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2012年全国高中数学联合竞赛浙江省试题 Word版含答案


2012 年浙江省高中数学竞赛试题
参考解答与评 分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解 答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1

),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1 的 125

最小整数 n 是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA、PB 的延 长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 ? ? ( PQ PR PS

) B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数

A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=(



A.1 4.已知 a =(cos

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三 3 3
) B.

角形,则△OAB 的面积等于( A.1

1 2

C.2

D.

3 2

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 5.过椭圆 C: ,延长 PH 到点 Q, 3 2
使|HQ|=λ |PH| (λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为(
学科网]



[来源:

A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2
b

6. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠1), 角 B、 b、 且 的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形

C sin B , 都是方程 log A sin A

x=logb(4x-4)

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不 是直角三角形

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依

次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( A.64 B.32 C.16 ) D.8

8. 在平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P(a, b) 所形成平面区域的 面积为( A. 4 ) B.8
[来源:学科网 ZXXK]

C. 16

D. 32

? ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( ) 6 ? 2?
?1 ? A. ? , 1? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1
二、填空题(每题 7 分.共 49 分) 11.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

) D. 1 ? x ? 3

12.如果: (1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 13.设 n 是正整数,集合 M={1,2,…,2n}.求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一个 k 元子集, 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 14.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 15.我们注意到 6!=8?9?10,试求能使 n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n 为 __________. 16.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整 数 a=__________.
[来源:学§科§网]

17.已知 a, b, c∈R+,且满足

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,则 k 的最小值为__________.。 a?b?c

三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切, ⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。
[来源:Z*xx*k.Com]

19.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

[来源:学科网 ZXXK]

20.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右 52 42

侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

附加题 (每题 25 分,共 50 分) 21. 如图,已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径的圆分别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 E A Q D

B

P

C

22.(50 分)求所有实多项式 f 和 g,使得对所有 x∈R,有:(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。

参考答案
一、选择题 1. 由递推式得: n+1-1)=-(an-1), n-1}是以 8 为首项, 3(a 则{a 公比为-

1 的等比数列, n-n=(a1-1)+(a2-1)+… ∴S 3

1 8[1 ? (? ) n ] 3 =6-6?(- 1 )n,∴|S -n-6|=6?( 1 )n< 1 ,得:3n-1>250,∴满足条件的最小整 +(an-1)= n 1 3 3 125 1? 3
数 n=7,故选 C。 2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR= h= PQR?

1 S△ 3

1 1 ( PQ? PRsinα )? sinβ 。 PS? 另一方面, O 到各面的距离为 d, vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, 记 则 3 2 1 1 1 1 d 1 d 1 d 1 S△PQR? d= △PRS? d+ S△PRS? d+ △PQS? d= ? PQ? PRsinα + ? PS? PRsin α + ? PQ? PS? sin 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2

α ,故有:PQ?PR?PS?sinβ =d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS),即 选 D。

1 1 1 sin ? ? ? ? =常数。故 PQ PR PS d

3 3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, 3.xn+1= n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 6 3 1? xn 3 xn ?
2005

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

4.设向量 b =(x, y),则 ?

?(a ? b)(a ? b) ? 0 ? ?| a ? b |?| a ? b | ?



? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 2 ?( x ? , y ? ? 2 3 1 ?x ? y ? 1 ? 2 2 2 2 , ) 或 即 ? , 即 ? . ∴ b?( 2 2 ?x ? 3 y 1 2 3 2 1 2 3 2 ?( x ? ) ? ( y ? ? ) ? (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 2 ?
(?
1 3 1 , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 2

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。 又∵HQ=λ PH,所以

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ? ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q 点轨迹为 ? PQ 1 ? ? ? y1 ? y ?
[ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 3?2 ? 2 2 3 ? ? 1 ,所以离心率 e= ? 1 ? 2 ? [ ,1) 。故选 C。 2 2 3? 3 3? 2 3?

6.由 log

b

x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因 A+B+C=180°,所以

3A+B=180°, 因此 sinB=sin3A, ∴3sinA-4sin3A=2sinA, ∵sinA(1-4sin2A)=0, sinA≠0, 又 所以 sin2A= 而 sinA>0,∴sinA=

1 , 4

7.

