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南师附中物理竞赛讲义 11.4静电场的能量


11.4 静电场的能量
一、电容器的静电能 研究电容器的充电过程。 一开始电容器的电势差很小,搬运电荷需要做的功也很小, 充电后两板间电势差增加,搬运电荷越来越困难,需要做的功变 多。可以看成是一个变力(变电势差)做功问题。 图像法用面积表示做功。 画 Q-U 图像还是 U-Q 图像?

1 1 1 Q2 E ? QU ? CU 2 ? 2 2 2

C
电容器充电过程中,电荷和能量均由电源提供。 在电源内部,可以看成是正电荷从负极移动到正极。由于电源电动势(即电压)不变, 克服电场力做功为:

W ? QU
在电容器充电过程中电源消耗的能量和电容器增加的静电能不相等! 思考:两者是否一定是两倍的关系? 多余的电能消耗在电路中(定性解释) 例 1、极板相同的两个平行板电容器充以相同的电量,第一个电容器两极板间的距离是第二 个电容器的两倍。 如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间, 并使所有极板都相互 平行,问系统的静电能如何改变。

例 2、平行板电容器 C 接在如图所示电路中,接通电源充电,当电压达到稳定值 U0 时,就下 列两种情况回答,将电容 C 的两极板的距离从 d 拉到 2d,电容器的能量变化为多少?外力做 功各是多少?并说明做功的正负 (1)断开电源开关. (2)闭合电源开关.

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例 3、图中所示 ad 为一平行板电容器的两个极板,bc 是一块长宽都与 a 板相同的厚导体板,平行地插在 a、d 之间,导体板的厚度 bc=ab=cd.极板 a、 d 与内阻可忽略电动势为 E 的蓄电池以及电阻 R 相连如图. 已知在没有 导体板 bc 时电容器 a、d 的电容为 C0 ,现将导体板 bc 抽走,设已知抽走 导体板 bc 的过程中所做的功为 A,求该过程中电阻 R 上消耗的电能.

例 4、如图所示,电容器 C 可用两种不同的方法使其充电到 电压 U=NE。 (1)开关倒向 B 位置,依次由 1 至 2 至 3?????? 至 N。 (2)开关倒向 A 位置一次充电使电容 C 的电压达到 NE。试求两种方式充电的电容器最后储能和电路上损失的 总能量。 (电源内阻不计)

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例 5、在图所示电路中,三个电容器 C1、C2、C3,的电容值均为 C,电源的电动势为 E,R1、R2 为电阻,S 为双掷开关.开始时,三个电容器都不带电,先接通 Sa.再接通 Sb.再接通 Sa, 再接通 Sb……如此多次换向,并使每次接通前都已达到静电平衡.试求: (1)当 S 第 n 次接通 b 并达到平衡后,每个电容器两端的电压各是多少? (2)当反复换向的次数无限增多时,在所有电阻上消耗的总电能是多少?

二、能量与能量密度 注意:电能是分布在空间中的电场所具有的,而不是带电体具有的。 平行板电容器(空气介质)的能量为:

1 1 1 S 1 E2 2 2 2 W ? QU ? CU ? E d ? V 2 2 2 4? kd 2 4? k
上式也可以写为:

W ? wV
其中 w 为能量密度:

w?

1 E2 2 4? k

此公式是普适的,对任何电场适用。 (证明略) 对于非匀强电场,w 不是定值

W ? ? w?V

例 6、半径为 R 的球面均匀带电,总电量为 Q,求整个空间内的静电能。

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例 7、已知球面均匀带电量 Q,半径为 R,试计算带电球面上的表面张力系数。

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