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2011-2012海淀区高二年级第一学期期末练习及答案-(理科)


海淀区高二年级第一学期期末练习


学校 班级
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 题号 分数 一 二

学(理科)
2012.1

姓名
三 15 16 17

成绩

18

一、选择题:本大题共 8 小题

, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为( 2 2
B. y ? ? 2 x

) D. y ? ?4 x

A. y ? ? x

C. y ? ?2 x

2. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 A.

S3 ? S1 ? 1 ,则数列 {an } 的公差是( ) 3
D.3 )
?

1 2

B.1

C.2

3. 空间向量 a ? (1,1,1), b ? (0,1, ?1) ,则 a , b 的夹角为( A. 30
?

B. 60

?

C. 90

?

D. 120 )

4.已知 p :

1 ? 1 , q : x ? 1 ,则 p 是 q 的( x

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2 5.命题 p : ?x ? R, ax ? ax ? 1 ? 0 ,若 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是(

A. (0, 4)

B. [0, 4]

C. ( ??,0) ? (4, ??)

D. ( ??,0] ? [4, ??)

6. 点 P(2, t ) 在不等式组 ? 范围是( A. [2,3] )

?x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域内,则点 P(2, t ) 到原点距离的取值 ?x ? y ? 3 ? 0

B. [2,2 2]

C. [2,3 2]

D. [2, 4]

高二数学试题

理科

第 1 页 共 11 页

7. 已知定点 A( ?1,0), B(1,0) , P 是动点且直线 PA, PB 的斜率之积为 ? , ? ? 0 ,则动点

P 的轨迹不可能是( ...
A. 圆的一部分 C. 双曲线的一部分 8.在椭圆

) B. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中, F1 , F2 为其左、 右焦点, F1 F2 为直径的圆与椭圆交 以 a 2 b2

于 A, B, C , D 四个点,若 F1 , F2 , A, B, C , D 恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离 心率为( A. ) B.

2 ?1

2 2

C. 3 ? 1

D.

3 2

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 抛物线 y 2 ? 2 x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为________. 10.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 5, C ? 120? ,则 c ? _______,sin A ? _______. 11.空间向量 a ? (2,?1,0) , b ? (1,0,?1) , n ? (1, y, z ) , n ? a ,n ? b , y ? z =_____. 若 则 12.若直线 y ? x ? t 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于两个不同的点 A、 B ,且弦 AB 中点的横坐标 为 3,则 t ? ____ .
2 * 13.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n ? n, n ? N ,则 an ? ______, 数列 {

an } 中最大项 n ?9
2

的值为________. 14.若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a2 ? b2 ? 0 )

的离心率相同,且 a1 ? a2 . 给出如下四个结论: ①椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点; ②
2 2 2 2 ③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ;

a1 b1 ? ; a2 b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 .

则所有结论正确的序号是________.

高二数学试题

理科

第 2 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 直线 l : y ? x ? 2 与椭圆 C 交于 A、B 两点. ? ? 1 的左焦点为 F1 , 8 4

(I) 求线段 AB 的长; (II)求 ?ABF1 的面积.

高二数学试题

理科

第 3 页 共 11 页

16. (本小题共 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 1 ,且 2Sn ? (n ? 1)an , n ? N* . (I) 求 {an } 的通项公式和 Sn ; (II) 设 bn

? a2n ,

求 {bn } 的前 n 项和.

