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高考文科数学数列,三角函数,复数的总结和习题


复习:
1. 设全集 U ? {x ? N * | x ? 6} ,集合 A={1,3}。B={3,5},则 ? U ( A ? B) ? ( (A) {1,4} 2 . sin 585 °的值为 (A) ? (B) {1,5} )

(C) {2,4} (D) {2,5}

2 2

(B)

/>2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

-3+i 1. 复数 z= 2+i 的共轭复数是 (A)2+i
5i ? 2.复数 1 ? 2i

(B)2-i

(C)-1+i

(D)-1-i

A. 2 ? i

B. 1 ? 2i

C. ?2 ? i

D.

关于对应的点在第几象限问题?
(13)设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 = 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 17) (本小题满分 10 分) 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn .
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

×

解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9?

例 :设等差数列{ an }的前 n 项和为 s n ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项和为 Tn ,

已知 a1 ? 1, b1 ? 3, a3 ? b3 ? 17, T3 ? S3 ? 12, 求{an },{bn } 的通项公式。 17)解: 设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 a3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2d ? 3q2 ? 17 由 T3 ? S3 ? 12 得 q2 ? q ? d ? 4 由①②及 q ? 0 解得 故所求的通项公式为 ① ②

q ? 2, d ? 2

an ? 2n ?1, bn ? 3? 2n?1

复数的相关知识复习
1 复数的除法运算
a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
2 2 2 复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a ? b

3 复数的共轭复数----------实部相等,虚部互为相反数。

三角函数、三角变换、
1 同角三角函数的基本关系式
sin ? sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = cos ? .
2 2

2 和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? .

3、二倍角公式
sin 2? ? sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

1 ? cos 2? ; 2 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 公式变形: 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ?

4 三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, A≠0, 且
T? 2?

ω >0)的周期

? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) ,
T?

x ? k? ?

?
2

,k ?Z

(A,ω , ? 为常数,

且 A≠0,ω >0)的周期

? ?.

π 5π 已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π (A)4 π (B)3 π (C)2 3π (D) 4

高中数学

必修 4 知识点
第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ??
第一象限角的集合为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
终边在 x 轴上的角的集合为
? ? ? ? ?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是

? ?

l r



6、弧度制与角度制的换算公式: 2? 7、若扇形的圆心角为 ?

? 360? , 1? ?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? ? 57.3 . ? ? ?

?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y P T v O
本 关 系 : ;

C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点

r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

?

,则 sin ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? 11 、 角

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .
角 函 数
2

M A

x







?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1
? 2?
sin ? ? tan ? cos ?

? sin

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数
1

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 ②数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
1

y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? ?

个单位长度,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 14、函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
2?

①振幅: ? ;②周期: ? ? 函数 则?

?

;③频率:

f ?

1 ? ? ? 2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ;当 x ?

y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin
?

x2 时,取得最大值为 ymax ,

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质

数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?

??1,1?

当 时

x ? 2 k? ?


?
2

? k ???
; 当

当 x ? 2k?

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

最 值

ymax ? 1

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 在 奇函数 偶函数 奇函数

2?

?

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?


单 调 性

? k ??? 上是增函数;在
3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? 上 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

是增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对 称 性 对称轴 x

? k? ,0?? k ???
? k? ?







心 对称中心 ? 无对称轴

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k ???

解三角形、
1 正弦定理
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C .

2、余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

3、三角形面积公式
S? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 .

4 三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

平面向量
1、 a 与 b 的数量积(或内积) 2、平面向量的坐标运算

a ? b ?| a | ? | b | cos?

??? ??? ??? ? ? ? ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (1)设 A
(2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则
a ? x2 ? y2

3、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则
cos? ? a ?b ab ? x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

4、向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0
题目 2009 年文科全国卷 1 (4)已知 tan a =4,cot ? = ,则 tan(a+ ? )= 3 7 7 7 7 (A) (B) ? (C) (D) ? 11 11 13 13
1 已知△ABC 中, cot A ? ?

12 ,则 cos A ? 5

(A)

12 13

(B)

5 13

(C) ?

5 13

(D) ?

12 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 除 A 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? (6) 已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= (A) 5 答案:C 解析:本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a ? b ? 5 2 知(a+b)2=a2+b2+2ab=50, 得|b|=5 选 C。 ( 9 ) 若 将 函 数 y ? tan( ?x ? (B) 10 (C)5 (D)25

?
4

)(? ? 0) 的 图 像 向 右 平 移

y ? tan( ?x ?
(A)

?
6

? 个单位长度后,与函数 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为
(B)

1 6

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

答案:D 解析:本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出ω min= ( 15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为___15)

1 2

15 3 4

______.

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , (+ 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? sn ? sn?1 , n ? 2 ?
24、等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
25、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ,则 ” 逆否命题: “若 ,则 ” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .

?p

?q

逆命题: “若 q ,则 p ”

?q

?p

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的”“任意一个”等,用“ ? ”表示; 、 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个”“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;


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