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分数阶PID控制器的脆性在滞后模型进程中应用


ISA 学报 手稿 手稿编号:ISATRANS-D-14-00812R2 题目:分数阶 PID 控制器的脆性在滞后模型进程中应用 文章类型:研究类文章 类别/种类:设计类 关键字:分数阶控制器,PID 控制器,调整,脆弱性 摘要:本文分析了分数阶 PID 控制器应用于整型一阶加滞后 过程中的脆弱性问题,详细的研究了控制器参数的变化在实 现控制系统的鲁棒性和性能上的作用。结果显示这

种控制器 与标准 PID 控制器相比脆弱性更大,因此用户在调整过程中 应该更加注意。

给评论者的回复 1
作者分析了分数阶 PID 控制器的脆性问题和控制器参数变化对鲁棒性 和确认性能的影响。结论可靠方法可行。同时本文根据读者的要求已 作出修改,本文在理论研究方面有重要意义并且能得到认可。 感谢读者对本文的鉴赏。

给读者的回复 2
感谢读者对本文所做的努力。 在修正版中我们已将读者的意见考虑在 内,如下所示。 本文研究了分数阶 PID 控制器的应用中的一个十分有意义的问题, 本 文的创新有些不充分。我建议做一次大修改,原因如下: 1) 是否研究其他性能更有实际意义?例如标准传递函数。 我们已经选择了误差绝对值积分, 因为误差绝对值积分最适合用 于工业环境并且也是著作中研究最多的。再者,我们已经针对整数阶 和分数阶 PID 控制器制定了基于误差绝对值积分的调整规则, 所以这 两种类型的控制器的比较是公平的。 2) 这篇参考应该加到第五页的最后一句。 我们已将该参考加到修正版中。 3) 基于小部分特殊种类的控制方案得出的结果说服力较差。或者标 题应该表明本文是针对一阶时滞过程的研究, 理论的研究分析还不是 很充分。 现在我们已经将本文是针对一阶时滞过程的分析加到题目和摘 要中了。我们确信这类系统在控制领域的研究过程中是很重要的,这 种假设性的分析有利于一阶时滞控制器建立手动调整步骤, 进而对这 一应用在工厂的扩展也是有益处的。 事实上, 整数阶 PID 控制器[10,12] 文献中分析的扩展,作为通用的理论性分析的发展,还是基于数值的 扩展,确实是十分复杂的。 4) 公式中使用标点符号有点不正规。 我们已经纠正了公式中的标点符号, 使其看起来在文中连贯一致。 5) 所得数据的分析和结论应该清新详细的给出,不应该混在一起。 我们用简介扩充了讨论部分来阐明所得结论。 6) 参考文献格式不一致。 我们纠正了格式不一致的参考文献。

7) 手稿中的“PID”或“标准 PID”能否被整数阶 PID 替换? 可以, “PID” 、 “标准 PID”和“整数阶 PID”控制器表示相同的概 念。为了避免引起疑惑,我们全文使用统一的符号 IOPID。

给读者的回复 3
感谢读者对本文所做的努力。 在修正版中我们已将读者的意见考 虑在内,如下所示。 修正版中有许多仿真。但能否得出通用的统一的结论?另外,文 中所得结论是否适用于以其他形式运行的设备?脆弱性的研究还没 有系统化。 在修正版中我们扩充了讨论的范畴。 通过文中分析所得主要结论是分数阶 PID 控制器比整数阶 PID 控 制器更脆弱。对一阶时滞系统做了分析,这类系统在过程控制领域非 常重要,因为它可以有效地模拟大型工厂。事实上,考虑其他类型的 过程将意味着引进许多其他数据,这会使文章读起来冗长难度大,作 为理论分析类文章这样确实太复杂了(还要注意文章中对整数阶 PID 控制器脆弱性分析是基于数值的结论[10,12]) 。我们坚信假设的分析 对建立手动调整步骤是有用的, 进而对这些控制器在工厂的扩展也是 有益的。

