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江苏省涟水中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题


涟水中学 2014-2015 年学年度第一学期期末调研测试 高二数学试题
一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内) 1、命题“ ?x ? 0, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

. . .

2、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 3、

曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是

4、直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? ___ ___. 5、已知圆柱的底面半径为 1,体积为 2? ,则这个圆柱的表面积是 .

6、以双曲线

x2 ?

y2 ?1 3 的右焦点为焦点的抛物线标准方程是



7、如图,在边长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上一点, 则三棱锥 M-DEC 的体积是 8、下列有关命题的说法中,正确的是 (填所有正确答案的序号). D1 M C1

.

2 ① 命题“若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,

A1
D A

B1

2 则 x ?1 ? 0 ” ;

p ② 已知命题 p : x ? 1且y ? 1 ,命题 q : x ? y ? 2 ,则命题 是命题

E

.

C
B

q 的必要不充分条件。

(第 7 题) 图)

p:
③命题

x2 y2 ? ?1 m ?1 m ? 4 表示椭圆为真命题,则实数 m 的取值范围是 1 ? m ? 4 .

2 x 2 ? y ? 1 a ? 0, b ? 0 ? ? 2 b2 9、设双曲线 a 的实轴长为 2,焦点到渐近线的距离为 2 ,则双曲线的

渐近线方程为

.

10、设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ②若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ;

-1-

④若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? 其中命题正确的是 . (填序号)

2 2 11 、在平面直角坐标系 xOy 中 , 设点 P 为圆 o : x ? y ? 2 x ? 0 上的任意一点 , 点 Q(2a, a ? 3)

( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为__

____.

12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知射线 OA : x ? y ? 0( x ? 0), OB : x ? 2 y ? 0( x ? 0) ,过 点 P(2, 0) 作直线分别交射线 OA 、 OB 于点 E 、 F ,若 EP ? PF ,则直线 EF 的斜率 为 _

uur

uuu r

x2 y2 13、在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的 圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P,Q 两点.若△PQM 是锐角三角 形,则该椭圆离心率的取值范围是 . 14、 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线, 则当 a >0 时, 实数 b 的 最小值是 . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (本题满分 14 分)

1 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a ? a ? R ? 3 已知函数 .
(1)求函数 f ( x) 的单调增区间;

?4,4? (2)若函数 f ( x) 在区间 ? 上的最大值为 26 ,求 a 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD. ⑴ 求证:AB⊥PD; P ⑵ 若 M 为 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDM.
M

D

C
-2-

A

B

17、 (本题满分 15 分) 已知点 P(2, 0) ,圆 C 的圆心在直线 x ? y ? 5 ? 0 上且与 y 轴切于点 M (0, ?2) , (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 2 ,求直线 l 的方程; (3)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,过点 P(2, 0) 的直线 2 垂直平分弦 AB ,

l

这样的实数 a 是否存在,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

18. (本题满分 15 分) 经销商用一辆 A 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距 400 km 的水果批发市场. 据测算, A 型卡车满载行驶时,每 100 km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h),的关系近

? v +23,0<v≤50, 似地满足 u=? v2 ?500+20,v>50.
100

,除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均每小时

300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用),将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2) 该卡车以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

-3-

19. (本题满分 16 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F,F b 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E : a 的左、右焦点分别为 1 2 ,

2 上、下顶点分别为 M,N.若椭圆离心率为 2 ,短轴长为 2.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 MF2 与椭圆交于另一点 E,求 ? MF1 E 的面积;
2 2 (3) Q(m, n) 是单位圆 x ? y ? 1 上任一点,设 P, A, B 是椭圆 E 上异于顶点的三点且满足

??? ? ??? ? ??? ? OP ? mOA ? nOB .求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值。

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x (a 为实常数 ) 。
2

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围。

-4-

高二上学期期末考试参考答案
2 1、 ?x ? 0, x ? x ? 1 ? 0

? 2、 6

3、 x ? y ? 1 ? 0 9、 y ? ? 2 x

2 4、 3

5、 6?

2 6、 y ? 8 x

1 3 a 6 7、

8、①

10、②④

11、 5 ? 1

12、-2

13、 (

6- 2 ,1) 2

14、-1

1 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a 2 ? 3 15、 (1)因为 ,所以 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3, ????????3 分
2 ? 令 f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 ,????????????5 分

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (?1,3) .?????????????7 分 (2)由函数在区间 ? x
f ?( x )

?4,4?

内的列表可知:

-4

( ?4, ?1)


-1 0

(?1,3)
+

3 0

(3, 4)


4

f ( x)
函数 f ( x) 在 ( ?4, ?1) 和 (3, 4) 上分别是减函数,在 (?1,3) 上是增函数. ?????9 分

又因为

f (?4) ? a ?

76 , f (3) ? a ? 9 3 ,所以 f (?4) ? f (3) ,

所以 f (?4) 是 f ( x) 在 [?4, 4] 上的最大值,??????????11 分

所以

a?

76 2 ? 26 a? . 3 3 ?????????????????14 分 ,即

16、证明: (1)因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥AD. ??????2 分 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 AB⊥平面 PAD, ??????5 分 因为 PD?平面 PAD,故 AB⊥PD. ??????7 分 (2)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OM. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 的中点. ??????9 分 又 M 为 PC 的中点,所以 MO∥PA. ??????11 分 因为 MO?平面 BDM,PA?平面 BDM, 所以 PA∥平面 BDM. ??????14 分
2 2 17、解: (1)由题意圆心 C (3, ?2) ,半径 r ? 3, 故圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9

-5-

即 x ? y ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 ??????????????4 分
2 2

(2)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在)则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,由弦长为 4 2 ,故弦心距 d ? 1 ??????5 分

3k ? 2? 2 k


k ?1
2

?1
, 解得

k??

