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海南省文昌中学2015届高三下学期5月段考数学试卷(文科)


海南省文昌中学 2015 届高三下学期 5 月段考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题有且只有一个正确答案, 请把正确答案的代号,涂在答题卡上) 1.设全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩?UN=﹛2,4﹜,则 N=() A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4}

2.已知 a、b 分别为直线 y=x+1 的斜率与纵截距,复数 z= 应的点到原点的距离为() A.1 B. 2
*

在复平面上对

C. 4

D.

3.已知点 An(n,an) (n∈N )都在函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象上,则 a2+a10 与 2a6 的大小关系为() A.a2+a10>2a6 B. a2+a10<2a6 C. a2+a10=2a6 D.a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关 4.下列命题正确的是() A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为() (锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

A.3

B. 2

C.

D.1

7. 已知双曲线 C: 则△ PF1F2 的面积等于()

=1 的左右焦点分别为 F1, F2, P 为 C 的右支上一点, 且|PF2|=|F1F2|,

A.24

B.36

C.48

D.96 )的部分图象如图所示,如果 x1、

8.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|< x2∈

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)等于()

A.

B.

C.
2

D.1

9.设 p 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的方程 x +px+1=0 有实数根的概率为() A. B. C. D.

10.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为() A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 11.已知 a 为常数,若曲线 y=ax +3x﹣lnx 存在与直线 x+y﹣1=0 垂直的切线,则实数 a 的取 值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[﹣1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]
2

12.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an 使得 最小值为()

,则



A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在答卷上) 13.图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…, A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输 出的结果是.

14.已知向量 = 为 .

, =(x,1) ,其中 x>0,若( ﹣2 )∥(2 + ) ,则 x 的值

15.设函数 方程 f(x)=x 的解的个数为.

若 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,则关于 x 的

16.已知等比数列{an}满足 an+1+an=9?2 ,n∈N ,设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若不等式 Sn * >kan﹣2 对一切 n∈N 恒成立,则实数 k 的取值范围是.

n﹣1

*

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中, (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. 18.某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名.为研究 工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先 统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周 ,tan(A+B)=7, .

岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) , [80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周岁以 下的工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出 2×2 列联表, 并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公示 P(K ≥k) k K=
2 2

0.100 2.706

0.050 3.841 .

0.010 6.635

0.001 10.828

19.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=90°,P、Q 分别为 DE、 AB 的中点. (1)求证:PQ∥平面 ACD; (2)求几何体 B﹣ADE 的体积.

20.已知椭圆

的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且经过点

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,问在椭圆 C 上是否存在一点 M,使四边形 AMBF2 为平行四边形,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

21.设函数 f(x)=

﹣lnx,其中 a=1 为大于零的常数.

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)当 x∈[1,2]时,不等式 f(x)>2 恒成立,求 a 的取值范围.

选修 4-1:几何证明选讲(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD 于点 E,DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=4,AE=2,求 CD.

选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,曲线 C2 的参数方程是 <π) ,射线 θ=φ,θ=φ+ (1)求证:|OB|+|OC|= (2)当 φ= ,θ=φ﹣ |OA|; (t 为参数,0≤α

(与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A,B,C.

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x+a| (1)a=﹣3 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

海南省文昌中学 2015 届高三下学期 5 月段考数学试卷 (文 科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题有且只有一个正确答案, 请把正确答案的代号,涂在答题卡上) 1.设全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩?UN=﹛2,4﹜,则 N=() A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 利用集合间的关系,画出两个集合的韦恩图,结合韦恩图求出集合 N. 解答: 解:∵全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜, ∴集合 M,N 对应的韦恩图为 所以 N={1,3,5} 故选 B

点评: 本题考查在研究集合间的关系时,韦恩图是常借用的工具.考查数形结合的数学思 想方法.

