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1.3.2球的体积和表面积


1.3.2 球的体积 和表面积

复习引入

讲授新课
1.球的概念

A C R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. A C R O

B

讲授新课<

br />1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. C A R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面. C A R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面. C A R O

B

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

S=4 ? R
3. 球的体积

2

4 3 V ? πR . 3

基本计算问题
1.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积 扩大为原来的_______倍. (2)把球的表面积扩大为原来的2倍,那么体 积扩大为原来的_______倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的 体积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的 表面积之比为________.

截面问题
? 用一个平面去截一个球O,截面是圆面 ? 球的截面的性质: 1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d,球的半径 为R,则

r ? R ?d
2 2

2

R
?

O

r

d

【例1】已知球的半径为10cm,一个截 面圆的面积是36? cm2,则球心到截面圆 圆心的距离是 8cm .

r ? R ?d
2

2

? d ? R ?r
2 2

2

?d ? R ?r
2

2

【例2】在球内有相距1

cm的两个平行截面,

截面面积分别是5π cm2和8π cm2,球心不在 截面之间,求球的表面积.

【例3】湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个面直径为24 cm, 深为8 cm的空穴, 则这球的半径为____.
A AB=24
h=8 B

例4 已知A、B、C为球面上三点, AC=BC=AB=6,球心O与△ABC的外心M的距 离等于球半径的一半,求这个球的表面 积和体积.
O A M C

B

1.一球的球面面积为256πcm2,过此球的一 条半径的中点,作垂直于这条半径的截面, 求截面圆的面积.

变式:在球内有相距9cm的两个平行截面,截 面面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的 表面积.

1.在半径为13cm的球面上有A、B、C三点,AB =6cm,BC=8cm,CA=10cm,求经过A、B、C 三点的截面与球心O之间的距离.

“接”与“切”:
? 两个几何体相(内)切:一个几何体的 各个面与另一个几何体的各面相切 ? 两个几何体相接:一个几何体的所有顶 点都在另一个几何体的表面上 ? 解决“接切”问题的关键是画出正确 的截面,把空间“接切”转化为平面 “接切”问题

若正方体的棱长为a,则
⑴正方体的内切球直径= ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

(变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的 有盖纸盒中,至少要用多少纸?
分析:用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体

解:当球内切于正方体时用料最省 此时棱长=直径=5cm

? S全 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

答:至少要用纸150cm2

两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何 体的各面相切.

例4.如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上,求球的表面积和体积。

解: ? 正方体内接于球
2 2 3 2

? 球的直径等于正方体的对角线长 a
3 2

? (2 R) ? 3a ? R ?

3 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2且V ? 4 ? R ? 3

?a 3

两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上。

(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、 2、 3 ,求此球体的表面积和体积。

解: ? 长方体内接于球 ? 球的直径等于长方体的对角线长 ? (2 R) ? 3 ? 2 ? ( 3 ) ? 16 ? R ? 2
2 2 2 2

? S ? 4?R ? 16?且V ? ?R ?
2 4 3 3

32 3

?

【练一练】 1.长方体的顶点的三个侧面面积分

别为

3, 5, 15

,试求它的外接球的表面积.

B O A

1 3 R ? AB ? 2 2

S球 ? 4?R ? 9?
2

【练一练】 3.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的 体积与正方体的体积之比 D′ A′ D A B′ O B C A O C C′ A′ C′

V半球:V正方体 ? 6?: 2

例1

圆柱的底面直径与高都等于球

的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比;

(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.

练习二

5.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 4 . 则两球的直径之差为______ 6.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

作业:1.2.3.4

有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第 二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这 个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比 .

o

o

o

作业
1.(2012广东,文7)某几何体的 三视图如图1所示,它的体积为

.2(2011·高考全国课标卷)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 OABCD 的体积 为________.

3.如图所示,扇形所含的中心角为90°,弦 AB将扇形分成两个部分,这两部 分各以AO为轴旋转一周,所得的旋转体体积 V1和V2之比为________.

把直径分别6cm,8cm,10cm的三个钢球融 成一个较大的钢球,再把球削成一个棱长 最大的正方体,求此正方体的体积

课堂小结
1. 球的表面积公式; 2. 球的体积公式;

3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.


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