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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形单元同步测试(含解析)新人教A版必修5


第一章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 2 5 +62-82 3 解析 最大边 AC 所对

角为 B,则 cosB= =- <0,∴ B 为钝角. 2× 5× 6 20 答案 C 2.在△ ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30° ,B 为锐角,那么 A,B,C 的大小关系为 ( ) A.A>B>C B.B>A>C C.C>B>A D.C>A>B a b bsinA 3 解析 由正弦定理 = ,∴ sinB= = . sinA sinB a 2 ∵ B 为锐角,∴ B=60° ,则 C=90° ,故 C>B>A. 答案 C 3.在△ ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( ) A.4 2 B.4 3 32 C.4 6 D. 3 3 8× 2 asinB 8× sin60° 解析 由 A+B+C=180° , 可求得 A=45° , 由正弦定理, 得 b= = = sinA sin45° 2 2 =4 6. 答案 C → → 4.在△ ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则BA· BC的值为( A.5 B.-5 C.15 D.-15 解析 在△ ABC 中,由余弦定理得 AB2+BC2-AC2 25+49-64 1 cosB= = = . 2AB· BC 2× 5× 7 7 → → → → 1 ∴ BA· BC=|BA|· |BC|cosB=5× 7× =5. 7 答案 A 5.若三角形三边长之比是 1: 3:2,则其所对角之比是( A.1:2:3 B.1: 3:2 C.1: 2: 3 D. 2: 3:2 )

)

a2+ 3a2- a2 解析 设三边长分别为 a, 3a,2a,设最大角为 A,则 cosA= =0,∴ A 2· a· 3a =90° . a2+ 3a2-a2 3 设最小角为 B,则 cosB= = , 2 2· 2a· 3a ∴ B=30° ,∴ C=60° . 因此三角之比为 1:2:3.
1

答案 A 6.在△ ABC 中,若 a=6,b=9,A=45° ,则此三角形有( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不确定 2 9× 2 3 2 b a bsinA 解析 由 = ,得 sinB= = = >1. sinB sinA a 6 4 ∴ 此三角形无解. 答案 A 7.已知△ ABC 的外接圆半径为 R,且 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB(其中 a,b 分别 为 A,B 的对边),那么角 C 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 根据正弦定理,原式可化为 a2 c2 ? b 2- 2R? , ?4R 4R2?=( 2a-b)· 2R ∴ a2-c2=( 2a-b)b,∴ a2+b2-c2= 2ab, a2+b2-c2 2 ∴ cosC= = ,∴ C=45° . 2ab 2 答案 B 8.在△ ABC 中,已知 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足 ab=4,则该三角形的面 积为( ) A.1 B.2 C. 2 D. 3 a b c 解析 由 = = =2R, sinA sinB sinC 又 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 可得 a2+b2-ab=c2. a2+b2-c2 1 3 ∴ cosC= = ,∴ C=60° ,sinC= . 2ab 2 2 1 ∴ S△ ABC= absinC= 3. 2 答案 D sinB 9.在△ ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则 的值为( ) sinC 8 5 A. B. 5 8 5 3 C. D. 3 5 解析 由余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 cosA= ,解得 AC=3. 2AB· AC sinB AC 3 由正弦定理 = = . sinC AB 5 答案 D 10.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠ BAC 的大小为( ) 2π 5π A. B. 3 6 3π π C. D. 4 3 AB2+AC2-BC2 52+32-72 1 2π 解析 由余弦定理,得 cos∠ BAC= = =- ,∴ ∠ BAC= . 2AB· AC 2× 5× 3 2 3
2

(

答案 A 11.有一长为 1 km 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现要将倾斜角改为 10° ,则坡底要加长 ) A.0.5 km B.1 km 3 C.1.5 km D. km 2 解析 如图,AC=AB· sin20° =sin20° , AC BC=AB· cos20° =cos20° ,DC= =2cos210° , tan10° ∴ DB=DC-BC=2cos210° -cos20° =1.

答案 B 12.已知△ ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° , 则 b 为( ) A.2 B.4+2 3 C.4-2 3 D . 6- 2 解析 在△ ABC 中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA,∵ a=c,∴ 0=b2-2bccosA 2 = b2 - 2b( 6 + 2 )cos75° , 而 cos75° = cos(30° + 45° ) = cos30° cos45° - sin30° sin45° = 2 1 ? 3-1?=1( 6- 2),∴ b2-2b( 6+ 2)cos75° =b2-2b( 6+ 2)·( 6- 2)=b2-2b=0, 4 4 ? 2 2? 解得 b=2,或 b=0(舍去).故选 A. 答案 A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.在△ ABC 中,A=60° ,C=45° ,b=4,则此三角形的最小边是____________. bsinC 4sin45° 解析 由 A+B+C=180° , 得 B=75° , ∴ c 为最小边, 由正弦定理, 知 c= = sinB sin75° =4( 3-1). 答案 4( 3-1) 14.在△ ABC 中,若 b=2a,B=A+60° ,则 A=________. 解析 由 B=A+60° ,得 1 3 sinB=sin(A+60° )= sinA+ cosA. 2 2 又由 b=2a,知 sinB=2sinA. 1 3 ∴ 2sinA= sinA+ cosA. 2 2 3 3 即 sinA= cosA. 2 2 3 ∵ cosA≠0,∴ tanA= . 3 ∵ 0° <A<180° ,∴ A=30° . 答案 30° 15.在△ ABC 中,A+C=2B,BC=5,且△ ABC 的面积为 10 3,则 B=________, AB=________. 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180° ,得 B=60° . 1 又 S= AB· BC· sinB, 2 1 ∴ 10 3= AB× 5× sin60° ,∴ AB=8. 2 答案 60° 8 16. 在△ ABC 中, 已知(b+c): (c+a): (a+b)=8: 9: 10, 则 sinA: sinB: sinC=________.
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b+c=8k, ? ? 解析 设?c+a=9k, ? ?a+b=10k,