2.已知 a、b 分别为直线 y=x+1 的斜率与纵截距,复数 z= 应的点到原点的距离为() A.1 B. 2

在复平面上对

C. 4

D.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 通过直线 y=x+1 可知 a=b=1,进而化简可知 z=﹣2i,即得结论. 解答: 解:∵a、b 分别为直线 y=x+1 的斜率与纵截距, ∴a=b=1, ∴z= = = = =﹣2i,

∴复数 z=

在复平面上对应的点为(0,﹣2) ,

∴所求距离为 2, 故选:B. 点评: 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,注意解题方法的积累,属于中档题. 3.已知点 An(n,an) (n∈N )都在函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象上,则 a2+a10 与 2a6 的大小关系为() A.a2+a10>2a6 B. a2+a10<2a6 C. a2+a10=2a6 D.a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关 考点: 对数函数的图像与性质.
*

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知结合对数的运算性质,可得 a2+a10=loga20,2a6=loga36,再由对数函数的图象 和性质,可判断其大小. * 解答: 解:∵点 An(n,an) (n∈N )都在函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象上, ∴an=logan, ∴a2+a10=loga2+loga10=loga20, 2a6=2loga6=loga36, 当 0<a<1 时,loga36<loga20,即 a2+a10>2a6, 当 a>1 时,loga36>loga20,即 a2+a10<2a6, 故 a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,对数函数的图象和性质,难度不大,属于基 础题. 4.下列命题正确的是() A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用直线与平面所成的角的定义, 可排除 A; 利用面面平行的位置关系与点到平面的 距离关系可排除 B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确;利用面面垂直的性 质可排除 D. 解答: 解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面, 故 A 错误; B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故 B 错误; C、设平面 α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面 α 内存在直线 b∥l,在平面 β 内存在直线 c∥l,所以由平行公理知 b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明 b∥β,进而 由线面平行的性质定理证明得 b∥a,从而 l∥a,故 C 正确; D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除 D. 故选 C. 点评: 本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系,线面平行的判定和性质,面面垂 直的性质和判定,空间想象能力,属基础题. 5.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质. 计算题;等差数列与等比数列. 利用{an}是等比数列,结合充要条件的判断方法,即可得出结论. 解:∵{an}是等比数列,

∴由“a1<a2<a4”可得,公比可为负数,数列{an}可以是递增数列,故充分性不成立. 若数列{an}是递增数列,则一定有 a1<a2<a4,故必要性成立. 综上,“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题考查充分条件、必要条件的定义,递增数列的定义,判断充分性是解题的难点, 属于中档题. 6.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为() (锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

A.3

B. 2

C.

D.1

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直,判断三棱锥的高 与底面三角形的形状及边长,把数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三棱锥的俯视图与侧视图知:三棱锥的一个侧面与底面垂直,高为 , 底面为等边三角形,边长为 2, ∴三棱锥的体积 V= × ×2× 故选:D. × =1.

点评: 本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积,判断三棱锥的结构特征及相关几何 量的数据是解题的关键.

7. 已知双曲线 C: 则△ PF1F2 的面积等于()

=1 的左右焦点分别为 F1, F2, P 为 C 的右支上一点, 且|PF2|=|F1F2|,

A.24

B.36

C.48

D.96

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据双曲线方程求出焦点坐标,再利用双曲线的额性质求得||PF1|,作 PF1 边上的 高 AF2 则可知 AF1 的长度,进而利用勾股定理求得 AF2,则△ PF1F2 的面积可得. 解答: 解:∵双曲线 ∴F1(﹣5,0) ,F2(5,0) ∵|PF2|=|F1F2|, ∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16 作 PF1 边上的高 AF2,则 AF1=8, ∴ ∴△PF1F2 的面积为 故选 C. 中 a=3,b=4,c=5,

点评: 此题重点考查双曲线的第一定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题;由题意 准确画出图象,利用数形结合,注意到三角形的特殊性. 8.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|< x2∈

)的部分图象如图所示,如果 x1、

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)等于()

A.

B.

C.

