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立体几何知识点总结(简单清晰)


必修 2

第一章

空间几何体知识点总结

(2)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号:
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

一.空间几何体的三视图 正视图:反映了高度和长度 侧

视图:反映了高度和宽度 俯视图:反映了长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x 'O' y ' ,使 ?x 'O' y ' =45 (或 135 )
0 0

2.直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

③画对应图形 ‘ 在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变; ‘ 在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; 直观图与原图形的面积关系: S 直观图 ? S原图形 ? 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积; S 侧面 ? 2? ? r ? l ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

简记为:线面平行,则线线平行.

符号: a ? ?

? ? ? ? a ?b ? ? ? ? b? ?

a ??

2 4

V柱体 ? S ? h

3.直线与平面垂直的判定 ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 简记为:线线垂直,则线面垂直. 符号: m, n ? ? ? ? m?n ? A ?? l ??
l ? m, l ? n ? ?

1 V锥体 ? S ? h 3

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l 球的表面积和体积

1 V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3

?

?

4.直线与平面垂直的性质定理 性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号:
a ??? ? ? a ?b b ?? ?

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行

正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

第二章

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

一.直线与直线的位置关系 共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。(既不平行,也不相交) 二.直线与平面的位置关系有三种情况: 在平面内——有无数个公共点 . 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α = A 平行——没有公共点 符号 a∥α 说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 1.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; α 来表示

符号: ? ? l ? ? ?? ?? ? ? l? 推论:如果两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 符号语言:a∥b, a⊥α ,?b⊥α 三.平面与平面的位置关系: 平行——没有公共点: 符号 α ∥β 相交——有一条公共直线: 符号 α ∩β =a 1.平面与平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

简记为:线面平行,则面面平行.

a ? ?,b ? ? ? 符号: a ? b ? A ? ? ?? ?? a ? ?,b ? ? ? ?

2.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

空间向量与立体几何知识点总结
简记为:面面平行,则线线平行.

? ? 符号: ? ? ? ? a ? ? a ? b ? ? ? ? b? ?

? ??

一.向量基本运算:设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? 1. a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0

?

?

?

?

? ?

补充:平行于同一平面的两平面平行; 夹在两平行平面间的平行线段相等; 两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行; 3.平面与平面垂直的判定 ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 简记为:线面面垂直,则面面垂直. 符号:
l ? ?? l ???

2. a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2

? ?

?

?

? ? ? 2 2 2 3. a ? a ? a ? x1 ? y1 ? z1

? ? a ?b ? ? 4. cos? a , b ? ? ? ? ? a b

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 2 1

一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 1.若两直线 l1、l2 的方向向量分别是 u1 、 u2 ,则有 l1// l2 ? u1 // u2 ,l1⊥l2 ? u1 ⊥ u2 .

??

?? ?

?? ?? ?

??

?? ?

??? ? ?

推论:如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线,则这个平面与另一个平面垂直。 4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面。 简记为:面面垂直,则线面垂直.

?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? v v v v v v 2.若两平面α 、β 的法向量分别是 1 、 2 ,则有α //β ? 1 // 2 ,α ⊥β ? 1 ⊥ 2 . ? ? ? ? ? ? 3.若直线 l 的方向向量是 u ,平面的法向量是 v ,则有 l//α ? u ⊥ v ,l⊥α ? u // v
二、空间角的计算 1.两条异面直线所成角的求法
? ? a ?b cos ? ?| cos ? |? ? ? a?b

? ? a 设直线 a、b 的方向向量为 、 b ,其夹角为 ? ,则有
2.直线和平面所成角的求法 证明线线平行的方法 ①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性 ⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行; 证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为90°; (特别是证明异面直线垂直) ; ②线面垂直的性质 ③利用勾股定理证明两相交直线垂直;④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; 四:三种成角 1.异面直线成角 步骤:1、平移,转化为相交直线所成角;2、找锐角(或直角)作为夹角;3、求解 。 。 注意:取值范围: (0 ,90 ]. 。 。 2.线面成角:斜线与它在平面上的射影成的角,取值范围: (0 ,90 ]. 如图:PA 是平面 ? 的一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线 PA 在平面 ? 上射影, ?PAO 为线面角。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形
如图:在二面角? - l - ?中,O棱上一点,OA ? ?,OB ? ?,

设直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为 u ,直线与平面所成的角为θ , a 与 u 的夹角为 ? ,则有

?

?

?

?

? ? a ?u sin ? ?| cos ? |? ? ? 或 cos ? ? sin ? a?u
3.二面角的求法 设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? . n1 n2
三. 点 P 到平面 α 的距离 如果令平面 α 的法向量为 n ,考虑到法向量的方向,可以得到 B 点到平面 α 的距离为
??? ? ? AB ? n ??? ? BO ? ? n

?

且OA ? l , OB ? l , 则?AOB为二面角? - l - ?的平面角。 。 。 取值范围: (0 ,180 ) 五.点到平面的距离:定义法和等体积法


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