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一类导数与函数压轴题的新解法——构造直线


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数 学教 育研 究 

2 0 1 2年 第 3期 



类导 数 与函 数压轴 题 的 新解 法—— 构 造 直 线 
邓满囤   ( 河北省任丘市第一中学 0 6 2 5 5 0 )  

2 0 1 2年 石 家 庄 市 质 检 二 压

轴 题 的 得 分 率 很 低 , 学  生 几 乎 只 能得 第 一 问 的分 数 , 面对 第 二 问无 可 奈 何 , 即  使有 思路 , 也 因过程 繁杂 , 而半 途而废 , 是 否 有 更 简 洁 


应用 1 ( 2 0 1 0年 全 国课 标 卷 ) 设 函数 l , (  ) —  ( e  
1 )一 nz。  

( 1 )若 n =   1


易懂 的方 法 , 笔 者作 了 一 些 思 考 , 并 用 这 一 方 法 成 功 解  决 了 一类 高考 压轴 题 .   题 目: ( 石 家 庄质 检 二 ) 已 知 函数 厂 (  ) 一l n x —n ( z  


求 _ 厂 ( z ) 的单调区问 ;  

( 2 )若 当 z ≥ 0时 , _ 厂 ( z ) ≥0 , 求 a的取 值 范 围 .  
分析 : ( 1 )解 略 . 考 虑 第 二  问,  一0时 , nER, z > 0时 , 由   题意 变 形 为 e  一 l ≥n z, 令:  
g( z) 一e   一1 , h(  ) 一口 z, g   ( z)  
y 

1 ), 口E R 

( 1 )讨 论 函 数 _ 厂 ( z ) 的单 调 性 ;  
1一 ~  

( 2 )当 z ≥ 1时 , _ 厂 ( z ) ≤ 
范 围.  

5 L " l   1  

恒成立 , 求 n的 取 值 

只研 究第 二 问 , 不等式恒成立 问题 , 历 来 是 函 数 与  导数 高考 的热 点 与 难 点 , 而 且 以压 轴 题 形 式 出 现 , 有 较  强 的综 合 性 .   本 题 常从 如下 角 度 思 考 : 一是 直接作差 构造函数 ,  

一  > 0 , g( z) 单增, 由 两 函 数  图像 易知 , 要 是 g(  ) ≥h (  ) ,   必需 g   ( O ) ≥“ , 即Ⅱ ≤1   .
应用 2 ( 2 0 1 0全 国 理 压 

1  

图 2  

轴题 ) 已知 函 数 _ 厂 ( z ) 一e   一1 一 —n  .  

厂 l ( z )  


. . . . 兰 ! 翌 兰 二  兰 : 二   令g (  ) 一z l n z~口 ( z  


( 2 )若 z ≥ 0时 , _ 厂 ( z ) ≥0 , 求 n的取 值 范 围 .   分析 : 因 为  一0时 , 对任意 口 ER, , ( - z ) ≥ 0成 立  只研 究 x > O的情 况 .  
整 理 变 形 为  ≥。  +  

1 ) ( z ≥1 ) , 多 次求 导 后 分 类 讨 论 .  

二 是分 类参数a 为n ≥之   ( z >1 ) , 转化为最值  
问题 , 多次求导 , 运 用 极 限.   以上 方 法 过 程 繁 杂 , 下 面 利 用 构 造 直 线 方 程 的 方  法求解.   由   ) 一  一   ≥  n z—n  

1 , 令g (  ) =  
+ 1 ,g r(   )一 

z ) 一。  
,  

>  
0  

易知 g   (  ) > O, 所 以 g(  )在 

(   一1 ) ≥0 , ( z ≥1 ) , 变形为:  


( O , +。 。 ) 单增 , 由罗 比 达 法 则  l   i m  g ( x ) :1 , 作 出函数 g ( z) ,  


图 3  

1 ) ≥ 

, 令:  

(  ) 图像 如 图 3 : 由 图像 可 知 , 只需 l i mg   ( ‘ r ) ≥口 , 由 罗 
’0  

h( 3 5 " )一 n ( z一 1 ) ,g ( z)  

1  
一 0  

1  
L 

比达法则l i mg   ( z ) 一÷ , 所以口 ≤÷ .  
一  

3 型 5 " 1 等, _ l   等价于当  ≥1 时, ^ (   )  
的图像 不 在 g ( z) 图像 下 方 ,  

O   f  
图 1  

解题 思路 总结 :  

因为 g   ( z ) = 

, 当z  

≥1 时, g   ( z ) >O , 所以 g ( z ) 单调递增 , 又易 知 g   ( z ) 单  调递 减 , 所 以 图像 上 凸 , 如图 1 所示, 由 图 像 可 知 只需 
1  

1 .构 造 合 理 的直 线 方 程 .   应用 2中 , 选择 ^ ( z ) 一n  + 1 , 没 有 选 择  目的是 使 参 数 n出现 在 直 线 方 程 中.   2 .研 究 曲线 的单 调 性 .  

z +1 ,  

h   ( 1 ) ≥g   ( 1 ) , 即n ≥÷ .   评 析 :构 造 的 出 发 点 是 产 生 直 线 方 程 h ( z ) 一n ( x  


以导 数 为 工 具 , 研 究函数的单调性 , 还 应 分 析 变 化  趋势.  

3 .作 图像 列 不 等 式 .   在 同 一 坐标 系 中 , 作 出 曲线 与 直 线 , 从 直 线 与 曲 线  的 位 置关 系 出 发 , 一 般 观 察 在 端 点 处 曲 线 的 切 线 斜 率 

1 ) , 并且使区间[ 1 , +。 。 ) 的左 端 点 为 直 线 ( z ) 一a ( x  



1 ) 与曲 线g ( z ) 一  等的 公共点, 以形助数解决  

与 直 线斜 率 的 大 小 关 系列 不 等 式 , 有 时 可 能 需 要 求 极  限值 , 甚 至 使 用 罗 比达 法 则 .  

问题 .  

[ 责任 编校



蓓]  


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