D.1

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相, 得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 解答: 解:由图观察可知,T=2×( ∴ω= =2, ,0) , + )=π,

∵函数的图象经过(﹣ ∴可得:0=sin(﹣ ∵|φ|< , ,

+φ) ,

∴可解得:φ=

∴f(x)=sin(2x+ ∴f(x1+x2)=sin

) ,x1+x2=2× = .

=



故选:C. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,函数的对称性,考查计算 能力,属于中档题. 9.设 p 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的方程 x +px+1=0 有实数根的概率为() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知方程的判别式大于等于零求出 p 的范围,再判断出所求的事件符合几何概 型,再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率. 解答: 解:若方程 x +px+1=0 有实根,则△ =p ﹣4≥0, 解得,p≥2 或 p≤﹣2; 2 ∵记事件 A:“P 在[0,5]上随机地取值,关于 x 的方程 x +px+1=0 有实数根”, 2 由方程 x +px+1=0 有实根符合几何概型, ∴P(A)= = .
2 2

故选 C. 点评: 本题考查了求几何概型下的随机事件的概率,即求出所有实验结果构成区域的长度 和所求事件构成区域的长度,再求比值.

10.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为() A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题. 分析: 设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,种植总利润为 z 万元,然后根据题意 建立关于 x 与 y 的约束条件, 得到目标函数, 利用线性规划的知识求出最值时的 x 和 y 的值即 可. 解答: 解:设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,种植总利润为 z 万元.

由题意可知

一年的种植总利润为 z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y 作出约束条件如下图阴影部分, 平移直线 x+0.9y=0,当过点 A(30,20)时,一年的种植总利润为 z 取最大值. 故选 B.

点评: 本题主要考查了线性规划,解题的关键是得到约束条件和目标函数,同时考查了作 图的能力,属于基础题. 11.已知 a 为常数,若曲线 y=ax +3x﹣lnx 存在与直线 x+y﹣1=0 垂直的切线,则实数 a 的取 值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[﹣1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 2 分析: 根据题意,曲线 y=ax +3x﹣lnx 存在与直线 x+y﹣1=0 垂直的切线,转化为 f′(x)=1 有正根,分离参数,求最值,即可得到结论.

解答: 解:令 y=f(x)=ax +3x﹣lnx, 由题意,x+y﹣1=0 斜率是﹣1,则与直线 x+y﹣1=0 垂直的切线的斜率是 1, ∴f′(x)=1 有解 ∵函数的定义域为{x|x>0}, ∴f′(x)=1 有正根, 2 ∵f(x)=ax +3x﹣lnx, ∴f′(x)=2ax+3﹣ =1 有正根 ∴2ax +2x﹣1=0 有正根 ∴2a= ﹣ =( ﹣1) ﹣1
2 2

2

∴2a≥﹣1, ∴a≥﹣ . 故选 A. 点评: 本题考查导数知识的运用:求切线的斜率,考查两直线垂直的条件,属于中档题.

12.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an 使得 最小值为() A. B. C. D.

,则



考点: 等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 根据 a7=a6+2a5,求出公比的值,利用存在两项 am,an 使得 n 之间的关系,结合基本不等式得到最小值. 解答: 解:设等比数列的公比为 q(q>0) ,则 ∵a7=a6+2a5, 2 ∴a5q =a5q+2a5, 2 ∴q ﹣q﹣2=0, ∴q=2, ∵存在两项 am,an 使得 ∴aman=16a1 , m+n﹣2 ∴q =16, ∴m+n=6 ∴ = (m+n) ( = , )= (10+ ;m=2,n=4 时, ) = .
2

,写出 m,



m=1,n=5 时, ∴ 的最小值为

故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项和基本不等式,实际上应用基本不等式是本题的重点和难 点,关键注意当两个数字的和是定值,要求两个变量的倒数之和的最小值时,要乘以两个数字 之和. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在答卷上) 13.图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…, A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输 出的结果是 10.

