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《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解


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《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解
撰稿:孙景艳 审稿: 赵炜 【学习目标】 1.理解方程,等式及一元一次方程的概念,并掌握它们的区别和联系; 2.会解一元一次方程,并理解每步变形的依据; 3.会根据实际问题列方程解应用题. 【知识网络】

【要点梳理】 知识点一、一元一次方程的概念 1.

方程:含有未知数的等式叫做方程. 2.一元一次方程:只含有一个未知数(元) ,未知数的次数都是 1,这样的方程叫做一元一 次方程. 要点诠释: (1)一元一次方程变形后总可以化为 ax+b=0(a≠0)的形式,它是一元一次方程的标准形 式. (2)判断是否为一元一次方程,应看是否满足:①只含有一个未知数,未知数的次数为 1; ②未知数所在的式子是整式,即分母中不含未知数; 3.方程的解:使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解. 4.解方程:求方程的解的过程叫做解方程. 知识点二、等式的性质与去括号法则

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1.等式的性质: 等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等. 2.合并法则:合并时,把系数相加(减)作为结果的系数,字母的指数不变. 3.去括号法则: (1)括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同. (2)括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反. 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母:在方程两边同乘以各分母的最小公倍数. (2)去括号:依据乘法分配律和去括号法则,先去小括号,再去中括号,最后去大括号. (3)移项:把含有未知数的项移到方程一边,常数项移到方程另一边. (4)合并:逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为 ax=b(0≠0) 的形式. (5)系数化为 1:方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 x ?

b (a≠0). a

(6)检验:把方程的解代入原方程,若方程左右两边的值相等,则是方程的解;若方程左右 两边的值不相等,则不是方程的解. 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题:路程=速度×时间 2.和差倍分问题:增长量=原有量×增长率 3.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价 4.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量 5.银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金×利率 6.数字问题:多位数的表示方法:例如: abcd ? a ?10 ? b ?10 ? c ?10 ? d .
3 2

【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1.已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m 是关于 x 的一元一次方程,求 m 和 x 的值. 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都 是 1,系数不为 0,则这个方程是一元一次方程. 【答案与解析】 解:因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m 是关于 x 的一元一次方程, 所以 3m-4=0 且 5-3m≠0. 由 3m-4=0 解得 m ? 将m ?

4 4 4 ,又 m ? 能使 5-3m≠0,所以 m 的值是 . 3 3 3

4 8 4? 8 ? 代入原方程,则原方程变为 ? ? 5 ? 3 ? ? x ? ,解得 x ? ? . 3 3 3? 3 ? 4 8 ,x?? . 3 3

所以 m ?

【总结升华】解答这类问题,一定要严格按照一元一次方程的定义.方程 (3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m2 是关于 x 的一元一次方程, 就是说 x 的二次项系数 3m-4=0,

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而 x 的一次项系数 5-3m≠0,m 的值必须同时符合这两个条件. 举一反三: 【高清课堂: 一元一次方程复习 393349 等式和方程例 3】 【变式】下面方程变形中,错在哪里: (1)方程 2x=2y 两边都减去 x+y,得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-y, 得 1=-1. (2)

3 ? 7x 2x ?1 ? ? 2 x ,去分母,得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x,去括号得:9-21x=4x+2+2x. 2 3

【答案】 (1)答:错在第二步,方程两边都除以 x-y. (2)答:错在第一步,去分母时 2x 项没乘以公分母 6. 2. 如果 5(x+2)=2a+3 与 【答案】

(3a ? 1) x a (5 x ? 3) ? 的解相同,那么 a 的值是________. 3 5

7 11

【解析】 由 5(x+2)=2a+3,解得 x ?

2a ? 7 . 5 (3a ? 1) x a (5 x ? 3) 9 ? 由 ,解得 x ? ? a . 3 5 5 2a ? 7 9 7 ? ? a ,解得 a ? . 所以 5 5 11

【总结升华】因为两方程的解相同,可把 a 看做已知数,分别求出它们的解,令其相等,转 化为求关于 a 的一元一次方程. 举一反三: 【变式】已知|x+1|+(y+2x)2=0,则 x ? ________.
y

【答案】1

类型二、一元一次方程的解法
3.解方程:

4 ? 6x 2x ?1 ?1 ? . 3 2

【答案与解析】 解:去分母,得:2(4-6x)-6=3(2x+1). 去括号,得:8-12x-6=6x+3. 移项,合并同类项,得:-18x=1. 系数化为 1,得: x ? ?

