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步行荷载作用下单跨人行桥振动的均方根加速度反应谱法


第 43 卷第 9 期 2 0 1 0 年 9月

土  木  工  程  学  报
C HI N ACI V I LE N GI NE E RI N GJ OU R NA L

V o l . 43 N o . 9    S e p . 2010

步行荷载作用下单跨人行桥振动的均方根加速度反应谱法

>聂建国
1, 2

  陈  宇

1, 2

  樊健生

1, 2

( 1. 清华大学土木工程系 , 北京 100084; 2. 清华大 学土木工程安全与耐久教育部重点实验室 , 北京 100084) 摘要 : 基于标准步行荷载模型 , 使用人 行桥多点加 载的计 算模型 , 对 单跨简 支和固支 人行桥 在不同 跨度 、人行桥 基 频 、线密度 、阻尼比和行人步频等参数 情况下的动力反应进行大量的 计算 。 通过参 数分析 , 拟合得到 单个行人 通过 人行桥时产生的均方根加速度反应谱 包络线公式 , 并与数值计算 结果 、部分学者 和规范的推 荐估算结果 进行比较 。 探讨使用均方根加速度反应 谱包络线公式求解边界条件不明确时人行桥动力反应的简化计算方法 。 关键词 :人行桥 ; 标准步行荷载模型 ; 均方根加速度反应谱 ;边界条件 中图分类号 :U 448. 11 U441 +. 3  文献 标识码 :A 文章编号 :1000-131X ( 2010) 09-010908

R MSa c c e l e r a t i o nr e s p o n s e s p e c t r u mm e t h o df o r s i n g l e s p a n f o o t b r i d g e s u n d e r p e d e s t r i a nl o a d
N i e J i a n g u o  C h e nY u  F a nJ i a n s h e n g
1, 2 1, 2 1, 2

( 1.D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , T s i n g h u a U n i v e r s i t y , B e i j i n g 100084, C h i n a ;2.K e y L a b o r a t o r y o f C i v i l E n g i n e e r i n gS a f e t ya n dD u r a b i l i t y o f M i n i s t r y o f E d u c a t i o n , T s i n g h u a U n i v e r s i t y , B e i j i n g 100084, C h i n a ) A b s t r a c t :B a s e do n as t a n d a r dp e d e s t r i a nw a l k i n gl o a dm o d e l a n da na l g o r i t h mf o r c a l c u l a t i o no f m u l t i p o i n t l o a d s , a l a r g en u m b e r o f n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a r ec o n d u c t e df o r s i n g l e s p a nf o o t b r i d g e s o f d i f f e r e n t s p a nl e n g t h s , f r e q u e n c i e s , l i n e d e n s i t i e s , d a m p i n g r a t i o s a n d s t e p f r e q u e n c i e s , t o o b t a i nt h e R M Sa c c e l e r a t i o nr e s p o n s e s p e c t r u m s . A c c o r d i n g t o t h e r e s u l t s o f p a r a m e t r i c a n a l y s i s , f o r m u l a s a r e p r o p o s e d t o p r e d i c t t h e R M Sa c c e l e r a t i o nr e s p o n s e o f s i n g l e s p a n f o o t b r i d g e s , a n dt h ea c c u r a c y i s v e r i f i e db y c o m p a r i n g w i t h b o t hn u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t s a n ds u g g e s t i o n s f r o mo t h e r r e s e a r c h e r s . F u r t h e r m o r e , a s i m p l i f i e dm e t h o d i s p r o p o s e dt o p r e d i c t t h er e s p o n s eo f s i n g l e s p a nf o o t b r i d g e s w i t hu n c e r t a i nb o u n d a r y c o n d i t i o n s b y u s i n gR M S a c c e l e r a t i o nr e s p o n s e s p e c t r u m s . K e y w o r d s : f o o t b r i d g e ; s t a n d a r dp e d e s t r i a nw a l k i n g l o a d m o d e l ; R M Sa c c e l e r a t i o n r e s p o n s e s p e c t r u m ;b o u n d a r y c o n d i t i o n E ma i l :n i e j g @m a i l . t s i n g h u a . e d u . c n 依据动力学基本原理 , 人行桥在步行荷载下的反应受