考点: 茎叶图;循环结构. 专题: 阅读型. 分析: 根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数,结合茎叶图 可得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数; 根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个 故答案为:10 点评: 本题主要考查了循环结构,以及茎叶图的认识,解题的关键是弄清算法流程图的含 义,属于基础题.

14.已知向量 = 为 4.

, =(x,1) ,其中 x>0,若( ﹣2 )∥(2 + ) ,则 x 的值

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的坐标运算求出 条件列出方程求出 x. 与 的坐标;利用向量共线的坐标形式的充要

解答: 解: 由已知 (8﹣2x) (x+1)=(

=(8﹣2x, x﹣2) , , ) (16+x)

=(16+x,x+1) ,

解得 x=4(x>0) . 故答案为:4 点评: 本题考查向量的坐标运算公式、向量共线的坐标形式的充要条件.

15.设函数 方程 f(x)=x 的解的个数为 3.

若 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,则关于 x 的

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 利用条件先求当 x≤0 时的函数解析式,再求 x≤0 时 f(x)=x 的解的个数;最后求当 x>0 时方程 f(x)=x 的解为 2.从而得关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3. 2 解答: 解:当 x≤0 时 f(x)=x +bx+c, 因为 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,

所以
2

,得:b=4,c=2,

所以当 x≤0 时 f(x)=x +4x+2, 2 方程 f(x)=x,即 x +3x+2=0,解得两根为:﹣1,﹣2. 当 x>0 时方程 f(x)=x,即 x=2. 则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查分段函数对应方程根的问题,需分段求解,用到了一元二次方程的解法. 16.已知等比数列{an}满足 an+1+an=9?2
* n﹣1

,n∈N ,设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若不等式 Sn

*

>kan﹣2 对一切 n∈N 恒成立,则实数 k 的取值范围是(﹣∞, ) .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列{an}满足 an+1+an=9?2 确定数列的公比与首项、求出 an、Sn,再利用 不等式 Sn>kan﹣2,分离参数、求最值,进而即可求实数 k 的取值范围. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, n﹣1 * ∵an+1+an=9?2 ,n∈N , ∴当 n=1 时,有:a2+a1=9, 当 n=2 时,有:a3+a2=18,
n﹣1

∴q=

=

=2,

又∵a2+a1=2a1+a1=9, ∴a1=3, ∴an=3?2
n﹣1

,Sn=

=3?2 ﹣3,
*

n

∵不等式 Sn>kan﹣2 对一切 n∈N 恒成立, n n﹣1 即 3?2 ﹣3>3k?2 ﹣2, ∴k<2﹣ ≤2﹣ = ,

∴k∈(﹣∞, ) , 故答案为: (﹣∞, ) . 点评: 本题考查数列递推式,考查等比数列的通项与求和,考查恒成立问题,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中, (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用三角形的内角和,求解 tanC,通过同角三角函数的基本关系式,求解 sinC 的值; (Ⅱ)利用 A 求解 sinB,通过正弦定理求解 c,然后求解△ ABC 的面积. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (I)在△ ABC 中,因为 A+B+C=π… 所以 tanC=tan[π﹣(A+B)]=﹣tan(A+B)… 因为 tan(A+B)=7,所以 tanC=﹣7… ,tan(A+B)=7, .



解得 因为 C∈(0,π) , 所以 …



(II)因为 解得 …

,所以

因为 C∈(0,π) ,所以 由正弦定理 所以

… ,代入得到 c=7… = …

点评: 本题考查三角形的内角和,同角三角函数的基本关系式的应用,正弦定理的应用, 考查计算能力. 18.某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名.为研究 工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先 统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周 岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) , [80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周岁以 下的工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出 2×2 列联表, 并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公示 2 P(K ≥k) k K=
2

0.100 2.706

0.050 3.841 .