1 . 18

【总结升华】 转化思想是初中数学中一种常见的思想方法, 它能将复杂的问题转化为简单的 问题,将生疏的问题转化为熟悉的问题,将未知转化为已知.事实上解一元一次方程就是利 用方程的同解原理,将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解. 举一反三: 【变式 1】解方程 z ?

z ? 2 6 ? 7z 5 ? 2z 2z ? 5 ? ? ? 4 4 3 6

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【答案】 解:把方程两边含有分母的项化整为零,得

z 2 6 7z 5 2 z 2 z 5 ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 4 4 3 3 6 6 1 1 移项,合并同类项得: z ? ,系数化为 1 得:z=1. 2 2 z?
【高清课堂:一元一次方程复习 393349 解方程例 1(2) 】

0.1x ? 0.05 0.2 x ? 0.05 5 ? ? ? 0. 【变式 2】解方程: 0.2 0.5 4
【答案】 解:把方程可化为:

x ? 0.5 2 x ? 0.5 5 ? ? ?0, 2 5 4

再去分母得: 2x ? ?32 解得: x ? ?16 4.解方程 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}=5. 【答案与解析】 解:把 2x-1 看做一个整体.去括号,得: 3(2x-1)-9(2x-1)-9=5. 合并同类项,得-6(2x-1)=14. 系数化为 1 得: 2 x ? 1 ? ?

7 2 ,解得 x ? ? . 3 3

【总结升华】把题目中的 2x-1 看作一个整体,从而简化了计算过程.本题也可以考虑换元 法:设 2x-1=a,则原方程化为 3[a-(3a+3)]=5.

类型三、特殊的一元一次方程的解法
1.解含字母系数的方程 5.解关于 x 的方程: m( x ? n) ?

1 3

1 ( x ? 2 m) 4

【思路点拨】这个方程化为标准形式后,未知数 x 的系数和常数都是以字母形式出现的,所 以方程的解的情况与 x 的系数和常数的取值都有关系. 【答案与解析】 解:原方程可化为: (4m ? 3) x ? 4mn ? 6m ? 2m(2n ? 3)

3 4mn ? 6m 时,原方程有唯一解: x ? ; 4 4m ? 3 3 3 当 m ? , n ? ? 时,原方程无数个解. 4 2
当m ? 【总结升华】解含字母系数的方程时,一般化为最简形式 ax ? b ,再分类讨论进行求解, 注意最后的解不能合并,只能分情况说明. 2.解含绝对值的方程 6. 解方程|x-2|=3. 【答案与解析】 解:当 x-2≥0 时,原方程可化为 x-2=3,得 x=5.

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当 x-2<0 时,原方程可化为-(x-2)=3,得 x=-1. 所以 x=5 和 x=-1 都是方程|x-2|=3 的解. 【总结升华】如图所示,可以看出点-1 与 5 到点 2 的距离均为 3,所以|x-2|=3 的意义为 在数轴上到点 2 的距离等于 3 的点对应的数,即方程|x-2|=3 的解为 x=-1 和 x=5.

举一反三: 【变式 1】 若关于 x 的方程 2x ? 3 ? m ? 0 无解,3x ? 4 ? n ? 0 只有一个解,4x ? 5 ? k ? 0 有两个解, 则 m, n, k 的大小关系为: A. m ? n ? k 【答案】A 【变式 2】 x ? 9 是方程 若 的解是 . 【答案】1; 9 或 3. ( ) C. k ? m ? n D. m ? k ? n

B. n ? k ? m

1 1 则 又若当 n ? 1 时, 则方程 x ? 2 ? n x ? 2 ? m 的解, m ? __ ; 3 3

类型四、一元一次方程的应用
7.李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行 30 千米,那么比火车开车时间早 到 15 分钟;若每小时行 18 千米,则比火车开车时间迟到 15 分钟,现在李伟打算在火车开 车前 10 分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应是多少? 【思路点拨】本题中的两个不变量为:火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变. 【答案与解析】 解:设李伟从家到火车站的路程为 y 千米,则有:

y 15 y 15 45 ? ? ? ,解得: y ? 30 60 18 60 2

45 15 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为 2 ? ? 1 (小时). 30 60
李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站时,设李伟骑摩托车的速度为 x 千米/时, 则有:

45 y x? ? 2 ? 27 (千米/时) 10 10 1? 1? 60 60
答:李伟此时骑摩托车的速度应是 27 千米/时. 【总结升华】在解决问题时,当发现某种方法不能解决问题时,应该及时变换思维角度,如 本题直接设未知数较难时, 应迅速变换思维的角度, 合理地设置间接未知数以寻求新的解决 问题的途径和方法.

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8. 黄冈某地“杜鹃节”期间,某公司 70 名职工组团前往参观欣赏,旅游景点规定: ①门票每人 60 元,无优惠;②上山游玩可坐景点观光车,观光车有四座和十一座车,四座 车每辆 60 元,十一座车每人 10 元.公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元时, 问公司租用的四座车和十一座车各多少辆? 【答案与解析】 解:设四座车租 x 辆,十一座车租

7 0? 6 0 ?

7 0? 4 x ? 1 1 ? 11 70 ? 4 x ?6 解得:x=1, 11 60 x?

70 ? 4 x 辆,依题意得: 11 ?1 0 4920

答:公司租用的四座车和十一座车分别是 1 辆和 6 辆。 【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元”中挖掘两 个等量关系构建方程求解。 举一反三: 【变式】某商品进价 2000 元,标价 4000 元,商店要求以利润率不低于 20%的售价打折出 售,售货员最低可以打几折出售此商品? 【答案】 解:设售货员最低可以打 x 折出售此商品,得:

4000 x ? 2000(1 ? 20%)
解得: x ? 0.6 答:售货员最低可以打六折出售此商品.

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