引   言
人行桥作为立体交通方式之一 , 在我国城市建设 中得到了广泛应用 。 随着设计跨度 , 桥下净空和美观 等要求的 提高 , 人行桥越 来越多地 采用高强 轻质材 [ 12] 料 , 截面和桥型也向轻 巧和纤细方向发 展 。 但与 此同时 , 人行桥对行人 、 车辆等激励因素越来越敏感 , 由此引发的过量振动将造成桥上行人的恐慌 , 并引发 社会关注 。 为了避免人行桥在行人荷载 下产生过量 振动 , 我国 《城市人行天桥与人行地道技术规范 》规定 应控制天桥上部结构竖向自振频率不小于 3H z 。但
基金项目 : 北京市自然科学基金 ( 8052013) 、长江学 者和创新团队 发展 计划 ( I R T 00736) 作者简介 : 聂建国 , 博士 , 教授 收稿日期 :20070611
[ 3]

激励条 件 、结 构 的 刚 度 、质 量 、 阻 尼 等 多 种 因 素 控 制 求
[ 4] [ 1]

。 规范仅从自振 频率一个方面对结构提出 了要 , 无法保证设计的合理性与有效性 。 行人的连续步行荷载可以使用傅立叶级数近似 :
+ ∞

F ( t ) =G+∑ G c s i n ( 2πi f t + i) s i s
i = 1

( 1)

式中 : G 为行人重量 ; c 阶谐振的动载因子 ;f i为第 i s 为步行荷载的基本频率 ; i为相位角 。 文献 [ 5] 基于 Y o u n g 提出的前四阶动载因子的计 算公式 , 逆 向构 建了适用于人行桥动力反应计算的标准步行荷 载模 型( 除以行人重量 G 后的单位化结果 ) 。 本文采用标 准步 行荷载模 型作为激 励条件 , 计算人 行桥动力 反 应 。 标准步行荷载模型的计算公式如下 : F t )= ∑ A i n πn ∈ [ 0, T ] e( ns t  t e n =1 T e
5 [ 6]

( 2)

· 110·  

土  木  工  程  学  报

2010 年

式中 : T 0. 76f e为单步落足荷载周期 , T e = 1 /( s), 正 常行 走 状 态 下 , 步 行 荷 载 频 率 范 围 f 6, s ∈ [ 1. 2. 4] H z ; A n为仅与步频 f s有关的系数 : A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = -0. 0698f 211  1. 6H z ≤f 32H z s +1. s ≤ 2. -0. 1784f 463  2. 32 H z<f 4H z s +1. s ≤ 2. 0. 1052 f 0. 1284  1. 6H z ≤f 32 H z ss ≤ 2. -0. 4716f 210  2. 32 H z<f 4H z s +1. s ≤ 2. 0. 3002f 0. 1534 1. 6H z ≤f . 32H z ss≤ 2 0. 0118f 0. 5703 2. 32H z<f 4H z s+ s ≤ 2. ( 3)

般多跨人行桥的动力反应 ; ④我国学者普遍高估了人 行桥的阻尼比取值 ( 取 ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07] ) , 该值与人 行桥在正常使用状态下的阻尼比有较大差异 。 针对上述问 题 , 本文 作了以下改进 : ①选用 具有 普遍性的标准步行荷载模型 , 该模型基于 Y o u n g 对千 余组实测步行荷载的动载因子统计结果 ; ②采用宋志 刚、 钱晓斌推荐的多点加载模型模拟步行荷载的行走 过程 ; ③使 用简支人 行桥前三 阶模态计 算其动力 反 应 , 从而全面考察步行荷载各阶谐振分量引起人行桥 第一 、 二、 三阶共振的情况 ; ④人行桥模态阻尼比的计 算范围 ζ ∈ [ 0. 004, 0. 07] 。 此外 , 本文细致的参数分 析使拟合公式反映了各参数间的耦合关系 , 计算结果 也比较准确 。
[ 12]

0. 0416 f 0. 0288  1. 6H z ≤f 32 H z ss ≤ 2. -0. 2600f 6711  2. 32H z<f 4H z s +0. s≤ 2. -0. 0275f 0608  1. 6H z ≤f 32H z s +0. s ≤ 2.