0.010 6.635

0.001 10.828

考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数,再由所对应的 频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上、 下组工人的人数分别为 3, 2,由古典概型的概率公式可得答案;

(2)由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数,以及“25 周岁以下组”中的 生产能手的人数,据此可得 2×2 列联表,可得 k ≈1.79,由 1.79<2.706,可得结论. 解答: 解: (1)由已知可得,样本中有 25 周岁以上组工人 100× 25 周岁以下组工人 100× =40 名, =60 名,
2

所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人) , 25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人) , 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共 故所求的概率为: ; =10 种, =7 种,

(2)由频率分布直方图可知:在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人) ,据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以可得 K =
2

≈1.79,

因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 点评: 本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中档题. 19.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=90°,P、Q 分别为 DE、 AB 的中点. (1)求证:PQ∥平面 ACD; (2)求几何体 B﹣ADE 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题.

分析: (1) 由 OQ 是△ ABC 的中位线, 可得 OQ∥AC, OQ∥面 ACD; 由 OP 是梯形 BCDE 的中位线,得 OP∥CD,OP∥面 ACD,由面 OPQ∥面 ACD,得到 PQ∥平面 ACD. (2)D、C 两点到 面 ABE 的距离相等,故 VB﹣ADE=VD﹣ABE=VC﹣ABE,故求出 VC﹣ABE 即为 所求. 解答: 解: (1)证明:取 BC 的中点 O,∵P、Q 分别为 DE、AB 的中点,则 OQ 是△ ABC 的中位线, ∴OQ∥AC,OQ∥面 ACD. ∵EB∥DC,∴OP 是梯形 BCDE 的中位线,∴OP∥CD,OP∥面 ACD. 这样, 面 POQ 中, 由两条相交直线 OQ、 OP 都和面 ACD 平行, ∴面 OPQ∥面 ACD, ∴PQ∥ 平面 ACD. (2)由 EB∥DC 可得 DC∥面 ABE,故 D、C 两点到 面 ABE 的距离相等, ∴B﹣ADE 的体积 VB﹣ADE=VD﹣ABE=VC﹣ABE. C 到 AB 的距离等于 VC﹣ABE= ( ?AB?BE)? = .故几何体 B﹣ADE 的体积为 . = = .

点评: 本题考证明查线面平行的方法, 求三棱锥的体积, 把求 B﹣ADE 的体积转化为求 VC ﹣ABE 是解题的难点.

20.已知椭圆

的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且经过点

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,问在椭圆 C 上是否存在一点 M,使四边形 AMBF2 为平行四边形,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由椭圆 的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且经

过点

.可得

,解得即可;

(II)假设存在符合条件的点 M(x0,y0) ,设直线 l 的方程为 x=my﹣1,与椭圆的方程联立得 到根与系数关系,利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点 M 的坐标,代入椭圆方程 若有解即可.

解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆

的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

且经过点





,解得



∴椭圆 C 的方程为



(Ⅱ)假设存在符合条件的点 M(x0,y0) , 设直线 l 的方程为 x=my﹣1, 由
2 2

得: (3m +4)y ﹣6my﹣9=0,

2

2

△ =36m +36(3m +4)>0, ∴ ∴AB 的中点为 , ,

∵四边形 AMBF2 为平行四边形,∴AB 与 MF2 的中点重合,即:




4 2

把点 M 坐标代入椭圆 C 的方程得:27m ﹣24m ﹣80=0 解得 , .

∴存在符合条件的直线 l 的方程为:

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数的关系、平行四边形的性质、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,属于难题.

21.设函数 f(x)=

﹣lnx,其中 a=1 为大于零的常数.

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)当 x∈[1,2]时,不等式 f(x)>2 恒成立,求 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)将 a=1 代入函数 f(x)的解析式,求出函数的导数,从而求出函数的单调区间; (2)先求出函数的导数,问题转化为求函数 f(x)在[1,2]上的最小值 f(x)min>2,通过 讨论 a 的范围,得到函数的单调区间,得到关于函数最小值的解析式,求出 a 的值即可. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f′(x)=x﹣ = ,

令 f′(x)>0,得,x>1,令 f′(x)<0,得 0<x<1, 故函数,f(x)的单调递增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) , 从而 f(x)在(0,+∞)的极小值为 f(1)= ,f(x)无极大值.