集锦(用于回顾) 分析分数阶 PID 控制器的脆弱并与标准 PID 控制器作比较。 考虑了鲁棒性和性能的脆弱性。 分数阶 PID 控制器更脆弱,因此在其调整过程中要引起更多注意。

在一阶加纯滞后过程中分数阶 PID 控制器的脆弱性
摘要
本文分析了应用于整数型一阶加纯滞后过程的分数阶 PID 控制器 的脆弱问题。 着重研究了控制器参数的变化对实现的控制系统鲁棒性 和确认性能的影响。 结果显示这种控制器与标准 PID 控制器相比脆弱 性更大,因此用户在调整过程中应该更加注意。

关键字:分数阶控制器,PID 控制,调整,脆弱性。

1、 简介
一个采用正确设计的控制系统一定能有效地协调性能和鲁棒性。 然而, 另一个公认的有待解决的重要问题就是控制系统对控制器参数 变化的脆弱性,也就是控制系统的鲁棒性和/或性能对控制器参数变 化的敏感度。 一些原稿(见[1])的论文中也提出了这个问题,并且特别强调了 基于2 ,∞ 和1 标准最小化的设计技巧要服从高阶稳定的,最佳的 还有极端脆弱的控制器, 也就是说控制器系数的微小变化就能导致系 统不稳定。但是在[3,4]中指出这一问题通过使用合适的控制器参数 化法可以解决。 工厂中使用最多的控制器是整数阶 PID 控制器, 在[5]和[6]中对这 种控制器的脆弱性提出了特定的解决办法。其中,作者建议调整整数 阶 PID 控制器来使给定设备稳定域中控制参数向量的2 最大化。但是 典型的工业性能现状 (与给定值和负载干扰抑制相关) 没有考虑在内。 这种方法应用于一阶加纯滞后和积分加纯滞后过程,与使用 Ziegler-Nichols 阶跃响应法[8]获得的结果类似,很多观点[9]认为 Ziegler-Nichols 阶跃响应法有待改进。 因此, 文章认为研究整数阶 PID 控制器的主要原因之一是给使用 者提供一种控制器调整的思路[10, 11, 12]。 换句话说, 当整数阶 PID 参数有清晰的物理意义时, 操作员可以修改参数来改变控制系统性能。 在这篇文章中,评估鲁棒性/确认性能对参数微小变化的敏感度是很 有好处的。为此,一个称为脆弱性环的形象的工具在 [13]中提出了, 这个工具在评估控制器的鲁棒性/脆弱性提供了可视化帮助。 近几年,通过学术界和工业界对分数阶 PID 的交流,出现了一个 有意义的兴趣,因为在控制系统设计(见例[14]-[17])中他们可以更 灵活的调整(当需要调整五个参数时) 。文中提出了很多不同的调整 规则来方便操作员的使用(见例[18]-[23]) 。在这篇文章中提到,虽然

用分数阶 PID 控制器稳定一个动态系统(可能是一部分)的问题已经 得到解决(见例[24,25,26]) ,但是对于这种控制器脆弱性的分析到目 前为止还只是完成了一部分。特别指出的是,在[27,28]中,通过考虑 参数空间容许区域的几何中心来实现分数阶 PID 控制器的调整, 从而 产生没有脆弱性的控制器。 评估控制器脆弱性的主要目的之一是评估 鲁棒性/性能指标对参数调整的敏感度。 为了使分数阶 PID 能在工厂的设备上得到广泛的应用, 除了运用 得到认可的调整规则外,还要给操作员提供清楚地指导,告诉他们如 何修正控制器参数,来增加他们的信心。因此本文的目的就是提供分 数阶 PID 控制器的脆弱性分析,与整数阶 PID 控制器作比较得出不同 之处,这些不同之处要把给定值开始的参数值校正过程考虑在内。为 此,在[23,29]中制定的调整规则被用到分数阶 PID 和整数阶 PID 控制 器中,这些规则旨在减小受到最大敏感度限制的综合绝对误差。这些 调整规则既考虑了后置位点,也考虑了负载抗扰问题。还有一个重要 特征就是当时间单元改变时提供不变的控制动作。 因此这些调整规则 很适合分析鲁棒性和性能的脆弱性。 值得强调的是脆弱性的计算取决 于控制系统的标称参数,由此为了得到公平的比较结果,我们选择解 决相同最优化问题的调整规则,这样关于整数阶 PID 控制器,始于一 个给定的调优的分数阶 PID 控制器参数的校正中另外可能的复杂性问 题就解决好了。 同时改变所有的参数或只保证其中之一不变改变其他 参数,通过这种方法来估计脆弱性。用后一种方法来研究哪个参数对 控制器的脆弱性影响更大。本文的结构如下。在第二部分除了对用于 整数阶 PID 和分数阶 PID 控制器的调整规则的描述,还给出了估计脆 弱性用的基本的定义。第三部分讲的是关于鲁棒性的脆弱性分析,第 四部分讲的是关于性能部分的脆弱性分析。第五部分是讨论,第六部 分是总结。