0. 0906 f 0. 2132  2. 32H z<f 4H z ss ≤ 2. 根据步行荷载激励和人行桥设计参数 , 预测人行

1 多点激励下人行桥结构的基本运动方程
基于分布参数法 , 得到等截面人行桥在步行荷载 激励下的运动微分方程 ( 假设人行桥截面等刚度且质 量分布均匀 ) : 4 4 2 w w E I 4 +C I 4 w +C w +m 2 =p ( t ) ( 6) s x x t t t 规定行人在 t=0 时刻从人行桥一端 x= 0 的位 置开始行走 , 每步长 Δl , 人行桥总长为 L=N Δ l , j 为 行人此刻所行走的步数 , N ,j 为正整数 。 此时步行荷 载 p ( t ) 可以表达为与作用点有关的函数 :
N+ 1

桥可能发生的动力反应 , 并对动力反应进行评估是目 前最有效 , 也是应用最广的预防人行桥过量振动的方 [ 7] 法 。 国外 对该 领 域的 研究 开展 较 早 , B l a n c h a r d 在 1977 年提出了比较经典的方法 。 该方法将步行荷载 简化为速度 V=0. 9f 的正弦荷载 , 荷载峰值取行走重 s 量乘以第一阶动载因子 0. 257。 B l a n c h a r d 认为正常状 态下的步行荷载只能引起人行桥的基频共振 , 取人行 桥第一阶模态分析其动力反应 可以得到足够精确的 结果 。 通过数值模拟 , B l a n c h a r d 提出人行桥最大动力 反应的估算公式 : a=ω K ψ 1y s
2

( 4)

式中 : y 为单个行人引起人行桥的静位移 ;K 为对不 s 同跨数的修正 ; ψ 为考虑不同跨度 , 不同阻尼比的修 [ 8] 正系数 。 1993 年 , A l l e n 提出可以先将步行荷载简化 到人行桥 跨中 , 再对人行 桥动力反 应进行修 正的方 [ 9] 法 , 修正系 数取 0. 7 。 2002 年 , G r u n d m a n 考 虑人行 桥在人行荷载作用下的瞬态和稳态两种反应 , 提出人 行桥动力反应的计算公式 : 0. 4G π n δ a=0. 6 ( 1 -e ) ( 5) M δ 式中 : 0. 4为第一阶动载因子 ; δ 为对数衰减率 ; n 为行 人通过人 行 桥 的 步数 ; 0. 6 为 对 荷 载 位置 的 修 正 。 2003 年到 2005 年 , 金伟良 、宋志刚 和钱晓斌 等 学者对单跨到四跨人行桥进行了比较系统的研究 , 并 通过大量数值计算和参数分析 提出了人行桥动力反 应系列估算公式 。 上述研究工作还存在一些不足 : ①各学者选用的 步行荷载模型并不具有普遍性 , 动载因子取值无法反 映普遍性 ; ② 使用修正跨中加载的方法时 , 系数 0. 6和 0. 7 都不能反映真实情况 ; ③部分学者在计算中仅取 人行桥第一阶模态 , 将可能低估低频简支人行桥或一
[ 10] [ 11]

p ( t ) =∑ δ [ x-( j -1) Δl ]F -( j -1) t ] e[ t s
j =1

( 7)

使用振型分解法 , 将式 ( 6) 两边同乘以第 m阶振 型函数
m

( x ) 后沿桥长度方向积分 。 根据各阶振型
[ 4]

对于任意质量和刚度分布都具有正交性的结论

,多

点激励下人行桥的运动方程可以解耦为各模态 振动 的叠加 。 解耦的各阶模态的运动方程 :
· ·

q t )+2ζ ﹒ m( t )+ω t )= m( mω mq mq m(
N+ 1 m

2

G ∑ M mj = 1

[( j -1) Δl ]F [t -( j -1 ) t ] e s

( 8)

式中 : ω 阶圆频率 、 模态 m 、M m 、ζ m分别为人行桥第 m 质量和阻尼比 ; G 为按照宋志刚建议的我国人口平均 重量 , 取 G = 686N ; Δl 为行人的标准步长 , 根据 K e r r 和 B i s h o p 的研究结果 , 当 f 6, 2. 4] H z 时 , ΔL s ∈ [ 1. =0 . 45H 的关系近似成立 。 宋志刚根据人口普查的结 果建议取 ΔL=0. 45H = 0. 75m。 将 G /M m作为系数提取出来 , 人行桥的动力反应 可以利用下式得到 :
··
[ 13]

Y t )+2 ζ ﹒ m( t )+ω t )= m( mω mY mq m(
m

2

N + 1 j =1



[( j -1 ) Δ l ]F [t -( j -1) t ] e s

( 9)

 第 43 卷  第 9 期

聂建国等 · 步行荷载作用下单跨人行桥振动的均方根加速度反应谱法

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首先由式 ( 9) 计算各阶振型的广义坐标 Y t ) 和 m(
··

