当前位置:首页 >> 数学 >>

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)30735182


2.3

直线与圆、圆与圆的位置关系(二)

【课标要求】 1.能根据两个圆的方程,判断两个圆的位置关系. 2.能根据两圆的位置关系,求有关直线或圆的方程. 3.了解用代数方法处理几何问题的思想. 【核心扫描】 1.对两圆内切、外切时位置关系的判断和应用.(重点) 2.常与方程、有关圆的平面几何知识结合命题.(难点). 3.用坐标法解决与

圆有关的平面几何问题.(方法)

自学导引 1.判断圆与圆的位置关系 (1)几何法: 圆 O1: (x-x1)2+(y-y1)2=r2 圆 O2: (x-x2)2 1(r1>0), + (y - y2)2 = r 2 2 (r2 > 0) , 两 圆 的 圆 心 距 d = |O1O2| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2, d>r1+r2?圆 O1 与圆 O2 相离,如图①所示; d=r1+r2?圆 O1 与圆 O2外切 ,如图②所示; |r1-r2|<d<r1+r2?圆 O1 与圆 O2相交,如图③所示; d=|r1-r2|?圆 O1 与圆 O2内切,如图④所示; d<|r1-r2|?圆 O1 与圆 O2 内含,如图⑤所示.

(2)代数法:圆 O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆 O2:x2+y2+ D2x+E2y+F2=0, 两圆的方程联立得方程组,则有: 方程组有两组不同的解?圆 O1 与圆 O2 相交; 方程组仅有一组解?圆 O1 与圆 O2 外切或内切; 方程组无解?圆 O1 与圆 O2 相离或内含

想一想:已知两个圆:x2+y2=1①与 x2+(y-3)2=1②,则由① 式减去②式,可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线 仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而 已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广命题是什么? 提示 设圆方程 (x - a)2 + (x - b)2 = r2 ①与 (x - c)2 + (y - d)2 = r2

②,(a≠c 或 b≠d),则由①-②,得两圆的对称轴方程.

名师点睛 1.利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大、最小值,需过圆心向直线作垂线.

(1)如图①所示,当直线 l 与圆 C 相交时,最小距离为 0,最大 距离为|AD|=r+d.其中 r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离; (2)如图②所示,当直线 l 与圆 C 相切时,最小距离为 0,最大 距离为|AD|=2r; (3)如图③所示,当直线 l 与圆 C 相离时,最小距离为|BD|=d -r,最大距离为|AD|=d+r.

2.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系. (1)与直线系方程一样,了解一些常见的圆系方程可以帮助我们 简化解题思路. ①同心圆系: 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 同心的圆系方程为 x2 +y2+Dx+Ey+λ=0.

②相交圆系:过两圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 x2+y2+D2x +E2y+F2 =0 的交点的圆系方程为 (x2 +y2 +D1x+E1y+F1)+ λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).λ=-1 时为两圆公共弦 所在直线方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0,特别地,两 圆相切时,此方程表示两圆的公切线方程. ③过直线 l:Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0)的交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+ By+C)=0.

(2)过两圆交点的直线 设圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.② ①-②得:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,③ 若圆 C1 与圆 C2 相交, 则③为过两圆交点的弦所在的直线方程. 若圆 C1 与圆 C2 半径相等,则③表示两圆的对称轴,事实上, 可以证明直线③过两圆连心线的中点且与两圆连心线垂直.

3.两圆相交时公共弦长的求法. (1)若两圆相交时, 把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程. (2)求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距,再 结合勾股定理求弦长.

题型一

两圆位置关系的判定

【例 1】 已知圆 C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2 -4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求 a 为何值时两圆 C1、C2(1)相切;(2)相交;(3)相离. [ 思路探索 ] 利用圆心距与半径和或差的关系列出关系式是解 答本题的关键,但应注意相切和相离均包含两种情况.



对圆 C1、C2 的方程,经配方后可得:

C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心 C1(a,1),r1=4;圆心 C2(2a,1),r2=1, ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a, (1)当|C1C2|=r1+r2=5 即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3 即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5 即 3<a<5 时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5 即 a>5 时,两圆外离.当|C1C2|<3 即 0<a<3 时两圆内含.

规律方法

判断两圆的位置关系有两种方法:一是解由两圆方

程组成的方程组,若方程组无实数解,则两圆相离;若方程组 有两组相同的实数解,则两圆相切;若方程组有两组不同的实 数解, 则两圆相交; 二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系. 第 一种方法在计算上比较繁琐,因此一般采用第二种方法.