2、 脆弱性指数

在[10,11,12]中给出了脆弱性指数, 为了清晰同时为了引出结果 中引用的符号,在这部分详细的论述了脆弱性指数。考虑单位反馈控 制系统(见表 1) ,该过程(假设该过程是自动调节的)用 P 表示, 控制器用 C 表示。在本文中,控制器是分数阶 PID 控制器,可以用串 级形式表示, (1) 或用平行(理想)的形式表示。 (2) 在这两个表达式中,Kp 是比例放大系数,Ti 是积分时间常数, Td 是微分时间常数,λ 和μ 分别是积分和微分非整数阶系数。注意 考虑两种形式很重要,因为除了 Ti ≥ 4Td 且λ = ? 的情况,不可 能将形式(2)转换成等价的形式(1) ,或将形式(1)转换成等价的 形式(2) 。为了实现分数阶控制器,已经应用著名的 Oustaloup 连续 整数阶逼近来近似分数的微积分器。 本文在频域[ω l, ω h]范围内用 了 16 个极点和零点来近似分数的微积分器,其中 ω l and ω h 分别 选择 0.0001ω c 和 10000ω c,ω c 是截止频率。值得注意的是极点 和零点的个数会引起一个有计算要求的控制器, 并且分数阶控制器会 近似成一个低阶整数阶控制器。然而,考虑到本文的目的是分数阶控 制器的脆弱性分析,为了获得一个良好的近似,可以接受较高的计算 代价。 这样实际上近似的理想开环传递函数在这些频率下没什么区别, 而这些频率对闭环系统动力有很大的影响。 还要注意为使控制器正常, 在(1)和(2)中额外加了一阶滤波器。在对控制器的动力没有显著 影响时过滤高频噪声[29,31,32],以此选出时间常数 Tf。最终,考 虑到 Oustaloup 近似算法和只有导数作用的分数部分μ (如果μ >1 则μ -1)是近似的,那么整数滤波器足以保证控制器的正常。注意选 择λ = ? = 1,可得整数阶 PID 控制器。在本文中,仅为了比较二者 (分析主要集中在分数阶 PID 控制器上) ,我们考虑整数阶 PID 控制

器用串级形式表示, (3) 注意下文描述的调整规则会导致 Ti > 4Td,所以常考虑相同的 理想形式分数阶 PID 控制器,并且最佳分数阶 PID 控制器是唯一的。 典型的控制规格要求在后置位点和负载抗扰任务中包含预定义的性 能。在这两种情况中,与阶跃响应相关的典型性能指标是绝对误差积 分,通常表现为超调量小时过渡时间也短,形式如下: (4) 这里 r 是初始信号,y 是过程变量。 从另一个角度来看,控制系统在动态过程中也能稳健的变化,这 一点常常很关键。系统稳定常用的方法是最大敏感度,表示的是在奈 奎斯特图中循环传递函数从临界点的最小距离的倒数,定义式如下: (5) 因此, 每个控制器 (1) (3) 都设置了特定的调整规则, 减小 Je 的值来满足最大敏感度的约束条件[23,29]。分别考虑到了后置位点 和负载抗扰任务,对于每项任务分别选择 Ms = 1.4 和 Ms = 2.0, (注 意在[34]中给出了与积分和不稳定过程相关的调整规则) 。大体上, 分数阶 PID 控制器比整数阶 PID 控制器有更好的性能, 用整数阶积分 器和分数阶导数阶μ >1 可以改善性能。可以根据鲁棒性或性能来估 计控制器的脆弱性。 控制器的参数向量用θ ?c 0 表示, 即分数阶 PID 控制器的参数向量表示为θ ?c 0 =[Kp, Ti, Td, λ , ?],整数阶 PID 控制器的参数向量表示为θ ?c 0 = [Kp, Ti, Td],当控制器参 数受到干扰会引起控制系统的鲁棒性能下降, 这一变化可以由称为δ -ε 鲁棒性能脆弱指标来表示,这一指标定义式为: (6) 这里 M ms?ε 是极大灵敏度,就是说,考虑所有受扰动参数的