于可以非常方便的计算特定人行桥在正常范围 的步 行荷载作用下产生的最大动力反应 , 再根据该最大动 力反应结果进行人行桥设计或验证 。

Y t ), 再将各阶振型坐标与振型向量组合得到结构 m( w ( x , t )= ∑ GY t ) m( x ) m( m= 1 M m
∞ ∞

的动力反应 :

3 各阶模态贡献与动力反应控制点的研究
( 10 )
L

a ( x ,t )= ∑
m=1

· G· Y t ) m( x ) m( M m

简支人行 桥 的各 阶 模态 质量 相 同 , 且 有 M m = m0 s i n( m πx /l ) d x= 0. 5m L 。 将标准步 行荷载模型 ( 2) 和简支人行桥振型函数
m

2 均方根加速度反应谱方法
各国规范普遍认为行 人对振动的不 舒适感主要 受加速度控制 。 对加速度的计算方法主 要可分为最 大加速度法 ( a 、 均方根加速度法 ( a ) 和振动剂量 m a x) r ms 法( a , 目前 应 用最 广 的 是均 方 根 加速 度 法 , 如 V D V) I S O 23611( 1997) 和I S O 10137 ( 1992) 。 使用均方根加 速度方法的优点是它更容易通 过频域分析和数字模 拟得到 。 在普通建筑物中 , 人的振动耐受极限会随暴 露于振动时间的增加而降低 , 体现时间相关 性 ; 人体 对振动的敏感程度 也与他所处的环境息息 相关 。 为 方便使用相关规范对人行桥动振动舒适度进行判别 , 本文亦采用均方根加速度反应 作为人行桥振动的衡 量指标 。 均方根加速度反应的计算如式 ( 11) 所示 : 1 T2 a ( 11 ) r ms = a t ) d t w( T0 定义跨度 L 、 基频 f 线密度 m、阻尼比 ζ 的简支 n、



2

( x ) =s i n ( m πx /l ) 代

入式 ( 9) 中 , 计算简支人行桥各模态的时程反应 , 再根 据式 ( 10) 将各模态动力反应的贡献加总 , 得到整个人 行桥的动力反应 。 以基频 f 5、 2. 0和 4. 0H z 的 3座简支人行桥 n =0. 为例 , 跨度 均 为 L =15m 。 设 各模 态的 阻 尼比 ζ= 0. 03 , 行人步频 f 0H z , 重量 G = 1N , 人行桥模态 s =2. 质量 M 1k g 。 按式 ( 9) 、 式( 10) 使用分段解析法 , 在 m = M a t l a b 中编程计算人行桥各点的加速度时程反应 。 沿 桥长度方向取 20 个等分点作为控制点 , 分析 20 个控 制点加速度时程的包络线与各控制点加速度时 程曲 线和第一阶模态的加速度时程曲 线的关系 。 观 察动 力反应最大值点出现的位置和各模态的贡献 , 结果如 图 1 所示 。 分析表明 : ①对于低频简支人行桥 (f . 4H z ) , n <1 高阶振型对加速度动力反应影响较大 , 均方根加速度 最大值可能出现在 1 /4 桥跨附近 , 需要考察人行桥高 阶阵型的贡献 , 而且要考察桥上不 同点的动力反 应 ; ②对于基频 f 4H z 的简支人行桥 , 一般情况下跨 n ≥ 1. 中点加速度基本代表了全桥加速 度的峰值 。 使 用第 一阶模态跨中点的加速度来估算人行桥动力反应 , 误 差不大 。 根据 T i l l y 的统计成果 , 当梁式人行桥主跨 长度 L ≤ 50m时 , 竖向振动基频一般大于 1. 4H z 。此 外 , 本文动力反应的求解建立在梁式结构振动微分方 程的基础之 上 , 对于自振频率低 、结构柔的人行 桥不 适用 。因此 , 本文的研究范围定于 f 4H z 的简支 n ≥ 1. 人行桥 , 在计算中取前三阶模态 。
[ 14]



0. 5

人行桥 , 在步频为 f s的步行荷载激励下的均方根加速 度反应为 a ( f , L ,ζ )。 当输入激励 f r m s n, f s, m s不变 , 人 行桥基频 f n连续变化时 , 得到对应 人行桥 、在某一步 行荷载激励下的均方根加速度反应谱 。 当步行荷载激励在频率 1. 6 ~ 2. 4H z 范围内变化 时 , 对应该人行桥的均方根加速度反应谱形成一族谱 曲线 。 由于步行荷载激励在 f 6, 2. 4] H z 范围 s =[ 1. 内都可能出现 , 取该步频范围内人行桥可能产生的最 大动力反应作为其动力的代表值 , 即这一族均方根加 速度反应谱曲线的 包络线 。 于是得到对 应该人行桥 的均方根加速度反应谱包络线 a f ,L ,ζ ) , 以下 r m s( n, m 简称 a 反 应谱包络线 。a 反应谱包络线的意义在 r m sr ms-

