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陕西省2015年中考数学试题(word版,含答案)


2015 年陕西省中考 数学
第Ⅰ卷(选择题
2 0 (? ) ?( 1.计算: 3

共 30 分)

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分,每小题只有一个选项是符合题意的) )
3 2

A.1

B. ?

C.0 )

/>
D.

2 3

2.如图是一个螺母的示意图,它的俯视图是(

3.下列计算正确的是( A. a 2 ? a3 ? a 6 C. (a 2 ) 3 ? a 5

) B. (?2ab) 2 ? 4a 2b 2 D. 3a 3b 2 ? a 2b 2 ? 3ab

4.如图,AB//CD,直线 EF 分别交直线 AB、CD 于点 E、F,若∠ 1=46°30′,则∠2 的度数为( A.43°30′ C.133°30′ ) B.53°30′ D.153°30′

5.设正比例函数 y ? mx 的图象经过点 A(m,4) ,且 y 的值随 x 值的增大而减小,则 m ? ( A.2 ) B.-2 C.4 D.-4 线,若在

6.如图,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 是△ABC 的角平分 边 AB 上截取 BE=BC,连接 DE,则图中等腰三角形共有( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 ) D.4 )

? 1 ? x ? 1 ? ?3 7.不等式组 ? 2 的最大整数解为( ? ? x ? 2( x ? 3)>0
A.8 B.6 C.5

8.在平面直角坐标系中,将直线 l1 : y ? ?2 x ? 2 平移后,得 到直线 l2 : y ? ?2 x ? 4 ,则下 列平移作法正确的是( ) B.将 l1 向右平移 6 个单位长度 D. 将 l1 向上平移 4 个单位长度

A.将 l1 向右平移 3 个单位长度 C.将 l1 向上平移 2 个单位长度

9.在□ABCD 中,AB=10,BC=14,E、F 分别为边 BC、AD 上的点,若四边形 AECF 为正方 形,则 AE 的长为( ) A.7 B.4 或 10 C.5 或 9 D.6 或 8 )

10.下列关于二次函数 y ? ax2 ? 2ax ? 1(a> 的图象与 x 轴交点的判断, 正确的是 ( 1 ) A.没有交点 C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧 B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,计 12 分) 11.将实数 5, ?, 0, ? 6 由小到大用“<” 号连起来,可表示为__ _______________。 12.请从以下两小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分。 A.正八边形一个内角的度数为______________。 B.如图,有一滑梯 AB,其水平宽度 AC 为 5.3 米,铅直高度 BC 为 2.8 米,则∠A 的度数 约为__________。(用科学计算器计算,结果精确到 0.1°)

13.如图,在平面直角坐标系中,过点 M(-3,2)分别作 x 轴、 y 轴的垂线与反比例函数
y? 4 的图象交于 A、B 两点,则四边形 MAOB 的面积为______________。 x

14.如图,AB 为⊙0 的弦,AB=6,点 C 是⊙0 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点 M、N 分别是 AB、BC 的中点,则 MN 长的最大值是______________。 三、解答题(共 11 小题,计 78 分,解答应写出过程)

?1? 15.(本题满分 5 分)计算: 3 ? ? 6 ? ? 2 2 ? ? ? ? 2?
[来源:学+科+网]

?

?

?3

16.(本题满分 5 分)解分式方程:

x?2 3 ? ?1 x ?3 x ?3

17.(本题满分 5 分)如图,已知△ABC,请用尺规过点 A 作一条直线,使其将△ABC 分 成面积相等的两部分,(保留作图痕迹,不写作法)

18.(本题满分 5 分)某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练 情况,让体育老师随机抽查了该年级若干名女生,并严格地对她们进行了 1 分钟“仰卧 起坐”测试,同时统计了每个人做的个数(假设这个个数为 x),现在我们将这些同学 的测试结果分为四个等级:优秀(x≥44)、良好(36≤x≤43)、及格(25≤x≤35) 和不及格(x≤24),并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图。

请你根据以上信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)被测试女生 1 分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在_________等级; (3)若该年级有 650 名女生,请你估计该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优 秀的人数。

19. (本题满分 7 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,作 AD⊥AB 交 BC 的延长线于点 D,作 AE∥BD、CE⊥AC,且 AE、CE 相交于点 E,求证 AD=CE.