组合情况,当控制器的所有参数关于他们的额定值 θ ?c 0 变化相同

的δ ε 频率时, 就出现了控制系统的鲁棒性的最高损耗。 相反, Ms(θ ?c 0)是额定的灵敏度,就是说这个灵敏度要由额定的控制器才能获 得。RFI ?ε = 0 表示控制器鲁棒性绝对非脆弱。然而公认的参数合 理的变化为 20%。 如果控制器的鲁棒性脆弱指标?20 小于 0.10, 即 RFI ?20 < 0.10,则控制器有鲁棒性弹性,如果 RFI ?20 ≤ 0.50,控制 器鲁棒性非脆弱,如果 RFI ?20 > 0.50,控制器鲁棒性脆弱。 估计一个参数对鲁棒脆弱性能的相关影响也很重要。 为了作此估 计,定义参数δ -ε 鲁邦性脆弱指标如下: (7) 与之前的情况类似, 当控制器参数受到扰动时控制系统的性能下 降(再次注意调整规则是使绝对误差积分最小) ,这一变化可由被称 为为δ -ε 性能脆弱指标来表示,这一指标定义式为: (8) 这里 J me?ε 是极端性能,Je 0 是标称性能。单一的控制器参 数 pi 的δ ε 变化对控制系统的脆弱性能有相关影响,这一影响可以 由下列参数δ ε 性能脆弱指标表示。 (9) 类似于鲁棒性情况,假设合理阈值为 20%,如果控制器的?20 性 能脆弱指数小于 0.10,即 PFI?20<0.10,则该控制器有性能弹性,如 果 FI?20≤0.50,性能非脆弱,如果 FI?20≥0.50,性能脆弱。 备注 1. 显然脆弱性指标取决于整数阶 PID 或分数阶 PID 参数。 为了得出有意义的结果, 比较选定参数的分数阶 PID 控制器和整数阶 PID 控制器是很重要的,这一做法也可以优化相同的性能指标。

3、 鲁邦性脆弱性
分数阶 PID 控制器的鲁棒性脆弱性已经从串级形式和平行形式 进行了评估,并且结果与整数阶 PID 控制器做了比较。尤其是一阶纯 滞后模型已考虑在内。一阶纯滞后模型的传递函数如下:

(10) 对于归一化增益 K=1 和区间[0.1,1]内时滞比 L/T 的不同取值, 初始值阶跃响应和负载干扰阶跃响应的绝对误差积分的最小化应用 了调整规则。在这两种情况中,目标最大灵敏度的值设置为 Ms = 1.4 或 Ms= 2.0。因此,对于每个过程和三个控制器中的每一个,都考虑 了四种情况。通过重复考虑参数所有可能的变化,计算出了不同的δ ε 值对应的 RFI?ε 指数。 为了简洁,只给出了时滞比 L/T=0.5 时的与过程相关的结果。假 设 K=1,T=1,L=0.5,对于不同的控制标准,表格 1 列出了控制器的 参数。事实上,其他过程的结果与此类似。结果见图 2,需要强调的 是数据消失意味着控制系统整体不稳定。因此,很容易得出(在串级 和平行两种形式下) 分数阶 PID 控制器比整数阶 PID 控制器鲁棒性更 脆弱(因此,微调更加重要) 。 为了更好的估计单一控制器参数的影响, 已经计算出了不同的控 制器参数对应的参数的δ ε 鲁棒性脆弱指标 RFI p δ ε 。结果见图 3-7(注意整数阶 PID 控制器不包括参数λ 和μ ) 。如果分数阶 PID 控 制器的参数调整好了,鲁棒性脆弱性就没那么重要了。在任何情况下 导数项的分数阶都是最危险的参数, 尤其是当应用调整规则来获得更 积极的控制器时(即,指标选 Ms = 2.0)和当应用平行形式的分数 阶 PID 控制器时。第五部分探讨了这一问题。