【变式 1】 当实数 k 为何值时,两圆 C1:x2+y2+4x-6y+12 =0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0 相交、相切、相离? 解 将两圆的一般方程化为标准方程, C1:(x+2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k, 圆 C1 的圆心为 C1(-2,3),半径 r1=1; 圆 C2 的圆心为 C2(1,7),半径 r2= 50-k(k<50). 从而|C1C2|= ?-2-1?2+?3-7?2=5.

当 1+ 50-k=5,k=34 时,两圆外切. 当| 50-k-1|=5, 50-k=6,k=14 时,两圆内切. 当|r2-r1|<|C1C2|<r2+r1, 即 14<k<34 时,两圆相交. 当 1+ 50-k<5 或| 50-k-1|>5, 即 k<14 或 34<k<50 时,两圆相离.

题型二

与两圆相切有关的问题

【例 2】 求与圆 C1:(x-2)2+(y+1)2=4 相切于点 A(4,-1), 且半径为 1 的圆 C2 的方程. [思路探索] 由两圆相切,知切点必在两圆的圆心连线上,求出 圆心坐标;或利用两圆相切时圆心距和半径之间的关系,求出 圆心坐标.

解 法一

由圆 C1:(x-2)2+(y+1)2=4,知圆心为

C1(2,-1), 则过点 A(4,-1)和圆心 C1(2,-1)的直线的方程为 y=-1, 设所求圆的圆心坐标为 C2(x0,-1), 由|AC2|=1,即|x0-4|=1, 得 x0=3,或 x0=5, ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1, 或(x-3)2+(y+1)2=1.

法二

设所求圆的圆心为 C2(a,b),

∴ ?a-4?2+?b+1?2=1,① 若两圆外切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=1+2=3,② 联立①、②解得 a=5,b=-1, ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1; 若两圆内切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=2-1=1,③ 联立①、③解得 a=3,b=-1, ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1,或(x-3)2+(y+1)2=1.

规律方法

两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解,圆与直

线相切时,该圆心到这条直线的距离等于圆的半径,若已知切 点坐标,也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径.

【变式 2】 求经过点 A(-2,-4)且与直线 l:x+3y-26=0 相 切于点 B(8,6)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心
? D E? C?- 2 ,- 2 ?. ? ?

E 6+ 2 ∴kCB= D.由 kCB· kl=-1, 8+ 2

E 6+ ? ? 2 1 ? -3?=-1.① 得 D· ? ? 8+ 2 又有(-2)2+(-4)2-2D-4E+F=0,② 82+62+8D+6E+F=0.③ 由①②③联立可得,D=-11,E=3,F=-30. ∴所求圆的方程为 x2+y2-11x+3y-30=0.

题型三

两圆相交的相关问题

【例 3】 (12 分)如图所示,已知圆 M:x2+y2-2mx-2ny+m2 -1=0 与圆 N:x2+y2+2x+2y-2=0 交于 A、B 两点,且这两 点平分圆 N 的圆周,求圆 M 的圆心 M 的轨迹方程,并求其半 径最小时的圆 M 的方程. 审题指导 两圆的公共弦过圆 N 的圆心是解决问题的突破口.

【解题流程】

[规范解答] 两圆方程相减,得公共弦 AB 所在的直线方程为 2(m+1)x+2(n +1)y-m2-1=0,(2 分) 由于 A、B 两点平分圆 N 的圆周, 所以 A、B 为圆 N 直径的两个端点, 即直线 AB 过圆 N 的圆心 N.(4 分)

而 N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m2-1=0, 即 m2+2m+2n+5=0, 即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 由于圆 M 的圆心 M(m,n), 从而可知圆 M 的圆心 M 的轨迹方程为(x+1)2=-2(y+2),(9 分) 又圆 M 的半径 r= n2+1≥ 5,(n≤-2), 当且仅当 n=-2,m=-1 时半径取得最小值, ∴圆 M 的方程为 x2+y2+2x+4y=0.(12 分)

【题后反思】 本题的解答技巧主要有两个:一是由 A、B 两点 平分圆 N 的圆周,联想到直线 AB 经过圆 N 的圆心 N;二是通 过点 N 在直线 AB 上,得到 m,n 满足的关系式,进而得到圆 心 M 的轨迹方程.另外,两圆方程相减,得公共弦所在直线也 是解答本题的关键.