20.(本题满分 7 分)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军: “你有多高?” 小军一时语塞,小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的 身高,于是,两人在灯下沿直线 NQ 移动,如图,当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时,其影长 AD 恰好为 1 块地砖长;当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时,其影长 BF 恰好为 2 块地砖长,已知广场地面由边长为 0.8 米 的正方形地砖铺成,小聪的身高 AC 为 1.6 米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ,请你根据 以上信息,求出小军身高 BE 的长(结果精 确 到 0.01 米)

21.(本题满分 7 分)胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游,经了解,现有 甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人 640 元,且提供的服务完全相同,针对 组团两日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收费;乙旅行社表示,若人数 不超过 20 人,每人 都按九折收费,超过 20 人,则超出部分每人按七五折收费。假 设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x 人。 (1 )请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y(元)与 x(人)之间 的函数关系式; (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有 32 人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行 社中,帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

[来源:学科网 ZXXK]

22. (本题满分 7 分)某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛, 要求每班选一名代表参赛,九年级(1)班经过投票初选,小亮和小丽票数并列班级 第一,现在他们都想代表本班参赛,经班长与他们协商决定,用他们学过的掷骰子 游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)。 规则如下:两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次,向上一面 的点数都是奇数,则小亮胜;向上一面的点数都是偶数,则小丽胜;否则,视为平 局,若为平局,继续上述游戏,直至分出胜负为止。 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子,那么请你解答下列问题: (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少、? (2)该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由。 (骰子:六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 个小圆点的小正方体)

23.(本题满分 8 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是 ⊙O 的弦,过点 B 作⊙O 的切线 DE, 与 AC 的延长线交于点 D,作 AE⊥AC 交 DE 于点 E。 (1)求证:∠BAD=∠E; (2)若⊙O 的半径为 5,AC=8,求 BE 的长。

24.(本题满分 10 分)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x 2 +5x+4 的顶点为 M,与 x 轴交 于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点。 (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)求抛物线 y=x 2 +5x+4 关于坐标原点 O 对称的抛物线的函数表达式; (3)设(2)中所求抛物线的顶点为 M`,与 x 轴交于 A`、B`两点,与 y 轴交 于 C`点,在以 A、B、C、M、A`、B`、C`、M`这八个点中的四个点为顶 点的平行四边形中,求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。

25.(本题满分 12 分)如图,在每一个四边形 ABCD 中,均有 AD//BC,CD⊥BC, ∠ABC=60°,AD=8,BC=12. (1)如图①,点 M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点,则△BMC 的面积为__________; (2)如图②,点 N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点,请你求出△BNC 周长的最小值; (3)如图③, 在四边形 ABCD 的边 AD 上, 是否存在一点 P,使得 cos∠BPC 的值最小?若 存在,求出此时 cos∠BPC 的值;若不存在,请说明理由。

陕西省 2015 年中考数学试卷答案与解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分,每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算: (﹣ ) =( A.1
0

) B. ﹣ C .0 D.

考点:零指数幂. 分析: 0 0 根据零指数幂:a =1(a≠0) ,求出(﹣ ) 的值是多少即可.
.

解答: 0 解: (﹣ ) =1. 故选:A. 点评:此题主要考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0) ; ②0 ≠1. 2. (3 分) (2015?陕西)如图是一个螺母的示意图,它的俯视图是( )
0

A.

B.

C.

D.

考点:简单组合体的三视图. 分析:根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案. 解答:解:从上面看外面是一个正六边形,里面是一个没有圆心的圆, 故选:B. 点评:本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图.
.