4、 性能脆弱性
性能脆弱性同样做了与鲁棒性脆弱性相同的分析,也就是,对于 每个一阶时滞过程和三个控制器中的每一个, 考虑了四种不同的调整 规则,并计算出了不同的δ ε 值对应的 PFI?ε 指数。与时滞比 L/T=0.5 的过程相关的结果见图 8。性能脆弱性可以得出与鲁棒性脆 弱性相同的结论。对于参数变化分数阶 PID 控制器(尤其是平行的形 式)比整数阶 PID 控制器更灵敏,所以微调显得更加关键。通过评估

每一个参数的参数δ ε 性能脆弱性指数 PFIpiδ ε (见图 9-13) ,可 以推断出分数阶 PID 控制器积分的分数阶和导数项分数阶的变化比 其他参数的变化更灵敏。 表 1: 时滞比 L/T=0.5 时的控制器参数和最大灵敏值为 1.4 和 2.0 时不同的控制任务,后置位点和负载抗扰对应的控制器参数。 图 2:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“○”表 示,平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“□”表示,整 数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对 初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 3:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIKpδ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIKpδ ε 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFIKpδ ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图: Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 4:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFITiδ c 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFITiδ c 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFITiδ c 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图: Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 5:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图: Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 6:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIλ δ c 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIλ δ c 的值用 “□” 表示。

左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的 调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负 载干扰的调整。 图 7:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIμ δ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIμ δ ε 的值用 “□” 表示。 左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的 调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负 载干扰的调整。 图 8:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“○”表 示,平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“□”表示,整 数阶 PID 控制器的 RFI?ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对 初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 9:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIKpδ c 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIKpδ c 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFIKpδ c 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图: Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 10:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFITiδ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFITiδ ε 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFITiδ ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图: Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 11:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用 “□” 表示, 整数阶 PID 控制器的 RFITdδ ε 的值用“△”表示。左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的调整。左下图:

Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负载干扰的调整。 图 12:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIλ δ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIλ δ ε 的值用 “□” 表示。 左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的 调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负 载干扰的调整。 图 13:系列形式的分数阶 PID 控制器的 RFIμ δ ε 的值用“○” 表示, 平行形式的分数阶 PID 控制器的 RFIμ δ ε 的值用 “□” 表示。 左上图:Ms=1.4 时对初始值的调整。右上图:Ms=2.0 时对初始值的 调整。左下图:Ms=1.4 时对负载干扰的调整。右下图:Ms=2.0 时负 载干扰的调整。

5、 讨论
前一部分指出了分数阶 PID 控制器的脆弱性主要是由导数项分 数阶引起的。这部分通过举例分析了原因。 (11) 考虑最大目标灵敏度 Ms=2.0 负载抗扰过程和应用到设备的调整 规则。对于平行形式分数阶 PID 控制器(为了简明省略了串级形式, 但是其结果与平行形式十分类似) ,取得这些数据 Kp=1.008, Ti=0.908,Td=0.144,λ =1,μ =1.153,而对于整数阶 PID 控制器取得 Kp=1.008,Ti=0.411,Td=0.330。通过分析标称情况下所得的波特图, 见图 14,显然,鲁棒性能相同时,分数阶 PID 控制器与整数阶 PID 控制器相比允许带宽增量(分数阶 PID 控制器的转折角频率是 Wgc=2.01,整数阶 PID 控制器的转折角频率是 Wgc=1.73) 。这是分析 导数项分数阶比一阶所引起的相位超前更大所得出的结论。 这表明在 阶跃响应下有更好的性能,而且,由于分数的微积分器可能显示出的 不断增加的高频上卷,很显然不能保证频率响应函数单调性(见图 14) ,表明控制器脆弱性增加了。这种情况可以通过考虑闭环传递函

