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数学理卷·2014届四川省成都市高三第二次诊断性考试(2014.03)word版


成都市 2011 级高中毕业班第二次诊断性检测
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题 目要求的. 1. 设复数 z ? 3 ? i (i 为虚数单位)在复平面中对应点 A,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 0° 得到 OB,则点 B 在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象

限 2. 执行如图的程序框图,若输入的 x 值为 7,则输出的 x 的值为 (A)

1 4

(B) log 2 3 (C)2 (D)3 3.

?x ? 1?10 的展开式中第 6 项系的系数是
5

(A) - C10 (C) - C10
6

(B) C10 (D) C10
6

5

?y ?1 ? 4. 在平面直角坐标系 xoy 中, P 为不等式 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域上一动点,则直线 OP 斜率的最大 ?x ? y ?1 ? 0 ?
值为 (A)2 (B)

1 3

(C)

1 2

(D)1

5. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,则“平面 ? // 平面 ? ”成立的一个充分条件是 (A)存在一条直线 l , l ? ? , l // ? (C)存在一条直线 l , l ? ? , l ? ? (B)存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? (D)存在一个平面 ? , ? // ? , ? ? ?

6. 设命题 p : ?? 0 , ?0 ? R, cos?? 0 - ?0 ? - cos? 0 ? cos?0; 命题 q : ?x, y ? R, 且 x ?

?
2

? k? ,

y?

?
2

? k? , k ? Z ,若 x>y ,则 tan x>tany ,则下列命题中真命题是
(B) p ? ??q ?
2

(A) p ? q

(C) ??p ? ? q

(D) ??p ? ? ??q ?

2 7. 已知 P 是圆 ?x ? 1? ? y ? 1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,若 OP ? d ,则函数

d ? f ?? ? 的大致图像是

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8. 已知过定点 ?2,0 ? 的直线与抛物线 x ? y 相交于 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 两点.若 x1 , x2 是方程
2

x 2 ? x sin ? ? cos? ? 0 的两个不相等实数根,则 tan? 的值是
(A)

1 2

(B) -

1 2

(C)2

(D)-2

9. 某市环保部门准备对分布在该市的 A, B, C, D, E, F , G, H 等 8 个不同检测点的环境监测设备进行监测维护. 要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备,且每天至少去一个监测点进行检测维护,其中

A, B 两个监测点分别安排在星期一和星期二, C , D, E 三个监测点必须安排在同一天, F 监测点不能安排在星
期五,则不同的安排方法种数为 (A)36 (B)40 (C)48 (D)60

10. 已知定义在 ?0,?? ? 上的函数 f ? x ? ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x ) ? 2 ? 4 x ?

1 ; 当 x>1 时, 2

f ?x ? ? af ?x ? 1?, a ? R, a 为常数.下列有关函数 f ? x ? 的描述:
①当 a ? 2 时, f ? ? ? 4 ; ③当 a>0 时,不等式 f ?x ? ? 2a

?3? ?2?

②当 a <1, 函数 f ? x ? 的值域为 ?- 2,2? ;
x? 1 2

在区间 ?0,?? ? 上恒成立;
n?1

④当 -1 <a<0 时,函数 f ? x ? 的图像与直线 y ? 2a 述正确的个数有 (A)4

? 1? ?n ? N ? 在 ?0,n? 内的交点个数为 n ? 1 ? ?2
?

n

.其中描

(B)3

(C)2

(D)1

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图,则这个圆锥的侧面积为 _______. 12. 已知定义在 ?0. ? ? ? 上的函数 f ( x ) ? 3 ,若 f (a ? b) ? 9 ,则
x

f ( ab) 的最大值为_____.
13. 甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示,如果 分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过 3 的概率为_______. 14. 如图,在平行四边形 ABCD 中, BH ? CD 于点 H , BH 交 AC 于点 E ,已知

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BE ? 3 , AB ? AC ? BE ? CB ? AE ? 15 ,则

2

AE EC
? ?

? __________.

15. 已知单位向量 i, j , k 两两所成的夹角均为 ? ? 0<?<?,且? ?

??

?, 2?