3. (3 分) (2015?陕西)下列计算正确的是( 2 3 6 A.a ?a =a C. (a2)3=a5

) B. (﹣2ab)2=4a2b2 D.3a2b2÷a2b2=3ab

考点:整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析:根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,即可解答. 2 3 5 解答:解:A、a ?a =a ,故正确; B、正确; 2 3 6 C、 (a ) =a ,故错误; 2 2 2 2 D、3a b ÷a b =3,故错误; 故选:B. 点评:本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,解决本题的关键是熟记同 底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则.
.

4. (3 分) (2015?陕西)如图,AB∥CD,直线 EF 分别交直线 AB,CD 于点 E,F.若∠1=46°30′, 则∠1 的度数为( )

A.43°30′

B.53°30′

C.133°30′

D.153°30′

考点:平行线的性质. 分析:先根据平行线的性质求出∠EFD 的度数,再根据补角的定义即可得出结论. 解答:解:∵AB∥CD,∠1=46°30′, ∴∠EFD=∠1=46°30′, ∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′. 故选 C. 点评:本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两线平行,同位角相等.
.

5. (3 分) (2015?陕西)设正比例函数 y=mx 的图象经过点 A(m,4) ,且 y 的值随 x 值的增大而减 小,则 m=( ) A.2 B.﹣2 C .4 D.﹣4 考点:正比例函数的性质. 分析:直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可. 解答:解:把 x=m,y=4 代入 y=mx 中, 可得:m=±2, 因为 y 的值随 x 值的增大而减小, 所以 m=﹣2, 故选 B 点评:本题考查了正比例函数的性质:正比例函数 y=kx(k≠0)的图象为直线,当 k>0,图象经过 第一、三象限,y 值随 x 的增大而增大;当 k<0,图象经过第二、四象限,y 值随 x 的增大而 减小.
.

6. (3 分) (2015?陕西)如图,在△ ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 是△ ABC 的角平分线.若在 边 AB 上截取 BE=BC,连接 DE,则图中等腰三角形共有( )

A.2 个

B.3 个

C .4 个

D.5 个

考点:等腰三角形的判定与性质. 分析:根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等 腰三角形. 解答:解:∵AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形; ∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD 是△ ABC 的角平分线,
.

∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°, ∴∠A=∠ABD=36°, ∴BD=AD, ∴△ABD 是等腰三角形; 在△ BCD 中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°, ∴∠C=∠BDC=72°, ∴BD=BC, ∴△BCD 是等腰三角形; ∵BE=BC, ∴BD=BE, ∴△BDE 是等腰三角形; ∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°, ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°, ∴∠A=∠ADE, ∴DE=AE, ∴△ADE 是等腰三角形; ∴图中的等腰三角形有 5 个. 故选 D.

点评:此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三 角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏.

7. (3 分) (2015?陕西)不等式组 A.8 B.6 C .5

的最大整数解为(

) D.4

考点:一元一次不等式组的整数解. 分析:先求出各个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后求出答案即可.
.

解答: 解: ∵解不等式①得:x≥﹣8, 解不等式②得:x<6, ∴不等式组的解集为﹣8≤x<6, ∴不等式组的最大整数解为 5, 故选 C. 点评:本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是能根据不等式 的解集求出不等式组的解集,难度适中. 8. (3 分) (2015?陕西) 在平面直角坐标系中, 将直线 l1: y=﹣2x﹣2 平移后, 得到直线 l2: y=﹣2x+4, 则下列平移作法正确的是( ) A.将 l1 向右平移 3 个单位长度 B. 将 l1 向右平移 6 个单位长度 C. 将 l1 向上平移 2 个单位长度 D.将 l1 向上平移 4 个单位长度 考点:一次函数图象与几何变换. 分析:利用一次函数图象的平移规律,左加右减,上加下减,得出即可. 解答:解:∵将直线 l1:y=﹣2x﹣2 平移后,得到直线 l2:y=﹣2x+4, ∴﹣2(x+a)﹣2=﹣2x+4, 解得:a=﹣3, 故将 l1 向右平移 3 个单位长度. 故选:A. 点评:此题主要考查了一次函数图象与几何变换,正确把握变换规律是解题关键.
.

