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2011全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明(练习题)


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§14 不等式的证明
课后练习
1.选择题 (1)方程 x -y =105 的正整数解有( (A)一组 (B)二组 (C)三组
2 2

). (D)四组 ).

(2

)在 0,1,2,…,50 这 51 个整数中,能同时被 2,3,4 整除的有( (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 2.填空题 (1)的个位数分别为_________及_________.
4 5 4

(2)满足不 ________.

等式 10 ?A?10 的整数 A 的个数是 x×10 +1,则 x 的值

(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y 被 7 除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程 x -51y =1 的自然数解 x 和 y_________. 3.求三个正整数 x、y、z 满足
2 2

3

. 4.在数列 4,8,17,77,97,106,125,238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数,而 不是 9 的倍数的数组共有多少组?

5.求

的整数解.

6.求证

可被 37 整除.

7.求满足条件

的整数 x,y 的所有可能的值.

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8.已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m 厘米,斜边长为 n 厘米,且 l,m, n 均为正整数,l 为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数.

9.如果 p、q、



都是整数,并且 p>1,q>1,试求 p+q 的值.

课后练习答案
1.D.C. 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可变形为 x =(7y+1) +2y(y-7),令 y=7 可得 x=50.
2 2

3.不妨设 x?y?z,则

,故 x?3.又有

故 x?2.若 x=2,则

,

故 y?6.又有

,故 y?4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数

解.若 x=3,类似可以确定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整数. 4.可仿例 2 解. 5. 分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. ..
略解: a ? b ? 2 ab , 同理 b ? c ? 2 bc , c ? a ? 2 ca ;三式相加再除以 2 即得证.
2 2 2 3 2 2

评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
x1
2

?

x2

2

?? ?

xn

2

x2

x3

x1

? x1 ? x 2 ? ? ? x n , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上

x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? x1 .

再如证 ( a ? 1)( b ? 1)( a ? c ) ( b ? c ) ? 256 a b c ( a , b , c ? 0 ) 时,可连续使用基本不
3 3 2 2 3

等式. (2)基本不等式有各种变式 如(
a?b 2 )
2

?

a

2

?b 2

2

等.但其本质特征不等式两边的次

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数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1.

6.8888≡8(mod37),∴8888
3333

2222

≡8 (mod37).
2222

2

7777≡7(mod37),7777 ≡7 (mod37),8888 2 3 8 +7 =407,37|407,∴37|N.
2 2

3

+7777

3333

≡(8 +7 )(mod37),而

2

3

7.简解:原方程变形为 3x -(3y+7)x+3y -7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件△?0 及 y 为整数可得 0?y?5,即 y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组 解(4,5)、(5,4). 8.∵l +m =n ,∴l =(n+m)(n-m).∵l 为质数,且 n+m>n-m>0,∴n+m=l ,n-m=1.于是 2 2 2 2 l =n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l -1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l +2l+1=(l+1) .即 2(l+m+1)是 完全平方数.
2 2 2 2 2

9.易知 p≠q,不妨设 p>q.令 (4-mn)p=m+2,解此方程可得 p、q 之值.

=n,则 m>n 由此可得不定方程

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