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高一数学必修四1.2.1《任意角的三角函数的定义


三角函数线及其应用

知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos ? ? x都是正数,你能分 sin ? ? y, 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?

| MP |? y ? sin ?

P (x ,y )

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , cos ? ? x 都是负数,此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P (x ,y )

思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.根据实际需要,应如何 规定线段的正方向和负方向?
规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向.

思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗?
y
P (x ,y )

y x
M

M

O

O

P (x ,y )

x

思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何?
y P M O x P O x y

P

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

知识探究(二):正切线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

y tan ? ? ? AT x

O

M A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y tan ? ? ? AT x

M O

A x

P
T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
T
y P A T

y tan ? ? ? AT x

A M O

x

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

A M
O
T

A x

P

思考5:根据上述分析,你能描述正切线的几何特 征吗? y y T P P O A x O

A
T

x

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y
P
p p p sin < < t an 4 4 4

P

O

x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

思考7:观察下列不等式:
p p p sin < < t an 4 4 4 p p p sin < < t an 3 3 3
p p p sin < < t an 6 6 6

你有什么一般猜想?

思考8:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗? y T
P

O

M

A x

提示S?OAP ? S扇形OAP ? S?OAT

理论迁移 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线: ? 5? (1) (2) ? 4 6
2? (3) 3

12? (4) ? 5



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