9. (3 分) (2015?陕西)在?ABCD 中,AB=10,BC=14,E,F 分别为边 BC,AD 上的点,若四边形 AECF 为正方形,则 AE 的长为( ) A.7 B.4 或 10 C .5 或 9 D.6 或 8 考点:平行四边形的性质;勾股定理;正方形的性质. 专题:分类讨论. 分析:设 AE 的长为 x,根据正方形的性质可得 BE=14﹣x,根据勾股定理得到关于 x 的方程,解方 程即可得到 AE 的长. 解答:解:如图:
.

设 AE 的长为 x,根据正方形的性质可得 BE=14﹣x, 2 2 2 在△ ABE 中,根据勾股定理可得 x +(14﹣x) =10 , 解得 x1=6,x2=8.

故 AE 的长为 6 或 8. 故选:D. 点评:考查了平行四边形的性质,正方形的性质,勾股定理,关键是根据勾股定理得到关于 AE 的 方程. 10. (3 分) (2015?陕西)下列关于二次函数 y=ax ﹣2ax+1(a>1)的图象与 x 轴交点的判断,正确 的是( ) A.没有交点 B. 只有一个交点,且它位于 y 轴右侧 C. 有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧 考点:抛物线与 x 轴的交点. 分析:根据函数值为零,可得相应的方程,根据根的判别式,公式法求方程的根,可得答案. 解答:解:当 y=0 时,ax2﹣2ax+1=0, ∵a>1 2 ∴△=(﹣2a) ﹣4a=4a(a﹣1)>0, 2 ax ﹣2ax+1=0 有两个根,函数与有两个交点,
.

2

x=

>0,

故选:D. 点评:本题考查了抛物线与 x 轴的交点,利用了函数与方程的关系,方程的求根公式. 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 12 分,其中 12、13 题为选做题,任选一题作答) 11. (3 分) (2015?陕西)将实数 ,π,0,﹣6 由小到大用“<”号连起来,可表示为 ﹣ 6 .

考点:实数大小比较. 分析:正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小, 据此判断即可. 解答:解: ≈2.236,π≈3.14, ∵﹣6<0<2.236<3.14,
.

∴﹣6 . 故答案为:﹣6 . 点评:此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0 >负实数,两个负实数绝对值大的反而小. 12. (3 分) (2015?陕西)正八边形一个内角的度数为 135° .

考点:多边形内角与外角. 分析:首先根据多边形内角和定理: (n﹣2)?180° (n≥3 且 n 为正整数)求出内角和,然后再计算一 个内角的度数. 解答:解:正八边形的内角和为: (8﹣2)×180°=1080°,
.

每一个内角的度数为 ×1080°=135°. 故答案为:135°. 点评:此题主要考查了多边形内角和定理,关键是熟练掌握计算公式: (n﹣2)?180 (n≥3)且 n 为 整数) . 13. (2015?陕西)如图,有一滑梯 AB,其水平宽度 AC 为 5.3 米,铅直高度 BC 为 2.8 米,则∠A 的 度数约为 27.8° (用科学计算器计算,结果精确到 0.1°) .

考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 分析:直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 解答: 解:∵tan∠A= = ≈0.5283,
.

∴∠A=27.8°, 故答案为:27.8°. 点评:本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难 度不大. 14. (3 分) (2015?陕西)如图,在平面直角坐标系中,过点 M(﹣3,2)分别作 x 轴、y 轴的垂线 与反比例函数 y= 的图象交于 A,B 两点,则四边形 MAOB 的面积为 10 .

考点:反比例函数系数 k 的几何意义. 分析: 设点 A 的坐标为(a,b) ,点 B 的坐标为(c,d) ,根据反比例函数 y= 的图象过 A,B 两点,
.