若空间向量 a 满足 a ? xi ? yj ? zk ?x, y, z ? R ? ,则有序实数对 ? x, y, z ? 称为向量 o 在“仿射”坐标系

Oxyz?O为坐标原点? 下的“仿射”坐标,记作 a ? ?x, y, z ?o .有下列命题:
①已知 a ? ?2,0, - 1?o , b ? ?1,0, 2?o ,则 a ? b ? 0 ;

0 ?? , b ? ?0,0, z ?? ,其中 xyz ? 0 ,则且仅当 x ? y 时,向量 a ? b 的夹角取得最小值; ②已知 a ? ? x, y,
2 2

③已知 a ? ?x1 , y1 , z1 ?? , b ? ?x2 , y2 , z2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2,z1 ? z2 ?? ;
2

④已知 OA ? ?1 , 0,0?? , OB ? ?0,1, 0?? , OC ? ?0,0,1?? ,则三棱锥 O ? ABC 体积为
2

2

2

12 . 12

其中真命题有________(填写真命题的所有序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin? wx ?

? ?

??

2 ? ? 2 sin wx?w>0? ,已知函数 f ( x) 的图像的相邻对称轴的 6?

距离为 ? . (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)若△ ABC 的内角为 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c (其中 b<c ) , 且 f ( A) ?

3 ,△ ABC 面积为 S ? 6 3,a ? 2 7 ,求 b , c 的值. 2
2 ?

17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,其前 n 项和为 S n ? pn ? 2n, n ? N . (I)求 P 的值及 an ; (II)在等比数列 ?bn ? 中, b3 ? a1 , b 4 ? a2 ? 4 ,若等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。求证:数列 ?Tn ? ? 为等 比数列. 18. (本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∠BCA=90°,AA1 ? AC

? ?

1? 6?

? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D .
(I)求证: AC1 ? BA1 ;

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(II)求 A ? A1B ? C 的余玄值. 19.(本小题满分 12 分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间 大于或等于 6 千小时的产品为优质品.现用 A, B 两种不同型号的节能灯做实验,各随机抽取部分产品作为样本, 得到实验结果的频率直方图如下图所示:

若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (I)现从大量的 A, B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率; (II)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现, A 型节 能灯每件产品的利润 y 单位:元 与使用时间 t 单位:千小时 的关系式如下表: 使用时间 t (单位:千小时) 每件产品的利润 y(单位: 元)

?

?

?

?

t<4
-20

4 ? t<6
20

t?6
40

若从大量的 A 型节能灯中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望.

? 3 ,平面上一动点 P 满足 20.( 本 小 题 满 分 13 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 , 已 知 M 0,3 , N 0,
PM ? PN ? 4 ,记点 P 的轨迹为 P .
(I)求轨迹 P 的方程;

?

? ?

?

1? 且不垂直于坐标轴的直线 l1 : y ? kx ? b1 与轨迹 P 相交于 A, B 两点,若 y 轴上存在一点 Q , (II)设过点 E ?0,
使得直线 QA, QB 关于 y 轴对称,求出点 Q 的坐标;

1? ,且不垂直坐标轴的直线 l ,它与轨迹 P 及圆 E : x ? ? y ? 1? ? 9 从左到右依次交 (III)是否存在不过点 E ?0,
2 2

于 C , D,F , G 四点,且满足 ED ? EC ? EG ? EF ?若存在,求出当△ OCG 的面积 S 取得最小值时 k 的值;若
2

不存在,请说明理由.

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21.(本小题满分 14 分)

? ln x , x>6 ? 已知函数 f ? x ? ? ? x 其中 a, b ? R , e 为自然对数的底数. , ?e ? x x 3 ? 3 x 2 ? ax ? b , x ? 6 ?

?

?

(I)当 a ? b ? ?3 时,函数 f ? x ? 的单调区间; (II)当 x ? 6 时,若函数 h?x ? ? f ?x ? ? e
?x

?x

2

? b ? 1 存在两个相距大于 2 的极值点,求实数 a 的取值范围;

?

(III)若函数 g ? x ? 与函数 f ? x ? 的图像关于 y 轴对称,且函数 g ? x ? 在点 ?- 6,m ? , ?2,n ? 单调递减,在 ?m, 2? ,

5 ?n, ? ? ? 单调递增,试证明: f ?n ? m ?<

6 . 36

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