高二数学试题

理科

第 4 页 共 11 页

17.(本小题共 10 分) 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形, 其中 AD / / BC , O 为 AD 中点, PO ? 底面 ABCD . 又 AB ? 2 2, BC ? 8, AD ? 4, PO ? 4 .
A

P

O

D C

( I ) 求直线 PA 和 CD 所成角的余弦值; ( II ) 求 B ? PA ? D 的平面角的余弦值;

B

高二数学试题

理科

第 5 页 共 11 页

18.(本小题共 10 分) 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 直线 y ? k ( x ? 1) 经过椭圆 C 的一个焦点与其相 a 2 b2
3 2

交于点 M , N ,且点 A(1, ) 在椭圆 C 上 . ( I ) 求椭圆 C 的方程; ( II ) 若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P ,问:在 x 轴上是否存在一个定点 Q , 使得

| PQ | | PQ | 为定值?若存在,求出点 Q 的坐标和 的值;若不存在,说明理由. | MN | | MN |

高二数学试题

理科

第 6 页 共 11 页

海淀区高二年级第一学期期末练习

数 学(理科)
参考答案及评分标准
2012.1 一. 选择题. 题号 答案 二.填空题. 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C

9.

5 2 1 3

10. 7,

3 3 14

11. 3

12. ? 1

13. an ? 2n,

14. ①,② (错选,漏选的都不给分)

说明:两空题目都是一个空 2 分 三.解答题. 15.解: ( I ) 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) .

因为

x2 y2 ? ? 1 和 y ? x ? 2 相交, 8 4

把两个方程联立,得

? x2 ? 2 y2 ? 8 ? 0 ? ?y ? x ?2
2

…………………….2 分

代入得到 x 2 ? 2( x ? 2)2 ? 8 ? 0 ,即 3x ? 8 x ? 0 ,解得

x1 ? 0, x2 ?

8 3 2 , 3

…………………….4 分 …………………….6 分

所以 y1 ? ?2, y2 ? 所以 | AB |?

8 2 8 (0 ? )2 ? ( ?2 ? )2 ? 2 3 3 3

…………………….8 分

( II ) 法一:因为点 F1 ( ?2,0) 到直线 y ? x ? 2 的距离为 d ?

| ?2 ? 2 | ? 2 2 …….10 分 1?1

高二数学试题

理科

第 7 页 共 11 页

所以 S?ABF ? 1

1 1 8 2 16 | AB | ?d ? ? ?2 2 ? 2 2 3 3

…………………….12 分

法二:直线 y ? x ? 2 通过椭圆的右焦点 F2 (2,0) ,则 ?ABF2 的面积为

1 | F1F2 | (| y1 | ? | y2 |) 2 1 2 16 ? ? 4 ? (2 ? ) ? 2 3 3 S?ABF1 ?
16.解: ( I )因为 2Sn ? (n ? 1)an ,当 n ? 2 时, 有 2Sn?1 ? nan?1 , 两个代数式相减得到

…………………….10 分 …………………….12 分

2an ? (n ? 1)an ? nan?1 ,化简得到 (n ? 1)an ? nan?1 ………………….2 分
又 a1 ? 1 ,所以 an ? 0 所以

an n ? ,所以有 an ?1 n ? 1 a3 3 a 2 2 ? , ? , a2 2 a1 1

…………………….4 分

an ?1 n ? 1 ? ,… an ? 2 n ? 2

把这 n ? 1 个代数式相乘,得到

an n ? ,又 a1 ? 1 , a1 1
所以 an ? n(n ? 2) ,又 a1 ? 1 所以有 an ? n(n ? N )
*

…………………….6 分

Sn ?

a1 ? an 1? n n ? n2 n? n? 2 2 2

…………………….8 分

n n (II) 因为 an ? n ,所以 a 2 n ? 2 ,所以 bn ? 2

…………………….10 分

bn 2n ? ?2, 又 bn?1 2n?1
所以 {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以其前 n 项和 Tn ?

b1 (1 ? qn ) ? 2n?1 ? 2 1? q
理科 第 8 页 共 11 页

…………………….12 分

高二数学试题

P

17.解:( I ) 取 BC 中点 M , 因为 ABCD 为等腰梯形,所以 OM ? AD 又 PO ? 平面 ABCD ,所以 PO ? OD, PO ? OM 以 O 为原点, OM , OD, OP 所在直线为 x, y , z 轴 ………….2 分 建立空间直角坐标系
A B O D C