所以 ab=4,cd=4,进而得到 S△ AOC= |ab|=2,S△ BOD= |cd|=2, S 矩形 MCDO=3×2=6,根据四边形 MAOB 的面积=S△ AOC+S△ BOD+S 矩形 MCDO,即可解答. 解答:解:如图,

设点 A 的坐标为(a,b) ,点 B 的坐标为(c,d) , ∵反比例函数 y= 的图象过 A,B 两点, ∴ab=4,cd=4, ∴S△ AOC= |ab|=2,S△ BOD= |cd|=2, ∵点 M(﹣3,2) , ∴S 矩形 MCDO=3×2=6, ∴四边形 MAOB 的面积=S△ AOC+S△ BOD+S 矩形 MCDO=2+2+6=10, 故答案为:10. 点评: 本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义,根据条件得出 S△ AOC= |ab|=2, S△ BOD= |cd|=2 是解题的关键,注意 k 的几何意义的应用.

15. (3 分) (2015?陕西) 如图, AB 是⊙O 的弦, AB=6, 点 C 是⊙O 上的一个动点, 且∠ACB=45°. 若 点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,则 MN 长的最大值是 3 .

考点:三角形中位线定理;等腰直角三角形;圆周角定理. 分析:根据中位线定理得到 MN 的最大时,AC 最大,当 AC 最大时是直径,从而求得直径后就可以 求得最大值. 解答:解:∵点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,
.

∴MN= AC, ∴当 AC 取得最大值时,MN 就取得最大值, 当 AC 时直径时,最大, 如图,

∵∠ACB=∠D=45°,AB=6, ∴AD=6 , ∴MN= AD=3 故答案为:3 . 点评:本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理,解题的关键是了解 当什么时候 MN 的值最大,难度不大. 三、解答题(共 11 小题,计 78 分,解答时写出过程) 16. (5 分) (2015?陕西)计算: ×(﹣ )+|﹣2 |+( ) .
﹣3

考点:二次根式的混合运算;负整数指数幂. 专题:计算题. 分析:根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣ +2 +8,然后化简后合 并即可. 解答:解:原式=﹣ +2 +8 =﹣3 +2 +8 =8﹣ . 点评:本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运 算,然后合并同类二次根式.也考查了负整数整数幂、
.

17. (5 分) (2015?陕西)解分式方程:



=1.

考点:解分式方程. 专题:计算题. 分析:分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程 的解. 解答:解:去分母得:x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9,
.

解得:x= , 经检验 x= 是分式方程的解. 点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程 求解.解分式方程一定注意要验根.

18. (5 分) (2015?陕西)如图,已知△ ABC,请用尺规过点 A 作一条直线,使其将△ ABC 分成面积 相等的两部分. (保留作图痕迹,不写作法)

考点:作图—复杂作图. 分析:作 BC 边上的中线,即可把△ ABC 分成面积相等的两部分. 解答:
.

解:如图,直线 AD 即为所求: 点评:此题主要考查三角形中线的作法,同时要掌握若两个三角形等底等高,则它们的面积相等. 19. (5 分) (2015?陕西)某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况,让体 育老师随机抽查了该年级若干名女生,并严格地对她们进行了 1 分钟“仰卧起坐”测试,同时统计了 每个人做的个数 (假设这个个数为 x) , 现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级: 优秀 (x≥44) 、 良好(36≤x≤43) 、及格(25≤x≤35)和不及格(x≤24) ,并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计 图.

根据以上信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)被测试女生 1 分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在 良好 等级; (3)若该年级有 650 名女生,请你估计该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数. 考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 分析:(1)根据各个等级的百分比得出答案即可; (2)根据中位数的定义知道中位数是第 25 和 26 个数的平均数,由此即可得出答案; (3)首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比,条形统计图可以求出平均数的最小值,然后 即可求出答案.
.

解答:

解: (1) (2)∵13+20+12+5=50, 50÷2=25,25+1=26, ∴中位数落在良好等级, 故答案为:良好;



(3)650×26%=169(人) , 即该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是 169. 点评:本题难度中等,主要考查统计图表的识别;解本题要懂得频率分布直分图的意义.同时考查 了平均数和中位数的定义. 20. (7 分) (2015?陕西) 如图, 在△ ABC 中, AB=AC, 作 AD⊥AB 交 BC 的延长线于点 D, 作 AE∥BD, CE⊥AC,且 AE,CE 相交于点 E,求证:AD=CE.