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图 1 全桥加速度包络曲线与桥上各点加速度关系 F i g . 1 R e l a t i o n s h i pb e t w e e na c c e l e r a t i o ne n v e l o p e s o f t h ee n t i r eb r i d g ea n dv a r i o u s l o c a t i o n s

4 参数分析
人行桥动力反应 受到其自振频率 f 跨度 L 、阻 n、 尼比 ζ 、 线密度 m和行人步频 f s这 5 个独立参数的影 响 。 除了人行桥线密度 m 的影响较简单外 , 其他 4 个 参数的影响可能存 在复杂的耦合关系 。 为了充分讨 论参数之间的耦合关系 , 笔者进行了大量的数值计算 与参数分析工作 。 通过多个参数联合分析的方法 , 探 讨了人行桥均方根加速度反应与 5 个独立参数的关 系 。 参数分析过程中 , 人行桥的动力反应使用均方根 加速度 a 1N ,人 r m s衡量 。 为简化计算取行人重量 G = 行桥模态质量 M g 。 m = 1k 4. 1 人行桥基频 f n和步频 f s的联合分析 计算基频 f ∈ [ 0 . 2 , 10 ] H z 、跨度 L= 150m、 阻 n 尼比 ζ=0. 01 的人行桥 , 在步频 f 6, 2. 4] H z 的 s∈ [ 1. 步行荷载作用下的 a 反 应谱 , 结果如图 2 ( a ) 所示 。 r m s对于普通的梁式人行桥 , 基频范围 f 4, 10] H z , n ∈ [ 1. a 反 应谱包络线如图 2 ( b ) 所示 。 r ms 分析 a 反应谱包络线的特征 , 可见 : r m s( 1)f 4 , 2. 4] H z 时, a n ∈ [ 1. r m s与 f n基本呈线性 关系 。 该现象反映了人行桥共振时 a r ms与动载因子 c i 呈现正比关系 , 这也与 Y o u n g 的推荐公式中动载因子 c 与f 4, 2. 4] H z 范围内 i n呈线性关系吻合 。 对 f n ∈ [ 1. a 反 应谱包络线进行线性拟和 , 得 : r ms a ( f , 0. 01)=9. 230f 8. 139 r ms n, 150 n f 4, 2. 4] H z n ∈ [ 1. ( 12 )
图 2 L=150m, ζ =0. 01 人行桥的均方根加速度反应谱 F i g . 2 R MSa c c e l e r a t i o ns p e c t r u mo f f o o t b r i d g ewi t h L=150m, ζ=0. 01

( 2) f 4, 10] H z 时 , 均方根加 速度 a n ∈ [ 2. r m s在 f 4H z n/f s = 2、3、 4处达到极大值 。 将人行步频 f s =2. 时 a 反应谱上对应人行桥基频 f 4H z , 4. 8H z r m sn = 2. 和 7. 2H z 的三 点加速度响应作 为控制点 , 拟合 f n ∈ ( 2. 4, 10 ] H z 范围内的 a 反 应谱包线方程 , 得 : r ms 5. 141 a ( f 01, 150) = 1. 787 r m s n, 0. 2 + ( f 1. 751) n f 2. 4, 10] H z n∈ ( ( 13) 4. 2  人行桥基频 f 、人行桥跨度 L 和阻尼比 n、步频 f s ζ 的联合分析 对步行荷载频率 f 6H z , 2. 0H z 和 2. 4H z ,人 s = 1. 行桥基频 f n满足前三阶谐振关系 f n/f s =1、 2和 3 , 阻 尼比 ζ=0. 004 ~ 0. 07 , 跨度 L=7. 5 ~ 150m 的工况 进行数值模拟计算 , 总结归纳均方根加速度反应 a r m s 与 L 和 ζ 的关系曲线 。 其中 , a ′ r m s定义为均方根动力 反应参考值 , 取对应基频 f 阻尼比 n时跨度 L=150m、 ζ= 0. 01 的人行桥的均方根加速度反应 : a ′ ( f , 150 , 0. 01) r ms =a r ms n, f s
1