可得 a:b:c=11:9:7.

∴ sinA:sinB:sinC=11:9:7. 答案 11:9:7 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)在非等腰△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a2=b(b+c). (1)求证:A=2B; (2)若 a= 3b,试判断△ ABC 的形状. a2+c2-b2 2 2 解 (1)证明:在△ ABC 中,∵ a =b· (b+c)=b +bc,由余弦定理,得 cosB= 2ac 2 bc+c b+c a sinA = = = = , 2ac 2a 2b 2sinB ∴ sinA=2sinBcosB=sin2B. 则 A=2B 或 A+2B=π. 若 A+2B=π,又 A+B+C=π,∴ B=C.这与已知相矛盾,故 A=2B. 2 (2)∵ a= 3b,由 a =b(b+c),得 3b2=b2+bc,∴ c=2b. 又 a2+b2=4b2=c2. 故△ ABC 为直角三角形. 18.(12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,角 A,B 满 足 2sin(A+B)- 3=0.求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ ABC 的面积. 3 解 (1)由 2sin(A+B)- 3=0,得 sin(A+B)= . 2 ∵ △ ABC 为锐角三角形,∴ A+B=120° ,∴ ∠ C=60° . 2 (2)∵ a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两个根, ∴ a+b=2 3,ab=2. ∴ c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6. ∴ c= 6. 1 1 3 3 S△ ABC= absinC= × 2× = . 2 2 2 2 19.(12 分)如右图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° ,距离为 12 6 nmile,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3 nmile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再 看灯塔 B 在北偏东 120° ,求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 解 (1)在△ ABD 中,∠ ADB=60° ,B=45° ,AB=12 6,由 2 12 6× 2 ABsinB 正弦定理,得 AD= = =24(nmile). sin∠ ADB 3 2 (2)在△ ADC 中,由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD· AC· cos30° . 解得 CD=8 3(nmile). ∴ A 处与 D 处的距离为 24 nmile,灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 nmile. 20.(12 分)已知△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n
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=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥ n,求证:△ ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥ p,边长 c=2,角 C= ,求△ ABC 的面积. 3 解 (1)证明:∵ m∥ n,∴ asinA=bsinB. a b a 由正弦定得知, sinA= , sinB= (其中 R 为△ ABC 外接圆的半径), 代入上式, 得 a· 2R 2R 2R b =b· ,∴ a=b.故△ ABC 为等腰三角形. 2R (2)∵ m⊥ p,∴ m· p=0,∴ a(b-2)+b(a-2)=0,∴ a+b=ab. 2 2 2 由余弦定理 c =a +b -2abcosC 得 4=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0. 解得 ab=4,ab=-1(舍去). 1 1 π ∴ △ ABC 的面积 S= absinC= × 4× sin = 3. 2 2 3 π 21.(12 分)在△ ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. π 2π 解 (1)△ ABC 的内角和 A+B+C=π,由 A= ,B>0,C>0,得 0<B< .应用正弦定理, 3 3 得 BC 2 3 AC= · sinB= · sinx=4sinx. sinA π sin 3 2π ? BC AB= sinC=4sin? ? 3 -x?. sinA ∵ y=AB+BC+CA, 2π ? 2π -x +2 3?0<x< ?. ∴ y=4sinx+4sin? 3? ?3 ? ? 3 1 (2)y=4(sinx+ cosx+ sinx)+2 3 2 2 π =4 3sin(x+ )+2 3. 6 π π 5π ∵ <x+ < , 6 6 6 π π π ∴ 当 x+ = ,即 x= 时,y 取得最大值 6 3. 6 2 3 sinA+sinB 22.(12 分)△ ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= ,sin(B- cosA+cosB A)=cosC. (1)求 A,C; (2)若 S△ ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB 解 (1)因为 tanC= , cosA+cosB sinC sinA+sinB 即 = , cosC cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3
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1 又因为 sin(B-A)=cosC= , 2 π 5π 则 B-A= ,或 B-A= (舍去). 6 6 π 5π 得 A= ,B= . 4 12 π π 所以 A= ,C= . 4 3 6+ 2 1 (2)S△ ABC= acsinB= ac=3+ 3, 2 8 a c a c 又 = ,即 = . sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.

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