考点:全等三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB, 再利用 ASA 证出△ ABD≌△CAE, 从而得出 AD=CE. 解答:证明:∵AE∥BD, ∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠EAC, 在△ ABD 和△ CAE 中,
.

, ∴△ABD≌△CAE, ∴AD=CE. 点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的 性质,关键是利用 ASA 证出△ ABD≌△CAE. 21. (7 分) (2015?陕西)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一 时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯

下沿直线 NQ 移动,如图,当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时,其影长 AD 恰好 为 1 块地砖长;当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时,其影长 BF 恰好为 2 块地砖 长. 已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成, 小聪的身高 AC 为 1.6 米, MN⊥NQ, AC⊥NQ, BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军身高 BE 的长. (结果精确到 0.01 米)

考点:相似三角形的应用. 分析:先证明△ CAD~△ MND,利用相似三角形的性质求得 MN=9.6,再证明△ EFB~△ MFN,即 可解答. 解答:解:由题意得:∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=MDN, ∴△CAD~△ MND,
.

∴ ∴

, ,

∴MN=9.6, 又∵∠EBF=∠MNF=90°, ∠EFB=∠MFN, ∴△EFB~△ MFN, ∴ ∴ ∴EB≈1.75, ∴小军身高约为 1.75 米. 点评:本题考查的是相似三角形的判定及性质,解答此题的关键是相似三角形的判定. 22. (7 分) (2015?陕西)胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游,经了解,现有甲、乙两 家旅行社比较合适,报价均为每人 640 元,且提供的服务完全相同,针对组团两日游的游客,甲旅 行社表示,每人都按八五折收费;乙旅行社表示,若人数不超过 20 人,每人都按九折收费,超过 20 人,则超出部分每人按七五折收费,假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x 人. (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y(元)与 x(人)之间的函数关系式; (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有 32 人,请你计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助胡老师 选择收取总费用较少的一家. 考点:一次函数的应用. 专题:应用题. ,

.

分析:(1)根据总费用等于人数乘以打折后的单价,易得 y 甲=640×0.85x,对于乙两家旅行社的总 费用,分类讨论:当 0≤x≤20 时,y 乙=640×0.9x;当 x>20 时,y 乙=640×0.9×20+640×0.75(x﹣ 20) ; (2)把 x=32 分别代入(1)中对应得函数关系计算 y 甲和 y 乙的值,然后比较大小即可. 解答:解: (1)甲两家旅行社的总费用:y 甲=640×0.85x=544x; 乙两家旅行社的总费用:当 0≤x≤20 时,y 乙=640×0.9x=576x;当 x>20 时,y 乙 =640×0.9×20+640×0.75(x﹣20)=480x+1920; (2)当 x=32 时,y 甲=544×32=17408(元) ,y 乙=480×32+1920=17280, 因为 y 甲>y 乙, 所以胡老师选择乙旅行社. 点评:本题考查了一次函数的应用:利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系,特别对乙旅行 社的总费用要采用分段函数解决问题. 23. (7 分) (2015?陕西)某中学要在全校学生中举办“中国梦?我的梦”主题演讲比赛,要求每班选一 名代表参赛.九年级(1)班经过投票初选,小亮和小丽票数并列班级第一,现在他们都想代表本班 参赛.经班长与他们协商决定,用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛) . 规则如下:两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次,向上一面的点数都是奇数,则 小亮胜;向上一面的点数都是偶数,则小丽胜;否则,视为平局,若为平局,继续上述游戏,直至 分出胜负为止. 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子,那么请你解答下列问题: (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少? (2)该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由. (骰子:六个面上分别刻有 1,2,3,4, 5,6 个小圆点的小正方体) 考点:游戏公平性;列表法与树状图法. 分析:(1)首先判断出向上一面的点数为奇数有 3 种情况,然后根据概率公式,求出小亮掷得向上 一面的点数为奇数的概率是多少即可. (2)首先应用列表法,列举出所有可能的结果,然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多 少,再比较它们的大小,判断出该游戏是否公平即可. 解答:解: (1)∵向上一面的点数为奇数有 3 种情况,
.

∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是:



(2)填表如下: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由上表可知,一共有 36 种等可能的结果,其中小亮、小丽获胜各有 9 种结果. ∴P(小亮胜)= ,P(小丽胜)= = ,

∴游戏是公平的. 点评:(1)此题主要考查了判断游戏公平性问题,要熟练掌握,首先计算每个事件的概率,然后比 较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平. (2)此题主要考查了列举法(树形图法)求概率问题,解答此类问题的关键在于列举出所有 可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有 可能的结果,通常采用树形图. 24. (8 分) (2015?陕西)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,过点 B 作⊙O 的切线 DE,与 AC 的延长线交于点 D,作 AE⊥AC 交 DE 于点 E. (1)求证:∠BAD=∠E; (2)若⊙O 的半径为 5,AC=8,求 BE 的长.

考点:切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)根据切线的性质,和等角的余角相等证明即可; (2)根据勾股定理和相似三角形进行解答即可. 解答:(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,过点 B 作⊙O 的切线 DE, ∴∠ABE=90°, ∴∠BAE+∠E=90°, ∵∠DAE=90°, ∴∠BAD+∠BAE=90°, ∴∠BAD=∠E; (2)解:连接 BC,如图:
.

∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵AC=8,AB=2×5=10, ∴BC= ,

∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD=∠E, ∴△ABC∽△EAB, ∴ ∴ , ,

∴BE=



点评:本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点,关键是根据切线的性质和相似三角形的性质 分析. 25. (10 分) (2015?陕西)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x +5x+4 的顶点为 M,与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点. (1)求点 A,B,C 的坐标; 2 (2)求抛物线 y=x +5x+4 关于坐标原点 O 对称的抛物线的函数表达式; (3)设(2)中所求抛物线的顶点为 M′,与 x 轴交于 A′,B′两点,与 y 轴交于 C′点,在以 A,B, C,M,A′,B′,C′,M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中一个不是菱形的平行四 边形的面积. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)令 y=0,求出 x 的值;令 x=0,求出 y,即可解答; (2)先求出 A,B,C 关于坐标原点 O 对称后的点为(4,0) , (1,0) , (0,﹣4) ,再代入 解析式,即可解答; (3)取四点 A,M,A′,M′,连接 AM,MA′,A′M′,M′A,MM′,由中心对称性可知,MM′ 过点 O,OA=OA′,OM=OM′,由此判定四边形 AMA′M′为平行四边形,又知 AA′与 MM′不 垂直,从而平行四边形 AMA′M′不是菱形,过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D,求出抛物线的顶点
.

2

坐标 M,根据
2

,即可解答.

解答:解: (1)令 y=0,得 x +5x+4=0, ∴x1=﹣4,x2=﹣1, 令 x=0,得 y=4, ∴A(﹣4,0) ,B(﹣1,0) ,C(0,4) . (2)∵A,B,C 关于坐标原点 O 对称后的点为(4,0) , (1,0) , (0,﹣4) , 2 ∴所求抛物线的函数表达式为 y=ax +bx﹣4, 将(4,0) , (1,0)代入上式,得

解得:
2



∴y=﹣x +5x﹣4. (3)如图,取四点 A,M,A′,M′,连接 AM,MA′,A′M′,M′A,MM′, 由中心对称性可知,MM′过点 O,OA=OA′,OM=OM′, ∴四边形 AMA′M′为平行四边形, 又知 AA′与 MM′不垂直, ∴平行四边形 AMA′M′不是菱形, 过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D,