数大小的频率导数来做出更好的分析。结果如下 (12) (13) (14) (15) (16) 这里控制器 C(jw)表示如下 (17) 和 (18) 和 (19) 实际上,当分数阶 PID 控制器中一个参数在某一时刻的变化时, 是通过评估频率响应函数来做出更深层的分析。结果见图 15-19。图 7 和 13 所示结果不出所料, (分数的)微商作用是最重要的因素。特 别是分数阶μ 的增量会导致敏感度函数的高频峰值, 多次获得交叉频 率的环路增益,最终导致过程不稳定。事实上,尽管μ 的变化小于它 的 30%,但μ 是唯一能够破坏循环的参数。这是因为增大μ 也就意味 着增加频率响应函数的非单调性能(见图 19) ,这正是增加高频上卷 的结果。另一个重要的参数时微分时间常数 Td。的确理想的分数阶 PID 控制器有微分阶μ 的比没有微分阶的作用强。这意味着理想的频 率响应函数已经是非单调函数, 微分时间常数的增加使频率响应提高 至接近 0 分贝坐标轴(见图 17) ,在敏感度函数中产生了高频峰值, 同时有鲁棒性和性能的响应损失。 图 5 显示的结果可以预料出这种情 况,其中图 5 显示的结果考虑了鲁棒性的脆弱性。整数阶 PID 控制器 比分数阶 PID 控制器常常脆弱性小。这是因为其单调性。 相反, 在频率响应函数中, 积分阶数的变化不会产生太大的影响。

(见图 16) 图 14:幅值波特图举例。实线:分数阶 PID 控制器。虚线:整数 阶 PID 控制器。 频率响应函数(见图 16)。事实上,除了 Ti>>Td 的情况,频率响 应函数的单调性与λ 值的选择无关, 考虑了一系列的分数阶 PID 控制 器,但是显然这不是有良好调整性能的控制器。当λ =1 时可得到理 想分数阶 PID 控制器,但这与上述结论无关。 总之, 分数阶 PID 和整数阶 PID 控制器之间的相关差异就是前者 (由于分数阶微分作用)可以减小绝对误差积分,但是当进行调整时 要特别注意考虑他们的脆弱性。尤其是当分数阶导数项发生变化时, 即使是一个微小的变化也能显著改变性能。 图 15:分数阶 PID 控制器举例的幅值波特图,其中比例增益 Kp 变化范围为±30%。 图 16:分数阶 PID 控制器举例的幅值波特图,其中积分时间常 数 Ti 变化范围为±30%。 图 17:分数阶 PID 控制器举例的幅值波特图,其中微分时间常 数 Td 变化范围为±30%。 图 18:分数阶 PID 控制器举例的幅值波特图,其中分数的积分 阶数λ 变化范围为±30%。 图 19:分数阶 PID 控制器举例的幅值波特图,其中分数的微分 阶数μ 变化范围为±30%。

6、 结论
整数阶 PID 控制器的参数都有清晰的物理意义, 人工调整的相对 简单注定了它的成功, 为了使分数阶 PID 控制器能在工厂有更广泛的 用途,应该将同样的特性加到分数阶 PID 控制器中。本文主要阐述了 这种控制器的鲁棒性和性能的脆弱性, 为了评估参数良好调整的重要 性,本文对这种控制器做了分析。本文强调了分数阶 PID 控制器比整

数阶 PID 控制器更脆弱, 尤其是导数项的分数阶变化时更应引起特殊 注意。因此,未来应投入更多的研究精力来设计出分数阶 PID 控制器 的调整规则,保证鲁棒性和性能的弹性。


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