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高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (178)


课时作业
一、选择题 1.若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行,则|a+b|= ( A. 10 C. 2 C 10 B. 2 2 D. 2 )

[依题意得,-(x+1)-2×1=0,得 x=-3,

故 a+b=(-2,2)+(1,-1)=(-1,1), 所以|a+b|= (-1)2+12= 2.] 2.已知向

量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 ( A. 13 C. 65 13 B. 5 65 D. 5 )

a· b 2×(-4)+3×7 65 D [依题意得,向量 a 在 b 方向上的投影为 |b| = 2 2 = 5 .] (-4) +7 2 3 3.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角 θ 为 ( A.30° C.120° B.60° D.150° )

B [将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 2 3 1 将|a-b|= 3 |a|两边同时平方得 b2=3a2, 所以 cos θ= (a+b)· (a-b) a2-b2 1 = 4 =2. |a+b|· |a-b| 2 3a

又 0°≤θ≤180°,∴θ=60°.] → ·BC → =1,则 BC= 4.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB

( A. 3 C.2 2 B. 7 D. 23

)

→ ·BC → =1,且 AB=2, A [∵AB → ||BC → |cos(π-B),∴|BC → |cos B=-1. ∴1=|AB 2 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B, ? 1? 即 9=4+BC2-2×2×?-2?.∴BC= 3.] ? ? 5.(2014· 石家庄模拟)已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则 向量 a 与向量 a+b 的夹角为 ( π A.2 π C. 6 π B. 3 D.π )

B [∵|2a+b|2=4|a|2+4a· b+|b|2=7, |a|=1,|b|= 3, ∴4+4a· b+3=7, a· b=0,∴a⊥b. 如图所示,a 与 a+b 的夹角为∠COA, |CA| ∵tan∠COA=|OA|= 3, π π ∴∠COA= 3 ,即 a 与 a+b 的夹角为 3 .] → = 3BD → ,|AD → |=1, 6.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC → ·AD →= 则AC ( A.2 3 3 C. 2 B.3 3 D. 3 )

D [建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1), C(xC,yC), → =(x -x ,y ), BC C B C → =(-x ,1), BD B → = 3BD →, → =((1- 3)x , ∵BC ∴xC-xB=- 3xB?xC=(1- 3)· xB, yC= 3, AC B → → → 3),AD=(0,1),AC·AD= 3.] 二、填空题 7.(2014· “江南十校”联考)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是 ________. 解析 设向量 a,b 的夹角为 θ.

由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0, 即|a|2+a· b=0, ∵|a|=2,∴a· b=-4, ∴|a|· |b|· cos θ=-4, 1 又|b|=4,∴cos θ=-2, 2π 2π 即 θ= 3 .∴向量 a,b 的夹角为 3 . 答案 2π 3

8.(2012· 新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10, 则|b|=________. 解析 ∵a,b 的夹角为 45°,|a|=1,

2 ∴a· b=|a|· |b|· cos 45°= 2 |b|, 2 ∴|2a-b|2=4-4× 2 |b|+|b|2=10.∴|b|=3 2. 答案 3 2

9.(2013· 天津高考)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD

→ → 的中点.若AC·BE=1,则 AB 的长为__________. 解析 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,

→ =AB → +AD →, AC → =BC → +CE → =-1AB → → BE 2 +AD. ? 1→ → ? → ·BE → =(AB → +AD → )· ?-2AB+AD? 所以AC ? ? 1 → 2 → 2 1→ → =-2|AB | +|AD| +2AB·AD 1→2 1→ =-2|AB | +4|AB|+1=1, → |=1(舍去|AB → |=0), 解方程得|AB 2 1 所以线段 AB 的长为2. 答案 1 2

三、解答题 10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45°. (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解析 (1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 2 =2, 2 5· n +4

∴cos 45°=

∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=-3(舍).∴b=(-2,6). (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0,∴λb· a-|a|2=0. |a|2 5 1 ∴λ=b· a=10=2. 1 ∴c=2b=(-1,3).

11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 解析 ? 1? 由已知得,a· b=4×8×?-2?=-16. ? ?

(1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0,即 16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. ? 1 3? 12. 设在平面上有两个向量 a=(cos α , sin α )(0°≤α <360°), b=?- , ?. 2 2 ? ? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. 解析 ?1 3? (1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-?4+4?=0, ? ?

所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a·b+|b|2=|a|2-2 3a·b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a·b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0, 3 ? 1? 则?-2?×cos α+ 2 ×sin α=0,即 cos(α+60°)=0, ? ? 所以 α+60°=k· 180°+90°, 即 α=k· 180°+30°,k∈Z. 又 0°≤α<360°,则α=30°或 α=210°.


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