∵y= ∴M( ) ,



又∵A(﹣4,0) ,A′(4,0) ∴AA′=8,MD= , ∴ =

点评:本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定,综合性较 强,解决本题的关键是根据中心对称,求出抛物线的解析式,在(3)中注意菱形的判定与数 形结合思想的应用. 26. (12 分) (2015?陕西)如图,在每一个四边形 ABCD 中,均有 AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°, AD=8,BC=12. (1)如图①,点 M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点,则△ BMC 的面积为 24 ; (2)如图②,点 N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点,请你求出△ BNC 周长的最小值; (3)如图③,在四边形 ABCD 的边 AD 上,是否存在一点 P,使得 cos∠BPC 的值最小?若存在, 求出此时 cos∠BPC 的值;若不存在,请说明理由.

考点:四边形综合题. 专题:综合题. 分析:(1)如图①,过 A 作 AE⊥BC,可得出四边形 AECF 为矩形,得到 EC=AD,BE=BC﹣EC, 在直角三角形 ABE 中,求出 AE 的长,即为三角形 BMC 的高,求出三角形 BMC 面积即可; (2)如图②,作点 C 关于直线 AD 的对称点 C′,连接 C′N,C′D,C′B 交 AD 于点 N′,连接 CN′,则 BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△ BNC 周长的最小值为△ BN′C 的周长 =BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可;
.

(3)如图③所示,存在点 P,使得 cos∠BPC 的值最小,作 BC 的中垂线 PQ 交 BC 于点 Q, 交 AD 于点 P,连接 BP,CP,作△ BPC 的外接圆 O,圆 O 与直线 PQ 交于点 N,则 PB=PC, 圆心 O 在 PN 上,根据 AD 与 BC 平行,得到圆 O 与 AD 相切,根据 PQ=DC,判断得到 PQ 大于 BQ,可得出圆心 O 在 BC 上方,在 AD 上任取一点 P′,连接 P′B,P′C,P′B 交圆 O 于点 M,连接 MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC 最小,cos∠BPC 的值最小,连接 OB, 求出即可. 解答:解: (1)如图①,过 A 作 AE⊥BC, ∴四边形 AECD 为矩形, ∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4, 在 Rt△ ABE 中,∠ABE=60°,BE=4, ∴AB=2BE=8,AE= 则 S△ BMC= BC?AE=24 ; =4 ,

故答案为:24 ; (2)如图②,作点 C 关于直线 AD 的对称点 C′,连接 C′N,C′D,C′B 交 AD 于点 N′,连接 CN′,则 BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′, ∴△BNC 周长的最小值为△ BN′C 的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC, ∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°, ∴过点 A 作 AE⊥BC,则 CE=AD=8, ∴BE=4,AE=BE?tan60°=4 , ∴CC′=2CD=2AE=8 , ∵BC=12, ∴BC′= =4 ,

∴△BNC 周长的最小值为 4 +12; (3)如图③所示,存在点 P,使得 cos∠BPC 的值最小, 作 BC 的中垂线 PQ 交 BC 于点 Q,交 AD 于点 P,连接 BP,CP,作△ BPC 的外接圆 O,圆 O 与直线 PQ 交于点 N,则 PB=PC,圆心 O 在 PN 上, ∵AD∥BC, ∴圆 O 与 AD 相切于点 P, ∵PQ=DC=4 >6, ∴PQ>BQ, ∴∠BPC<90°,圆心 O 在弦 BC 的上方, 在 AD 上任取一点 P′,连接 P′B,P′C,P′B 交圆 O 于点 M,连接 MC, ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C, ∴∠BPC 最大,cos∠BPC 的值最小, 连接 OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC, ∵OB=OP=4 ﹣OQ, 2 2 2 在 Rt△ BOQ 中,根据勾股定理得:OQ +6 =(4 ﹣OQ) , 解得:OQ= ∴OB= , ,

∴cos∠BPC=cos∠BOQ=

= ,

则此时 cos∠BPC 的值为 .

点评:此题属于四边形综合题,涉及的知识有:勾股定理,矩形的判定与性质,对称的性质,圆的 切线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.


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