1 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 2 经计算 x ? 32 。正确答案为 B

8. 平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1, , , , 1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有
a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2

由此计算动点 P(a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A

? ? ?? 9.问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点,所以 m 的取 6 ? 2?
?1 ? 值范围为 ? , 1? 。正确答案为 C ?2 ?
10.不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)
2

由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。
. 二、填空题

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 11. 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y≥0, 因为 x>0, ∴只须求 x-y 的最小值, x-y=u, 令 代入 x2-4y2=4, 3y2-2uy+(4-u)2=0, 有 2 这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u -3)≥0。 12.46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数字 时, 能组成 C3C2 C2 ? C2 C2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不同数,所
1 1 1 1 1
4 2

以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 13. 解考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,…,2n}. P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以 k≥n+3. 将 M 的元配为 n 对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n.

对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、i 2、i 3 两两不同). 又将 M 的元配为 n-1 对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1. 对 M 的任一 n+3 元 子集 A,必有一对 Ci4 同属于 A, 这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一个无公共元素, 4 个元素互不相同, 这 且和为 2n+1+2n=4n+1, 最小的正整数 k=n+3 14.

t ?1 t ?1 13 ? 1 21 ? 1 ? 1, 。①若 t2-4>0,即 t<-2 或 t>2,则由 2 >x(|x|≤1)恒成立,得 2 , t ?4 t ?4 2 2

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 t2-4=0,则 ?t ? 2 2 2 2
t ?1 t ?1 ? ?1 ,t+1>-t2+4; <x(|x|≤1)恒成立,得 2 2 t ?4 t ?4

t=2 符合题意。③若 t2-4<0,即-2<t<2,则由

t2+t-3>0,解得:t<

? 1? 13 ? 1? 13 ? 1? 13 或 t> ,从而 <t<2。综上所述,t 的取值 范围是: 2 2 2

13 ? 1 21 ? 1 <t< 。 2 2
15.23. 。 16.1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1,再 令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整数 t,恒 有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f (-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 17.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) abc

≥ 8(53

1 a 2b 2 c ) ? (55 ) ? 100。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 三、解答题 18. l 为 x 轴, P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, Q 的坐标为(x, 0), A(k, λ ), 以 点 设 点

⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x 2 ? 2 2 =1+r。所以 x=± r 2 ? 2r ? 3 , ∴tan

∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh , 令 ? ? 2 2 (x ? k) ? r ? h (? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 ,所以 m+r ? k r 2 ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 ,两 n

边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2 ,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 2 (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 得 h= ?2m(1 ? nh) ? 2k (2) ,由(1) h ?(1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ? 1 ± 3 ,所以 tan∠MAN= =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时∠ n
MAN=60°) ,故∠MAN=60°。 19. (1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-

a 2 a2 a a2 )+ ,∴f( )= ≤1,∵a>0, 2b 2 b 4b 4b

b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证: (必要性) ,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥-1,∴a ≥b-1。对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? f(x)≤1,因为 b>1,可推出 f(

1 b

)≤1。即 a?

1 b

-≤1,∴a

≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性) :因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1, 即: ax-bx2≥-1; 因为 b>1, a≤2 b , 对任意 x∈[0, 1], 可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤1, ax-bx2 即 ≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1.

20. F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 16

? ( 1 6? 2 2 x2) ? k5

2 1k5 0 ? x

22 2? k 5

得 ? 00 4

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分 设 M (?

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )
, 得



????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

y3 y 4? ?

256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , 整理得 ? =? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 )

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。
----------

A Q

D

B

P

C

附加题 21 证:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,则∠EAC=∠DBC+ ∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC,则:∠OBC=∠DCB;故△DBC 为等腰三角形,

1 BC。在圆内接四边形 ABCD 中,由托勒密定理得:AC?BD=BC?AD+AB?CD, 2 BC ? AD 2 BP ? AD AQ AD ? ? 因 BD=CD,则:AC-AB= ,又 DQ⊥AC,则△ADQ∽△BDP,所以 , BD BD BP BD 1 BP ? AD AC ? AB 即 : AQ= 。 故 AC-AB=2AQ , 即 AQ= 。 从 而 : CQ+CP= ( AC-AQ ) + BC= 2 BD 2 1 AC ? AB 1 ) ? BC= (AB+BC+CA)。 (AC2 2 2
因 OP⊥BC,则 CP=

22.设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的立方根,则 f(α 2-α +1)=f(0)=0,故可设:f(x)= x?a(x);g(x)=x?b(x)。因此原条件可化为:a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令 x=-y, a(y2+y+1)=b(y2-y+1), 1]。 得: 下面证 明无穷多个 n 使得: 2+3n+3)=a(1)。 n=1 可得: a(n 由 a(1)=a(7), 2 假 设 a[(n-1) +3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。 由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根, 所以 a(x)-a(1)是零多项式, a(x)为常数, 即 因此 f(x)=kx, 类似可知:g(x)=kx。


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