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课时作业33数列的综合应用


课时作业 33
时间:45 分钟

数列的综合应用
分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 a,b 是正实数,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG a+b 解析:依题意 A= ,G= ab, 2

a+b ∴AG-ab= · ab-ab 2 a+b = ab( - ab) 2 ? a- b?2 = ab· ≥0, 2 ∴AG≥ab. 答案:C 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-18,S13=-52,等比数列{bn}中,b5=a5,b7 =a7,则 b15 的值为( A.64 C.128 9 解析:因为 S9= (a1+a9)=9a5=-18, 2 S13= 13 (a +a13)=13a7=-52, 2 1 ) B.-64 D.-128 ) B.ab≥AG D.不能确定

所以 a5=-2,a7=-4, 又 b5=a5,b7=a7, 所以 q2=2,b15=b7·8=-4×16=-64. q 答案:B 3.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1, x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是( A.1 C.3 解析:根据等差、等比数列的性质, B.2 D.4 )

可知 x1=2,x2=3,y1=2,y2=4. ∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1. 答案:A 4.(2011· 黄冈模拟)据科学计算,运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一 秒钟通过的路程为 2km,以后每秒钟通过的路程增加 2km,在到达离地面 240km 的高度时, 火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是( A.10 秒钟 C.15 秒钟 ) B.13 秒钟 D.20 秒钟

解析:设每一秒钟通过的路程依次为 a1,a2,a3,?,an,则数列{an}是首项 a1=2,公 n?n-1?d 差 d=2 的等差数列, 由求和公式有 na1+ =240, 2n+n(n-1)=240, 即 解得 n=15. 2 答案:C 5.(2010· 南昌调研)已知数列{an}满足 an+2=an+1-an,且 a2=1,若数列的前 2011 项的 和为 2012,则前 2012 项的和等于( A.2011 C.2013 ) B.2012 D.2014

解析:依题意得数列{an}中的项依次是 a1,1,1-a1,-a1,-1,-1+a1,a1,?,从而 可知数列{an}中的各项是以 6 为周期的,且其前 6 项的和是 0,所以数列{an}的前 2011 项的 和为 S2011=a1=2012,所以数列{an}的前 2012 项的和等于 a1+1=2013,故选 C. 答案:C 6.(2011· 皖南八校联考)今年“十一”迎来祖国 62 周年华诞,北京十家重点公园将举行 免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内 有 16 人进去 3 人出来, 第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去, 到上午 11 时 30 分公园内的人数是( A.211-47 C.213-68 ) B.212-57 D.214-80

解析:由题意可知,从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出来的人数构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 an,第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn,则 an=4×2n 1,bn 4?1-210? 10?1+10? 12 =n,则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S=2+ - =2 -57.所以答案为 2 1-2 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)


7.(2010· 南京调研)设等差数列{an}的公差 d≠0,a1=4d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 k 的值为__________. 解析:根据题意 ak=a1+(k-1)d=(k+3)d, a2k=a1+(2k-1)d=(2k+3)d, 又 a2=a1·2k, a k 所以(k+3)2=4(2k+3), 解得 k=3 或 k=-1(舍去). 答案:3 1 8.已知函数 f(x)=a·x 的图象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an=log2f(n)(n∈N*),Sn 是数 b 2 列{an}的前 n 项和,则 Sn 的最小值是________. 解析:将 A、B 两点坐标代入 f(x)得

?1=ab2 ?a=1 ?2 ? ? ,解得? 8 , ? ? ?1=ab3 ?b=2
1 1 - ∴f(x)= ·x,∴f(n)= ·n=2n 3, 2 2 8 8 ∴an=log2f(n)=n-3. 令 an≤0,即 n-3≤0,n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零,故 S3 或 S2 最小. S3=a1+a2+a3=-2+(-1)+0=-3. 答案:-3 9.(2010· 湖北调研)等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,给出下列四 个命题: 1 ①数列{( )an}为等比数列; 2 ②若 a2+a12=2,则 S13=13; n?n-1? ③Sn=nan- d; 2 ④若 d>0,则 Sn 一定有最大值. 其中正确命题的序号是________. 1 ? ?an+1 2 1 1 ?1 ? 解析:对于①,注意到 =( )an+1-an=( )d 是一个非零常数,因此数列??2?an?是 1 2 2 ? ? ? ?an 2 13?a1+a13? 13?a2+a12? 等比数列,①正确.对于②,S13= = =13,因此②正确.对于③,注 2 2

n?n-1? n?n-1? n?n-1? 意到 Sn=na1+ d=n[an-(n-1)d]+ d=nan- d,因此③正确.对于④, 2 2 2 当 a1>0, 时, n 不存在最大值, d>0 S 因此④不正确. 综上所述, 其中正确命题的序号是①②③. 答案:①②③ 三、解答题(共 55 分) 10.(15 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,a1=1,且 a1,a2,a7 成等 比数列. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 bn= 2Sn 64bn ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:2Tn-9bn-1+18> (n>1). 2n-1 ?n+9?bn+1

