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高中数学竞赛讲义


复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用 C 来表示。 2. 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi a,b∈R) a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). ( , z=ai 称为代

数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外 设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsin θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。 0≤θ <2π , 若 则θ 称为 z 的辐角主值, 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a ? b .如果用 e 表示 cosθ +isinθ , z=re , 则 称为复数的指数形 2 2 iθ iθ 式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (2) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (3) z ? z ?| z | ; (4) ? 2 ? z1 ?z ? 2 ? z1 ?? ; (5) ? z2 ? | z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ; (6) | 2 2 2 2 z1 |z | |? 1 ; (7)||z1|-|z2||≤|z1 ±z2|≤|z1|+|z2|; (8) z2 | z2 | |z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ? 1 。 z 4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形 和三角形法则; (3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? ? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 z 2 ? 0, z1 r1 ? [cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)], z 2 r2 用指数形式记为 z1z2=r1r2e i(θ 1+θ 2) , z1 r1 i (?1 ?? 2 ) ? e . z 2 r2 n n 5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ). 6. 开 方 : 若 w ? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ? n r ( c o s n ? ? 2k? n ? is i n ? ? 2k? n ) , k=0,1,2,?,n-1。 7. 单位根: w =1, 若

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