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高中数学必修1函数的单调性[1]


高中数学必修1

获加三中

陈燕
1

德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 …

记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
2

艾宾浩斯遗忘曲线
保持量(百分数)
100 80 60

40
20 0 1 2 3 4 5 6

天数
3

问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的
变化趋势:

(1) y ? x ? 1

(2) y ? ?2x ? 2
1 (4) y ? x
4

(3) y ? ? x

2

y

y

y ? x ?1

1
O

y ? ?2x ? 2

2
1
O

-1

x

x

y

y ? ?x
O

2

y

1 y? x
O

x

x

5

问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上 升或下降趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时,函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时,函数值y反而减小

6

如何用x与 f(x)来描述上升的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x

在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x1 ) ? f(x2 )

O

x1

结论: 函数f (x)在给 定区间上为递增的。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )

在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x1 ) ? f(x2 )

f (x 2 )

O

x1

x2

结论: 函数f (x)在给 定区间上为递减的。

x
7

y y=f(x) f(x1) O x1 x2 f(x2) x

区间D ? I. 如果对于区间D内的任意两个值
x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,

那么就说y= f(x)在区间D上是单调增函数.
8

y

f(x1)

f(x2) x2

0 x1

x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
区间D? I. 如果对于区间D内的任意两个值 x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)

那么就说y= f(x)在区间D上是单调减函数.
9

单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.

10

[例 1] 证明函数f ( x) ? 2 x ? 1在区间
证明: 设x1 , x2是区间(??,??)内任意 两个实数,且 x1 ? x2 。 (条件) f (x1 ) ? f (x 2 ) ? (2x1 ? 1) ? (2x 2 ? 1) ? 2(x 1 ? x 2 )

(? ?, ? ?)上是增函数。

? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0 ? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 即f (x1 ) ? f (x 2 ) (论证结果) 则函数f (x) ? 2x ? 1在区间 (??,??)

是增函数。(结论)
11

求证:函数 f ( x) ? ? x ? 1在区间

练一练 1

0? 上是单调增函数. ? ??,

证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意
两个实数,且 x1 ? x2 .
1 1 1 1 x1 ? x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? x1 x2 x2 x1 x1 x2

? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 故 f ( x) ? ? ? 1在区间? 0, ? ? ? 上是单调增函数. x
12

[例2] 判断函数f ( x ) ? x ? 2x 的 单调性,并加以证明。
2

y

单调递减区间: f (x) ? x 2 ? 2x (??, 1 ) 单调递增区间:
1

o

2

x

[1 ,??)

13

【练习】: 1、判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上

是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数
2、判断函数f(x)=1/x在(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数
上是减函数? 答:不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.
14

【想一想】:能否说函数f(x)=1/x在(-∞,+∞)

解题步骤
用定义证明函数的单调性的步骤:

(1). 取值:设x1<x2, 并且是某个区间上任意 两个值; (2). 作差 :f(x1)-f(x2) ;

(3). 定号: f(x1)-f(x2) 的符号:
(4). 判断:作结论.

15

小结
1. 概念 定义法 2. 方法 图象法

16

课时练 p30页随堂检测第6题

17

作业:
课本 第39页 A组第2 3题。

18


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