数列, 所以 an?1 ? an ? [ f (a) ? a]k
n?1



当 n ? 2 时, an ? [ f (a) ? a](k ? k ? k ? ?? k
0 1 2

n ?2

)?a

………8 分

① k ? 1 , an ? [ f (a) ? a](n ?1) ? a ,( n ? 2 ) 若 对 n ? 1 也成立. 数列 {an } 是公差为 f (a) ? a ? 0 的等差数列,不可能是等比数列,所以 k ? 1 , ②k ? 1 , an ? [ f (a) ? a] 对 n ? 1 也成立. 所以 an ? [ f (a) ? a]

1 ? k n?1 ? a ,( n ? 2 ) 1? k

f (a ) ? a f (a ) ? a n ?1 1 ? k n?1 ?a? ?k , ?a ? 1? k 1? k 1? k
f (a ) ? a ? a ? 0 ,即 f (a) ? ka , 1? k

由数列 {an } 是等比数列知,

即 f (a) ? ka 对任意非零实数都成立. 综上可得:数列 {an } 为等比数列的充要条件是 f ( x) ? kx (k ? 1) .………10 分 (3)由(Ⅱ )知,数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 k 的等比数列,即 an ? 2k
n?1



bn?1 ? bn ? ln k 是一个常数,
故数列 {bn } 是等差数列,设公差为 d , 依题意 S n ? nb1 ?

1 1 n(n ? 1)d ? n[dn ? (2b1 ? d )] , 2 2

S( m?1) n Smn

1 (m ? 1)n[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] (m ? 1)[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] ?2 ? , 1 m[dmn ? (2b1 ? d )] mn[dmn ? (2b1 ? d )] 2

当且仅当 2b1 ? d ? 0 或

S( m ?1) n d (m ? 1) 2b1 ? d ? 时, 是一个与 n 无关的常数, dm 2b1 ? d Smn

d (m ? 1) 2b1 ? d ? 不成立, dm 2b1 ? d
所以 2b1 ? d ? 0 ,即 2 ln 2 ? ln k ,

k ? 4.

………16 分

20.解:(1)① f ?( x) ? (3x2 ?12x ? 3)ex ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x ? ( x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)e x

? f ( x)有3个极值点,? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? 0有3个根a, b, c.

令g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3)
g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减.
?g(-1)>0 ? g ( x )有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0
② a, b, c是f ( x)的三个极值点 ?

? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x3 ? (a ? b ? c) x2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc
?a ? 1 ? 2 3 ?a ? b ? c ? 3 ? 3 ? ?t ? 8 ? ?ab ? ac ? bc ? ?9 ? b ? 1或 ? (舍 ? b ? (-1,3)) ? ?b ? 1 2 ? ?t ? 3 ? ?abc ? ?c ? 1 ? 2 3
(2)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )ex ? x ,即 t ? xe? x ? x3 ? 6 x 2 ? 3x . 转化为存在实数 t ??0, 2? , 使对任意的 x ? ?1, m? , 不等式 t ? xe? x ? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒 成立. 即不等式 0 ? xe? x ? x3 ? 6 x 2 ? 3x 在 x ? ?1, m? 上恒成立. 即不等式 0 ? e? x ? x 2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m? 上恒成立. 设 ? ( x) ? e? x ? x2 ? 6 x ? 3 ,则 ??( x) ? ?e? x ? 2 x ? 6 . 设 r ( x) ? ??( x) ? ?e? x ? 2 x ? 6 ,则 r ?( x) ? e? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 . 故 r ( x) 在区间 ?1, m? 上是减函数. 又 r (1) ? 4 ? e?1 ? 0, r (2) ? 2 ? e?2 ? 0, r (3) ? ?e?3 ? 0

附加题答案
21. 证明: A. 连结 OE, 因为 PE 切⊙ 于点 E, O 所以∠ OEP=900, 所以∠ OEB+∠ BEP=900, 因 为 OB=OE , 所 以 ∠ OBE=∠ OEB , 因 为 OB⊥ AC 于 点 O , 所 以 0 ∠ OBE+∠ BDO=90 ……………5 分 故∠ BEP=∠ BDO=∠ PDE,PD=PE,又因为 PE 切⊙ 于点 E,所以 PE2=PA· O PC, 2 PD =PA· PC……………………………………………………………………………… ………10 分
B.⑴x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ⑵ 圆的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? , ?

?? ? 所以 x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2. 4? ?
C.解:(Ⅰ M1 ? ? )

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? ? , M1 ?1? ? ?1 0 ? ?1? ? ? 2 ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的 ?1 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?x? ?1 ?1? ? ,设 ? y ? 是变换后图像上任一点, ? ? ?1 0 ? x0 ? y0 ? x x0 ? y
,即

点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) 。(Ⅱ M ? M 2 M1 ? ? )

与之对应的变换前的点是 ?

? x0 ? ? ? y0 ?

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

则 M?

? x0 ? ? x ? ? ? ? ? y? , 也 就 是 ? ? ? y0 ? ? ?

? x0 ? y 2 ,所以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 。 ? y0 ? y ? x ?
D. 证 明 : 由 柯 西 不 等 式 得

(12 ? 12 ? 12 )(


1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ) ? ( ? ? ) 2 ……………………………………5 分 2 x y z x y z

3?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? x2 y 2 z 2 x y z

,



3 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ) ? 2 ? 2 ? 2 ………………………10 分 3 x y z x y z
22.解:(1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”,则甲、乙 2 名 学生选做同一道题的事件为“ AB ? AB ”,且事件 A 、 B 相互独 立.∴P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) =

1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? . (2)随机变量 2 2 2 2 2
0,1,2,3,4 , 且

?













?



1 1 k 1 k 1 B (4, ) .∴P(? ? k ) ? C4 ( ) k (1 ? ) 4?k ? C4 ( ) 4 (k ? 0,1, 2,3, 4) 2 2 2 2
∴变量 ? 的分布 表为:

?

0

1

2

3

4

P

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

1 1 1 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 (或 E? ? np ? 4 ? ? 2 ) 2 16 4 8 4 16 23.(1)① 当直线 l 斜率不存在时,显然 ?AOB 不是直角三角形② 当直线 l 斜率存在时,焦

E? ? 0 ?

点F为 (1, , 0) 过点 F 且与抛物线交于点 A、 的直线可设为 x ? ky ? 1 代入抛物线 y ? 4 x B
2

y y 得 y ? 4ky ? 4 ? 0 , 则 有 y A y B ? ?4 , 进 而 x A x B ? A ? B ? 1 , 又 4 4
2

2

2

| OA || OB | c o?AOB ? OA? OB ? x A xB ? y A yB ? ?3 ? 0 s
所以 ?AOB 为钝角,即 ?AOB 不是直角三角形。(2)AB 方程: x ? 2 y ? 1 ? 0 代入抛物 线 y ? 4 x , 求 得 A(9 ? 4 5,4 ? 2 5), B(9 ? 4 5,4 ? 2 5) , 假 设 抛 物 线 上 存 在 点
2

C (t 2 ,2t ) 使 ?ABC 为 直 角 三 角 形 且 B 为 直 角 , 此 时 BA ? BC ? 0 , 所 以

t 2 ? t ? (11? 5 5) ? 0 ,解得 t1 ? 2 ? 5 对应点 B, t 2 ? ?3 ? 5 对应点 C,则存在 C(14 ? 6 5,?6 ? 2 5) 使 ?ABC 为直角三角形,故满足条件的点 C 只有一个,
即 C(14 ? 6 5,?6 ? 2 5 ) 。


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