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2007-2014宁夏高考数学(理)导数大题汇总


2007-2014 宁夏高考数学(理)导数大题 [2007] 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2

T 2014-12-16

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取

值范围,并证明所有极值之和大于 ln 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

e . 2

1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . x?a 2

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? ∞) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a,
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 . 若a ?

2 , x ? (? 2,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞ 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? 2 ? 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值. 2 2 ? ? ? ?

若 a ? ? 2 , x ?( 2 ,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
?a ? a 2 ? 2 , 2

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

2 或 a ? ? 2 ,则 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

x2 ?

?a ? a 2 ? 2 . 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值. 当a ? 由根值判别方法知 f ( x ) 2 时,x1 ? ?a ,x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,

在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ).

f ( x) 的极值之和为
1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2

[2008] 21、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

1 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 。 (1) 求 y ? f ( x) ( a, b ? Z ) , x?b

的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线

y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值。
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? a ? 1 , ? 1 2?b ? ? 4 于是 ? 解得 ? 或? 因 a,b ? Z ,故 f ( x ) ? x ? . x ?1 ?a ? 1 2 ? 0, ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ? ? 3 ? ? (2 ? b)
(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所以函数 g ( x ) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?

1 都是奇函数. x

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 ?1 . x ?1

, 平移, ,为 可知, 函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11) 即得到函数 f ( x ) 的图像, 故函数 f ( x ) 的图像是以点 (11)
中心的中心对称图形. (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

y?

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ( x ? 1) 0 ? ?

令 x ?1得 y ?

? x ?1? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1,0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 , 2 x0 ?1) . 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11) ,.

从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 .

[2009](21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (I) (II) 如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; 若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.
(21)解:

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ,故

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x
?3 ? ?e? x ( x ? 9 x) x ? ?x( x ?3 ) (x ? 3?e )

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

0),(3, ? ?) 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少.
(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 3 ?x

? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].

由条件得: f '(2) ? 0,即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

[2010](21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 。 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 (21)解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ?1 . 当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e x ?1 ? 2ax
x 由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x ?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, ] .

1 2

[2011](21) (本小题满分 12 分)

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?1 x
已知函数 f ( x) ? (21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,所以 f ( x) ? ( (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 x2 x
(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 2 ' (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0, 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得
'

1 h(x)<0, 1? x2

与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

[2012](21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x 2

1 2 x ? ax ? b 求(a+1)b 的最大值。 2

【解析】 (1) f ( x) ? f ?(1)e

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2 e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

[2013] 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m) .
x

(Ι )设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

[2014] 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? e
x ?x

? 2x .

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142?
x

2 ? 1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001) .
?x

(21)解: (I) f ?( x) ? e ? e

? 2 ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立。

所以 f ( x) 在 (??,??) 单调递增。 (II) g ( x) ? f (2x) ? 4bf ( x) ? e
2x

? e ?2 x ? 4b(e x ? e ? x ) ? (8b ? 4) x

g ?( x) ? 2[e 2 x ? e ?2 x ? 2b(e x ? e ? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(e x ? e ? x ? 2)(e x ? e ? x ? 2b ? 2) 。
(i)当 b ? 2 , g ?( x) ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立。所以 g ( x) 在 (??,??) 单调递增。 而 g (0) ? 0 ,所以对任意 x ? 0, g ( x) ? 0 ;
x ?x (ii)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e ? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln( b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时,

g ?( x) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ,因此当 0 ? x ? ln( b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时, g ( x) ? 0 。
综上, b 的最大值为 2. (III)由(II)得 g (ln 2 ) ? 当 b ? 2 时, g (ln 2 ) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 2 12

当b ?

3 2 ? 1 时, ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) ? ln 2 4
3 ? 2 2 ? ( 3 2 ? 2 ) ln 2 ? 0 2
所以 ln 2 的近似值为 0.693.

g(ln 2 ) ? ?

ln 2 ?

18 ? 2 ? 0.6934 28


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