(1)解:∵a1,a2,a7 成等比数列, ∴a2=a1·7, a 2 即(a1+d)2=a1(a1+6d), 又 a1=1,d≠0,∴d=4. n?n-1? ∴Sn=na1+ d 2 =n+2n(n-1)=2n2-n. 2n?2n-1? 2Sn (2)证明:由(1)知 bn= = =2n, 2n-1 2n-1 ∴{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列, n?2+2n? 2 ∴Tn= =n +n, 2 ∴2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18(n-1)+18 =2n2-16n+36=2(n2-8n+16)+4 =2(n-4)2+4≥4, 当且仅当 n=4 时取等号.① 64×2n 64bn 64n = = 2 ?n+9?bn+1 ?n+9?×2?n+1? n +10n+9 = 64 64 ≤ =4. 9 6+10 n+ +10 n

9 当且仅当 n= ,即 n=3 时取等号.② n 又①②中等号不能同时取到, 64bn ∴2Tn-9bn-1+18> (n>1). ?n+9?bn+1 11. 分)(2010· (20 厦门质检)某林场为了保护生态环境, 制定了植树造林的两个五年计划, 第一年植树 16a 亩,以后每年植树面积都比上一年增加 50%,但从第六年开始,每年植树

面积都比上一年减少 a 亩. (1)求该林场第 6 年植树的面积; (2)设前 n(1≤n≤10 且 n∈N)年林场植树的总面积为 Sn 亩,求 Sn 的表达式. 解:(1)该林场前 5 年的植树面积分别为 16a,24a,36a,54a,81a. ∴该林场第 6 年植树的面积为 80a 亩. 答:该林场第 6 年植树的面积为 80a 亩. (2)设第 n 年该林场植树的面积为 an 亩,

??3?n-1×16a,?1≤n≤5,n∈N? ? 则 an=? 2 ??86-n?a,?6≤n≤10,n∈N? ?
∴当 1≤n≤5 时, 3 - Sn=16a+24a+?+( )n 1×16a 2 3 16a[1-? ?n] 2 3 = =32a[( )n-1](亩). 3 2 1- 2 当 6≤n≤10 时, Sn=16a+24a+36a+54a+81a+80a+?+(86-n)a =211a+80a+?+(86-n)a [80a+?86-n?a]?n-5? =211a+ 2 ?166a-na??n-5? =211a+ (亩). 2 ∴所求 Sn 的表达式为

?32a[?2? -1],?1≤n≤5,n∈N? S =? ?166a-na??n-5? ,?6≤n≤10,n∈N? ?211a+ 2
3
n n

.

——探究提升—— 12.(20 分)(2011· 江西六校联考)已知数列{an},且 x= t是函数 f(x)=an-1x3-3[(t+1)an -an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.数列{an}中 a1=t,a2=t2(t>0 且 t≠1). (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)记 bn=2(1- ), t=2 时, 当 数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 求使 Sn>2010 的 n 的最小值. an 解:(1)f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1], 所以 f′( t)=3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0. 整理得:an+1-an=t(an-an-1).

当 t≠1 时,{an-an-1}(n≥2)是以 a2-a1=t2-t 为首项,t 为公比的等比数列, 所以 an-an-1=(t2-t)· 2=(t-1)· 1. tn tn 解法一:由上式得(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)=(t-1)(tn 1+tn 2+?+t), t-tn 即 an-a1=(t-1)· =tn-t, 1-t 所以 an=tn(n≥2). 又当 n=1 时上式仍然成立,故 an=tn(n∈N*). 解法二:由上式得:an-tn=an-1-tn 1, 所以{an-tn}是常数列, an-tn=a1-t=0,an=tn(n≥2). 又当 n=1 时上式仍然成立,故 an=tn(n∈N*). 1 (2)由(1)知,当 t=2 时,bn=2- n-1, 2 1 1 1 ∴Sn=2n-(1+ + 2+?+ n-1) 2 2 2 1 1- n 2 1 =2n- =2n-2(1- n) 1 2 1- 2 1 =2n-2+2·n. 2 由 Sn>2010, 1 1 得 2n-2+2( )n>2010,n+( )n>1006, 2 2 1 当 n≤1005 时,n+( )n<1006, 2 1 当 n≥1006 时,n+( )n>1006, 2 因此使 Sn>2010 的 n 的最小值为 1006.
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