(2)f′(x)= x﹣ =

(x>0) ,

f(x)在[1,2]上恒成立?f(x)在[1,2]上的最小值 f(x)min>2, ∵a>0,∴令 f′(x)=0,解得:x= ; ①当 0< ≤1,即 0<a≤1 时,函数 f(x)在[1,2]上递增, f(x)的最小值是 f(1)= ②当 >2,解得:0<a< ,



. ③当 1<

<2,即 1<a<4 时,函数 f(x)在[1, )= ﹣ lna>2,无解;

]递减,在[

,2]递增,

所以 f(x)的最小值是 f(

综上,所求 a 的取值范围为(0, ) . 点评: 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道中 档题. 选修 4-1:几何证明选讲(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD 于点 E,DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=4,AE=2,求 CD.

考点: 与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (1)连接 OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,证明 OA∥CE,利 用 AE⊥CE,可得 AE⊥OA,即 AE 是⊙O 的切线; (2)由(1)可得△ ADE∽△BDA,求出∠ABD=30°,从而∠DAE=30°,可得 DE=AEtan30°, 利用切割线定理,可得结论. 解答: (1)证明:连结 OA,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA, 又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以 OA∥CE. 因为 AE⊥CE,所以 OA⊥AE. 所以 AE 是⊙O 的切线.… (2)解:由(1)可得△ ADE∽△BDA, 所以 = ,即 = ,则 BD=2AD,

所以∠ABD=30°,从而∠DAE=30°, 所以 DE=AEtan30°=
2



由切割线定理,得 AE =ED?EC, 所以 4= ( +CD) ,所以 CD= .…

点评: 本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,及线段长度的求法,要求学生掌握常 见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题. 选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,曲线 C2 的参数方程是 <π) ,射线 θ=φ,θ=φ+ (1)求证:|OB|+|OC|= (2)当 φ= ,θ=φ﹣ |OA|; (t 为参数,0≤α

(与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A,B,C.

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)由题意可得:|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+ 差公式展开可得|OB|+|OC|= ×4cosφ,即可证明. ) ,|OC|=4cos(φ ) ,利用和

(2)当 φ= C 即可得出.

时,B

,C

.化为直角坐标 B



.可得直线 BC 的方程,又曲线 C2 是经过点(m,0) ,且倾斜角为 α 的直线, ) ,|OC|=4cos(φ |OA|. ) ,

解答: (1)证明:由题意可得:|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+ ∴|OB|+|OC|=4cos(φ+ ∴|OB|+|OC|= (2)解:当 φ= C |OA|. 时,B . = (x﹣1) ,化为 y=﹣ ,C )+4cos(φ )=8cosφ× =

×4cosφ=

.化为直角坐标 B



∴直线 BC 的方程为:



曲线 C2 是经过点(m,0) ,且倾斜角为 α 的直线, ∴m=2,tanα=﹣ ∴m=2, . ,解得 .

点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、和差公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x+a| (1)a=﹣3 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)a=﹣3 时,由 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≤6,通过对 x 取值范围的讨论,去掉原不等 式中的绝对值符号,解相应的一次不等式,最后取其并即可; (2)利用绝对值不等式的几何意义,可得|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1﹣(2x+a)|=|1﹣a|,从而可求得 实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵a=﹣3 时,f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≤6, ∴ 或 或



解得 <x≤2 或﹣ ≤x≤ 或﹣1≤x<﹣ , 即原不等式的解集为:{x|﹣1≤x≤2}… (2)∵|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1﹣(2x+a)|=|1﹣a|,





点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查通过分类讨论去掉原不等式中绝对值符号的应 用,考查恒成立问题与运算求解能力,属于中档题.


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