3 4.

3 y ? ? ( x ? 2) 4 所以直线方程为 , 即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . ????????7 分
当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件.

l 的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 或 x ? 2 ????????????????????9 分
(3)把直线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程, 消去

y ,整理得 (a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 .

由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点, 故 ? ? 36(a ?1) ? 36(a ? 1) ? 0 ,即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 .??????11 分
2 2

设符合条件的实数 a 存在,

l l 由于 2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 2 上. l
kPC ? ?2 ,而
k AB ? a ? ? 1 1 a? kPC ,所以 2.

所以 2 的斜率

1 ? (??, 0) 由于 2 ,

l 故不存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 2 垂直平分弦 AB .?????15 分
(注:*其他解法(如:几何解法)相应给分) 400 400 400 ?100+23?+300· 18、解 (1)由题意,当 0<v≤50 时,y=7.5· 100u+300· v =30· v v

?

?



123 000 v +690,????????3 分

400 400 400 ? v2 +20?+300· 当 v>50 时,y=7.5· 100u+300· v =30· 500 v

?

?

3v2 120 000 = 50 + v +600,????????????6 分

-6-

? v +690,0<v≤50, 所以 y=? 3v2 120 000 ? 50 + v +600,v>50.
123 000

??????????????7 分

123 000 (2)当 0<v≤50 时,y= v +690 是单调减函数, 123 000 故 v=50 时,y 取得最小值 ymin= 50 +690=3 150;????????10 分 3v2 120 000 当 v>50 时,y= 50 + v +600(v>50) 3v 120 000 3?v3-106? 由 y′=25- v2 = =0,得 v=100 25v2 3v2 120 000 当 50<v<100 时,y′<0,函数 y= 50 + v +600 单调递减. 3×1002 120 000 所以当 v=100 时,y 取得最小值 ymin= 50 + 100 +600=2 400?????13 分 由于 3 150>2 400,所以当 v=100 时,y 取得最小值. 答:当卡车以 100 km/h 的速度驶时,运送这车水果的费用最少.????15 分

2 c 2 ? 2 ①, 2b ? 2 ②,由①②及 a 2 ? b 2 ? c 2 可解得: 19、解:(1)由椭圆的离心率为 2 ,得 a
a 2 ? 2, b2 ? c 2 ? 1,
x2 ? y2 ? 1 故椭圆 E 的方程是 2 .

??????????4 分

4 1 x2 E( , ? ) ? y2 ? 1 y ? ?x ? 1 MF 2 2 (2)直线 的方程为 ,与椭圆 联立解得 3 3 ????6 分

1 1 4 S? MF1E ? ? 2 ? (1 ? ) ? 2 3 3 .??????????????????10 分 故
(*其他解法相应给分)
2 x12 x2 2 ? y12 ? 1 ? y2 ?1 P ( x , y ) (3) 设 ,A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 ③, 2 ④,

? x ? mx1 ? nx2 , ??? ? ??? ? ??? ? ? 2 2 y ? my1 ? ny2 . m ? n ? 1 O P ? m O ? A n O B 又 ⑤,因 , 故 ?
(mx1 ? nx2 )2 ? (my1 ? ny2 ) 2 ? 1 2 . (

因 P 在椭圆上 ,故

????????????????12 分

x12 x2 xx 2 ? y12 )m 2 ? ( 2 ? y2 )n 2 ? 2( 1 2 ? y1 y2 )mn ? 1 2 2 整理得 2 .
-7-

1 2 ? y1 y2 ? 0 Q ( m , n ) 将③④⑤代入上式,并注意点 的任意性,得: 2 .

xx

kOA kOB ?

所以,

y1 y2 1 ?? x1 x2 2 为定值. ??????????????????16 分

20、解. (1)? f ( x) ? x ? a ln x ,所以
2

f ?( x) ? 2x ?

a 2 x2 ? a ? x x ??????1 分

由题意 x ? (1,??) ,

f ?( x) ?

2 x2 ? a ?0 x 恒成立,

2 即 2 x ? a ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立,故 a ? ?2 ????????????4 分

(2)

f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) 2 2 x ,当 x ?[1, e] , 2x ? a ?[a ? 2, a ? 2e ]

? ? ①若 a ? ?2 , f ( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上
是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . ?????????5 分

②若 ? 2e ? a ? ?2 ,当
2

x?

?a 1? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当

?a 2 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是

减 函 数 ;



?a ?x?e ? 2 时 , f ( x) ? 0 , 此 时 f ( x ) 是 增 函 数 . 故

[ f ( x)] min ?

f(

?a a a a ) ? ln(? ) ? 2 2 2 2 .?????????7 分

2 2 ? ? ③若 a ? ?2e , f ( x ) 在 [1, e] 上非正 (仅当 a ? ?2e , x=e 时,f ( x) ? 0 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, e] 2 上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e .????????9 分

综上可知,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1;

a a a ln(? ) ? 2 f ( x ) ? 2 e ? a ? ? 2 2 2; 当 时, 的最小值为 2
2 2 当 a ? ?2e 时, f ( x) 的最小值为 a ? e ,???????????????10 分

2 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x ? 2x .

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,

-8-

因而

a?

x 2 ? 2x x ? ln x ( x ?[1, e] )???????????????????????12 分



g ( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) x 2 ? 2x g ?( x) ? ( x ? ln x) 2 x ? ln x ( x ?[1, e] ) ,又 ,?????????14 分

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,

? 从而 g ( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数,
故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [ ?1,?? ) . ?????????16 分

-9-


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