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第二十三届希望杯全国数学邀请赛高二第1试试题WORD


第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第1试 2012 年 3 月 11 日 上午 8:30 至 10:00 得分 一、 选择题(每小题 4 分,共 40 分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请 将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 得分 答案 1. 集合 P ? {x | x ? 1, x ? R}, Q ? {

x |

x ? 1 ? 1, x ? Z } ,则 P ? Q ? ( )
( D)[?1,1].


( A)(0,1).

( B){0,1}.

(C )[0,1].

2. 已知 x ? 0, A ? log3 (1 ? x ), B ? log4 x ,则 A 与 B 的大小关系是(

( A) A ? B.

( B) A ? B.

(C ) A ? B.

( D) 随 x 的值而定.

3. 有若干个同心圆,其半径是公比为 q(q ? 1) 的等比数列,相邻的两个圆组成一个圆环, 则这些圆环的面积( )

( A) 不是等比数列.

( B ) 是等比数列,公比为 q . ( D) 是等比数列,公比为 q 2 ? 1.

(C ) 是等比数列,公比为 q 2 .

4. 设 a, b 是两个非零向量,则“ a 和 b 同向”是“ (a? )2 ? (a? )(b? ) ”的( ) b a b

? ?

?

?

??

? ? ??

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分且必要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 既不充分也不必要条件
x ?y

5. 已知 x, y ? R ,且 3 ? 5

? 3 y ? 5? x ,则下列关系式中成立的是( ) ( D) ln( y ? x ? 1) ? 1.


( A)ex? y ? 1. ( B)e y ? x ? 1. (C ) ln( x ? y) ? 0.

6. The range of values for the function y ? x ? 1 ? x 2 is (

( A)[? 2, 2]. ( B)(? 2, 2).

(C)[?1, 2]. ( D)(?1, 2)


2 2 7. 方程 x ? y ? 2 ? x x ? 2 ? ( y ? 2) y ? 4 y ? 6 ? 0 的正整数解的个数是(

( A)1.

( B )2.

(C )5.

( D) 无穷多个.

已知正三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AA ? a , AB ? 2a ,M 、 1 1

N 、 E 分别是 AB 、 AC 、 A1B1 的中点,那么平

8. 面 BCE 与平面 MNE 所成的二面角的余弦值是( )

( A)

3 . 2

( B)

7 2

(C )

7 7

( D)

2 7 7

9. 椭圆 x ?
2

y2 ? 1的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于( ) 4
(B) 4 5 (C ) 5 6 ( D)

7 8 10. 定义:过双曲线焦点的直线与双曲线交于 A 、 B 两点,则线段 AB 称为该双曲线的焦点
弦。已知双曲线

3 ( A) . 4

x2 y 2 ? ? 1 ,那么过该双曲线左焦点,长度为整数且不超过 2012 的焦 25 9

点弦的条数是( )

( A)4005
二、

( B)4018

(C )8023

( D)8036

A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)

11. 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x) 满足: f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? 1, 则 g (2) ? 12. 函数 y ? e2 x?1 ? ex ( x ? R) 的单调递减区间是 13. 平面直角坐标系中,已知点 A(2,1) ,动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y ? x 上,那么

? ABC 的周长的最小值是
14. 已知 sin ? ? cos ? ?

? 2 ,则 tan(? ? ) ? 3

2011n ? 2013n ? Z ? , n ? Z ? } , A 中的元素从小到大地排列为:a1, a2 ,?, 15. 设 A ? {n | 将 2012
则 a1 ? a2 ? ?a2012 ?
2 xn ? 1 16. 已知数列 {xn } 中, x1 ? 3, xn?1 ? ,则数列 {xn } 的通项公式 xn ? 2 xn

17. 设 A 是半径为 5 的 ? O 上的一个定点, 单位向量 b 在 A 点处与 ? O 相切, P 是 ? O 上 点

?

b 的一个动点,且点 P 与点 A 不重合,则 AP ? 的取值范围是
18. Suppose the equation x ? 2kx ? k ? 1 ? 0 has two unequal real roots x1 , x2 ,which
2 2

??? ? ?

satisfy xi ?1 ? 3(i ? 1, 2) . Then the range of values for the real number k is

18. 如图 2,在正四面体 ABCD 中, P , P2 是 BC 的 3 等分点,过这两 1 个分点分别作 CD 的平行线 PQ1 , P Q2 ,其中 Q1 , Q2 在 BD 上,则 1 2 点 B 到平面 APQ1 , AP Q2 的距离之比是 1 2

19. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 a 2 b2

???? ???? AF1F2 的一边 AF1 与双曲线左支交于点 B ,且 AF1 ? 4BF1 ,则双
曲线 C 的离心率的值是 三、 B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分) 21.一个正数的小数部分、 整数部分及它自身构成等比数列, 则该数的整数部分是 , 小数部分是 22.已知正三棱锥的侧面面积与底面积之比等于 ? ,则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等 于 ,侧棱与底面所成角的正弦值等于 23.设曲线 y ? x
n?1

(n ? N * ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 xn ?



log2012 x1 ? log2012 x2 ? ? ? log2012 x2011 ?
24.已知函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 是

? 3? ) cos( x ? ) ? cos x cos( x ? ) ,则 f ( x) 的最小正周期 4 4 2 ? ,若函数 f ( x ) 的图象按向量 b ? ( m, n) 平移后,所得的图象与函数
? ? ,则 b ? 2

?

g ( x) ? sin 2 x ? 1图象重合,且 m ?
25.已知 f ( x) ? ?

?e ln x , 0 ? x ? 5, ? 若方程 f ( x) ? k ( k是常数) 有三个不同的实数根 a, b, c, 且 ?? x ? 10, x ? 5. ?
, c 的取值范围是

a ? b ? c, 则 ab ?


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