【变式 3】 已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与 C2:x2+y2- 2x+10y-24=0 相交于 A,B 两点, (1)求公共弦 AB 的长; (2)求圆心在直线 y=-x 上,且过 A,B 两点的圆的方程; (3)求经过 A,B 两点且面积最小的圆的方程. 解 (1)由两圆方程相减,即得 x-2y+4=0, 此为公共弦 AB 所在的直线方程. 圆心 C1(-1,-1),半径 r1= 10, |-1+2+4| C1 到直线 AB 的距离为 d= = 5. 5
2 故公共弦长|AB|=2 r2 - d =2 5. 1

y+1 x+1 (2)圆心 C2(1,-5),过 C1,C2 的直线方程为 = ,即 -5+1 1+1 2x+y+3=0.
? ?2x+y+3=0, 由? ? ?y=-x,

得所求圆的圆心为(-3,3),

|-3-6+4| 它到 AB 的距离为 d= = 5, 5 ∴所求圆的半径为 5+5= 10, ∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.

(3)过 A,B 且面积最小的圆就是以 AB 为直径的圆.
? ?x-2y+4=0, 由? ? ?2x+y+3=0,

得圆心坐标为(-2,1),半径 r= 5.

∴所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

方法技巧 坐标法在平面几何问题中的应用 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几 何元素,将几何问题转化为代数问题; (2)通过代数运算解决代数问题; (3)把代数运算结果“翻译”成几何结论. 建立坐标系时要尽可能使所涉及的点位于坐标轴上,如:已知 图形中有互相垂直的线段,常选择互相垂直的线段所在的直线 作为 x 轴与 y 轴.

【示例】

某公园的 A,B 两个景点位于一条小路的同侧,分

别距小路 2 km,2 2 km,且 A,B 两景点间相距 2 km.现要在 小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏、 拍摄效果,则观景点应设于何处? [思路分析] 所选观景点, 要对两景点视角最大. 由平面几何知, 该点是过 A、B 两点的圆与小路所在的直线的切点.



以小路所在的直线为 x 轴,点 B 在 y 轴上建立平面直角坐

标系,如图所示. 由题意,知 A( 2, 2),B(0,2 2).

设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2. 由 A、B 在圆上,得
? ?a=0, ? ? ?b= 2 ? ?a=4 或? ? ?b=5

2, 2.

? ?a=0, 结合实际意义,知? ? ?b= 2.

故圆的方程为 x2+(y- 2)2=2,切点为 O, 所以观景点应设在 B 景点在小路的投影处.

方法点评 这是一个实际问题, 要通过建立数学模型来解决, 即 结合平面几何知识先去判断曲线的形状,然后求出轨迹方程.

单击此处进入

活页限时训练


相关文章:
(北师大版)数学必修二课时作业:2.2.3.2圆与圆的位置关系(含答案)
(北师大版)数学必修二课时作业:2.2.3.2圆与圆的位置关系(含答案)_数学_高中教育_教育专区。温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节...
高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系练习题
高中数学必修二直线与圆圆与圆的位置关系练习题_数学_高中教育_教育专区。1....( ) D.3-2 C.-3-2 ) 7.圆 x2+y2+6x-7=0 和圆 x2+y2+6y-27...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 2.2.3.2圆与圆的位置关系]
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 2.2.3.2圆与圆的位置关系]_高中教育_教育专区。【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师...
2.2.3 直线与圆的位置关系—艾文宇
直线与圆圆与圆的位置关系》 (第一课时)教学设计江西省彭泽县第一中学 艾文宇 一、教学课题:北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修二第二章 2.3 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二练习:2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二练习:2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系]_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大...
直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题
直线与圆圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点(切点) ; 3、直线...
【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系练习 北师大版必修2
【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系练习 北师大版必修2_数学_高中教育_教育专区。2.3 直线与圆圆与圆...
2.3.3《直线与圆的位置关系》教案(新人教B必修2)
2. 教学建议 (1)重难点分析: 本节教材的教学重点是能根据给定直线与圆的方程, 判断直线与圆的位置关 系,能根据给定两圆的方程,判断两圆的位置关系.以及求圆...
高中数学必修2圆与方程典型例题
高中数学必修2圆与方程典型例题_数学_高中教育_教育专区。圆的标准方程,一般方程,简单的直线与圆,圆与圆的关系 第二节:圆与圆的方程典型例题一、圆的定义:平面...
更多相关标签:
北师大英语必修二课件 | 北师大版英语必修一 | 北师大高一英语必修一 | 北师大英语必修一 | 北师大高中英语必修一 | 北师大高一数学必修1 | 北师大高中数学必修2 | 北师大版数学必修一 |