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2012年高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及参考答案(word版)


2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、 x ? [ ? 3, 3] 时, 当 函数 f ( x ) ? | x 3 ? 3 x | 的最大值为____________. 2 、 在
?ABC
???? ??? ? ???? ??? ? A C ? B C ? 1 2, A C ? B A ? ? 4,

/>中 , 已 知



A C ? ____________.

3、 从集合 ? 3, 4, 5, 6, 7 , 8? 中随机选取 3 个不同的数, 3 个数可 这 以构成等差数列的概率为____________. 4、 已知 a 是实数, 方程 x 2 ? ( 4 ? i ) x ? 4 ? a i ? 0 的一个实根是 b( i 是虚部单位) ,则 | a ? b i | 的值为____________. 5、 在平面直角坐标系 x O y 中, 双曲线 C :
F
x
2

?

y

2

12

4

? 1 的右焦点为

,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 两点.若
?FAB

A, B

的面积为

8 3

,则直线的斜率为

____________. 6、已知 a 是正实数, k
?a
lg a

的取值范围是____________.
AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 ,C D ? 4 该

7、在四面体 A B C D 中, A B ?

四面体的体积为____________. 8 、 已 知 等 差 数 列 ? a n ? 和 等 比 数 列 ? bn ? 满 足 :
a1 ? b1 ? 3, a 2 ? b 2 ? 7 ,
a 3 ? b3 ? 1 5, a 4 ? b 4 ? 3 5,
*



a n ? b n ? ____________.( n ? N



71 75 9、将 27, 37, 47, 48, 55 , , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个

1

数的和为 3 的倍数,则这样的排列有____________种. 10、三角形的周长为 3 1 ,三边 a , b , c 均为整数,且 a ? b ? c ,则 满足条件的三元数组 ( a , b , c ) 的个数为____________. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ? A B C 中,角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,证明: (1) b cos C (2)
? c cos B ? a
2

co s A ? c co s B a?b

2 sin ? c

C 2

12 、 已 知

a,b

为实数,函数
e 2 ? ln 2 ? 1 .

f ( x ) ? | ln x ?

a x

| ?b( x ? 0)

.若

f (1) ? e ? 1, f ( 2 ) ?

(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd
? 1 ,求证: f ( c ) ? f ( d )

2

13、 如图, 半径为1 的圆 O 上有一定点 M 为 圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点
B
C

, A B ? 1, O B ? 1 .线段 A B 交圆 O 于另一点 ,D 为线段的 O B 中点.求线段 C D 长的取

值范围.

14、设是 a , b , c , d 正整数, a , b 是方程 x 2 ? ( d

? c ) x ? cd ? 0 的两个

根.证明:存在边长是整数且面积为 ab 的直角三角形.

3

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷答案

一、填空题(70 分) 1、18. 2、4. 7、 5 3、
3
3 10

.

4、 2

2

.

5、 .
2

1

6、 [1, ? ? ) . 9、144 种.

.

8、 3 n ?1 ? 2 n ( n ? N * )

10、24.

二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11.证明:(1)在 ? A B C 中,由正弦定理得
b cos C ? c cos B ? 2 R sin B cos C ? 2 R sin C cos B

? 2 R sin( B ? C ) ? 2 R sin A ? a

故命题得证………………………………………………10 分 (2)由(1)知 b co s C ? c co s B ? a , 同理 a co s C ? c co s A ? b , 所以 b cos C ? c cos B ? a cos C ? c cos A ? a ? b 即 c (co s B ? co s A ) ? ( a ? b )(1 ? co s C ) ? ( a ? b ) ? 2 sin 所以
co s A ? co s B a?b 2 sin ? c
2
2

C 2

,

C 2 .