由已知,得 O(0,0,0), A(0, ?2,0), D(0,2,0) , B(2, ?4,0), C (2,4,0) ……………….3 分 所以 AP ? (0,2,4), CD ? (2,2,0),

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AP ? CD ? 4,| AP |? 20,| CD |? 2 2 ,
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AP ? CD 4 10 ? ? ? 所以 cos ? AP, CD ?? ???? ??? ? 10 | AP || CD | 20 ? 2 2
所以直线 PA 和 CD 所成角的余弦值为

10 10

……………….5 分

(II)因为 OM ? PO, OM ? AD ,所以 OM ? 平面 PAD , 所以取平面 PAD 的法向量为 m ? (1,0,0) 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 AP ? (0,2,4), AB ? (2, ?2,0) , 所以 AP ? n ? 0, AB ? n ? 0, 代入得到

??

……………….6 分

?

??? ?

??? ?

??? ? ?

??? ? ?

? ?2 y ? 4 z ? 0 ? y ? ?2 z ,所以 ? ,取 n ? (2,2, ?1) ? ?2 x ? 2 y ? 0 ?y ? x ? ?? 2 所以 cos ? n, m ?? 3 2 所以平面 PAB 和平面 PAD 所成角的余弦值为 ? 3
18 解: (I)直线 y ? k ( x ? 1) 经过椭圆 C 的一个焦点, 令 y ? 0 ,得到 x ? 1 ,即 c ? 1 所以其焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , 又点 A(1, ) ,根据椭圆的定义,得到 计算得 | AF1 | ? | AF2 |? 4,
高二数学试题

……………….8 分

……………….10 分

………………….1 分

3 2

| AF1 | ? | AF2 |? 2a
…………………….2 分

所以 a ? 2
理科 第 9 页 共 11 页

又 a ? b ? c ,所以 b ?
2 2 2

3

…………………….3 分

椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1; 4 3

…………………….4 分

(II)设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 把其和椭圆联立,得到 ? 4 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

整理得到

( 3? 4 2 x2 ? 8 2 x? 4 2 ? 1 2 , 0 k ) k k ?
因为直线 y ? k ( x ? 1) 过焦点,所以 ? ? 0 又 x1 ? x2 ?

8k 2 , 3 ? 4k 2
2

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 , 3 ? 4k 2
2

…………………….5 分

所以 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k 代入得到 | MN |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
…………………….6 分

12(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 4k 2 ?3k , 2 ), 2 4k ? 3 4 k ? 3

又 MN 的中点为 (

线段MN的垂直平分线与 x 轴相交,所以 k ? 0 所以 MN 的垂直平分线为 y ?

?3k 1 4k 2 ? ? (x ? 2 ), 4k 2 ? 3 k 4k ? 3
…………………….7 分

令 y ? 0 ,得到 x ? 设 Q (t ,0) , 所以 | PQ |?| t ?

k2 , 4k 2 ? 3

k2 (4t ? 1)k 2 ? 3t |?| |, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

(4t ? 1)k 2 ? 3t | | PQ | | (4t ? 1)k 2 ? 3t | 1 (4t ? 1)k 2 ? 3t 4k 2 ? 3 又 ? ? ? | | 12(k 2 ? 1) | MN | 12(k 2 ? 1) 12 (k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 |
? 1 3t ? (4t ? 1) 1 1? t | (4t ? 1) ? |? | (4t ? 1) ? 2 | 2 12 (k ? 1) 12 (k ? 1)
高二数学试题 理科 第 10 页 共 11 页

…………………….9 分 若其为定值,则

1? t 与 k 无关,当且仅当 t ? 1 , (k 2 ? 1)
1 | PQ | 为定值 . 4 | MN |
…………………….10 分

所以存在定点 Q (1,0) ,使得

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

高二数学试题

理科

第 11 页 共 11 页


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