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2014高考文科数学:导数知识点总结


2014 高考文科数学:导数知识点总结
考点梳理
1.平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是: Δy f?x2?-f?x1? = ; Δx x2-x1 f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim ; Δx Δx→0 Δx

(2)f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: lim
Δx→0

/>
2.导数的概念 (1)f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,记 y ' | 即 f ?( x0 ) = lim f?x0+Δx?-f?x0? . Δx

x=x0 或 f ?( x0 ) ,

Δx→0

(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时, f ?(x) 即为 f (x ) 的导函数,简称导数, 即 y ' = f ?(x) = lim
Δx→0

f?x+Δx?-f?x? Δx

3.导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, 0))处的切线的斜率, f(x 即曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率 k= f ?( x0 ) ,切线方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 4.基本初等函数的导数公式 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (4) (cosx)? ? ? sin x . (7) (u ? v)' ? u ' ? v' . (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (5) (ln x )? ? (3) (sin x)? ? cos x . (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
x x x x

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x

(8) (uv)' ? u 'v ? uv' .

(9) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

1 ?1? (10) ? ? ? ? 2 x ? x?
5.导数的应用
'

'

(11)

? x ? ? 21x
'

①单调性:如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x ) 为减函数
'

' ②求极值的方法:当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (注 f ( x0 ) ? 0 )

如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值;“左增 右减 ↗ ↘ ” ( ) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.( “左减 右增 ↘ ↗ ” ) 附:求极值步骤

f (x) 定义域→ f ' ( x) → f ' ( x) 零点→ 列表: x 范围、 f ' ( x) 符号、 f (x) 增减、 f (x) 极值
③求 ?a, b? 上的最值: f (x ) 在 ?a, b ? 内极值与 f (a ) 、 f (b) 比较

6. 三次函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d

f / ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c
a ? 0, ? ? 0
“↘ ↗ ↘ ” (其中“ ? ”针对导函数)

图 象 特 征 : 针 对 导 函 数 ) a ? 0, ? ? 0 ( ( 针 对 原 函 数 ) “↗ ↘ ↗ ” 极 值 情 况 : ? ? 0 ? f ( x) 有 极值; ? ? 0 ? f ( x) 无极值 练习题: 一. 选择题 1. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( )

A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

2. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度 是( )
2

A. 7 米/秒
3

B. 6 米/秒 )

C. 5 米/秒

D. 8 米/秒

3. 函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)

C. (??,??)

D. (1,??)

4. 若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为( h



A. f ' ( x0 )

B. 2 f ' ( x0 )

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0 )

5. 函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( 6. 函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.必要非充分条件 ) D. 0

A. 72
3 2

B. 36

C. 12 )

7. 函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 C.极大值 5 ,无极小值

B.极大值 5 ,极小值 ?11 D.极小值 ?27 ,无极大值 )

3 8. 曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为(

A. (1, 0)
'

B. (2,8)

C. (1, 0) 和 (?1, ?4) )

D. (2,8) 和 (?1, ?4)

9. 若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

A. ?3

B. ?6

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h C. ?9 D. ?12

' ' 10. f ( x ) 与 g ( x) 是定义 R 上的可导函数, f ( x ) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ,则 f ( x ) 与 g ( x) 满足 若 (



A. f ( x) ? g ( x) 11. 函数 y ? 4 x ?
2

B. f ( x) ? g ( x) 为常函数

C. f ( x) ? g ( x) ? 0

D. f ( x) ? g ( x) 为常函数

1 单调递增区间是( x

2

) A. (0,??)

B. (??,1) C. ( ,?? ) D. (1,??)

1 2

12. 函数 y ? A. e
?1

ln x 的最大值为( x
B. e C. e

D.

10 3

13.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? B. cos ?

) D. 2 sin ? )

C. sin ? ? cos ?

14. 若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是(

15. 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??,? 3] ? [ 3,??) A. 4 x ? y ? 3 ? 0 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??) ) )



D. (? 3, 3)

16. 若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0
'

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

17. 对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有( B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

18. 函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在

y

y ? f ?(x)

( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内
有极小值点( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

b

a

O

x

二、填空题 19. 曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

20. 函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

21. 曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 22. 函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 。

23. 函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是



24.函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 25.函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为 ,单调减区间为___________________。 。

26. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 上为增函数,则 a, b, c 的关系式为是 27. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 , 在 x ? 1 时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为________。 28. 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2

29.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m=__________ 1 例 1 求函数 f(x)=ln(1+x)- x2 在[0,2]上的最大值和最小值 4

.



变式探究 1 2 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5,若曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.

(2013 年高考北京卷(文) 已知函数 )

f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) )处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值. (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围.


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