………………………………20 分

12.解:(1)由题设 f (1) ? e ? 1 f ( 2 ) ? 得a
? b ? e ? 1, ln 2 ? a 2 ?b ? e 2 ? ln 2 ? 1,

e 2

? ln 2 ? 1

因为 a ? 2 , 所以 a ? 2 ln 2, 从而 a ? b ? e ? 1, 且 a ? b ?
2

e 2

? 1,

解得 a ? e , b ? 1 . …………………………………………5 分
4

(2)由(1)得 f ( x ) ?
x

ln x ?

e x

? 1.

因为 ln x , ? e 在 (0, ? ? ) 上均单调递增, ln e ? e ? 0
e

令 g ( x ) ? ln x ? e , 所以有
x

当 x ? e 时, g ( x ) ? g ( e ) ? 0 ,从而 f ( x ) ? ln x ? e ? 1 单调递增;
x

当 0 ? x ? e 时,

g ( x ) ? g (e) ? 0

从而 f ( x ) ?

e x

? ln x ? 1

单调递减;

故 f ( x ) 的单调递减区间为 (0 , e ) ;单调递增区间为
(e, ? ? )

……………………15 分
? 1,

(3)因为 c ? d , cd 于是 f ( c ) ?
c

所以 d

?

1 c

, c ? 1,

1 ? ln c ? 1, f ( d ) ? f ( ) ? ec ? ln c ? 1 ? ec ? ln c ? 1 . e c e c

又因为当 c ? 1 时, ec ? ln c ? ln c ? e ?
c

ln c ?

,

所以 f ( c ) ?

f ( d ).

命题得证……………………………20 分

13.解:设 ? A O B ? ? , 因为 O A ? A B ,所以 ? O B A ? ? , ? B A O ? ? ? 2? . 又 O A ? O C ,得 ? O C A ? ? ? 2? , ,于是 ? B O C ? ? ? 3? . 因为 O A ?
AB, D

为线段 O B 的中点

所以 A D ? O B , 从而
O D ? O A ? cos ? ? cos ? .

……………………………………5 分
5

在 ? O C D 中,由余弦定理得
C D ? O C ? O D ? 2 O C ? O D ? cos ? B O C
2 2 2

? 1 ? co s ? ? 2 co s ? ? co s(? ? 3? )
2

? 1 ? cos ? ? 2 cos ? ? cos 3?
2

= 8 cos ? ? 5 cos ? ? 1
4 2

? 8(co s ? ?
2

5 16

) ?
2

7 32

.

……………………………10 分

又 ? B O C ? ? ? 3?

? ?AOB ? ?

? O C A ? ? ? 2? ? ? O B A ? ? ,

得?

? 3? ? ? , ? ? 2? ? ? ,

所以 ? 从而 于是

?? ?
2

?
3

.

4 1 4
7

…………………………………………15 分
1 2 .

? co s ? ?

? CD ?
2

1 2

,

32



14 8

? CD ?

2 2

,

当且仅当 c o s ?
14 8 , 2 2 ).

?

5 4

时取等号.

所以线段 C D 长的取值范围是 [

……………………20 分

14.证明:有题设知 a ? b ? d ? c , a b ? cd . ……………………5 分 由于 a , b , c , d 是正整数,所以 a ? b , a ? c , b ? c 中任意两个数之和大 于第三个数, 从而知存在以 a ? b , a ? c , b ? c 为边的三角形. 因为 ( a ? c )
2 2 2

? (b ? c ) ? a ? b ? 2 c ? 2 c ( a ? b )
2 2 2 2

? a ? b ? 2c ? 2c(d ? c)
2

? a ? b ? 2 cd ? a ? b ? 2 a b ? ( a ? b ) .
2 2 2 2 2

………………………15 分
6

所以这样的三角形是直角三角形,其直角边长为 a ? c , b ? c ,斜边 长为 a ? b , 且该三角形的面积为 S
1 2 ( a b ? cd ) ? a b .
a ? b, a ? c, b ? c

?

1 2

( a ? c )( b ? c ) ?

1 2

[ a b ? c ( a ? b ? c )]

故 边 长 为

的 三 角 形 符 合 题 设 要

求………………………………………………………20 分

7


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