( 14)

( a ′ 和 ζ 的关系曲线如图 r m s/a r m s) 与 f s、 f n/f s、 L 3( a ) ~ 3( c ) 所示 。 在 f n满足前三阶谐振关系的范围 内 , 研究结果表明 : ( 1) 当 f a ′ ) 与 L 和 ζ 的关 n/f s相同时 , ( r m s/a r m s
1

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聂建国等 · 步行荷载作用下单跨人行桥振动的均方根加速度反应谱法

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系随步频 f 变化很小 , 可以用同一族曲线表示 , 如图 3 s ( a ) 、3( b ) 。( a ′ ) 可以表达为 f 和 ζ 三 r m s/a r m s n/f s、 L 者的函数 F ( f ,L ,ζ )。 n /f s ( 2) 当 f a ′ 和 ζ 的关 n/f s不同时 , ( r m s/a r m s) 与 L 系如图 3( c ) 所示 。 当跨度 L ∈ [ 7. 5, 50 ] m 时 , 由频率 比 f 不同引起的 ( a ′ )与 L 和 ζ 关系的差异 n/f s r m s/a r ms 显著 , 不能忽略 。 当跨度 L∈ ( 50, 150] m时 , 由 f n/f s 不同引起的 ( a ′ 和 ζ 关系的差异不大 , r m s/a r m s) 与 L 可以忽略 。 ( 3)( a ′ ) 值随阻尼比 ζ 的增大 , 基本呈 r m s/a r m s 线性增大 ; 同一曲线族中 , 各曲线随 ζ 不同基本呈等距
1 1 1 1 1

图 3 人行桥均方根加速度 反应 a 与 L和 ζ 的关系曲线 r m s F i g . 3 R e l a t i o n s h i pb e t w e e nR MSa c c e l e r a t i o nr e s p o n s eo f f o o t b r i d g e , a n dLa sw e l l a s ζ r m sa

分布 。 该现象是由共振时 a 成正比 , 即 1 /a r m s与 1 /ζ r m s 与 ζ 成正比决定的 。 但当 L ≤ 30m时 , 使用等距分布 的假设将导致较大误差 。 根据参数分析结果 , F ( f ,L ,ζ ) 可以表达为基 n/f s 线 F ( f ,L , 0. 01) 和由阻尼比 ζ 不同引起的曲线族 n/f s 间距之和 , 见式 ( 15) 、 式( 16) 、 式( 17) :

5 简支人行桥均方根 加速度反应 谱公式的 建立
   根据 F ( f , ζ ) 函数的定义 : n/f s, L a ( f , ζ )= r m s n, L a f 01) r m s( n, 150, 0. F ( f , ζ ) n/f s, L ( 18)

将式 ( 12 ) 、式 ( 13 ) 、式 ( 15 )~ 式 ( 17 ) 代入式 ( 18) , 并引入人行桥基频 f ( f ,L , ζ ) 的表达 n统一 F n/f s 式 , 构建基频 f 4, 8] H z 、跨度 L ∈ [ 7. 5, 150] m , n ∈ [ 1. 阻尼比 ζ ∈ [ 0. 004, 0 . 07] 的简支人行桥 a 反应谱 r m s包络线公式 (f 4, 2. 4] H z 范围内 , a 反 应谱 n ∈ [ 1. r m s满足第一阶共振 f , 如下 : n/f s =1 ) 13. 76 0. 015L +0. 89 +( 100ζ-1) [ -0. 3e +0. 94] , ζ ∈ [ 0. 004, 0. 01) L-2. 2 13. 76 0. 05L +0. 89 +( 100ζ-1) [ -0. 27e +0. 96] , ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07] L-2. 2 5. 69 0. 03L +0. 95 +( 100ζ-1) [ -0. 3e +0. 97 ] , ζ ∈ [ 0. 004, 0. 01) L-2. 2
0. 1L 5. 69 +0. 95 +( 100ζ-1) [ -0. 23e +0. 96] , ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07 ] L-2. 2

F ( 1, L , ζ )=

( 15)

F ( 2, L , ζ )=

( 16)

F ( 3, L , ζ )=

3. 78 0. 045L +0. 96 +( 100ζ-1) [ -0. 3e +0. 98] , ζ ∈ [ 0. 004, 0. 01) L-2. 2 3. 78 0. 15L +0. 96 +( 100ζ-1) [ -0. 12e +0. 97] , ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07] L-2. 2

( 17)

· 114·  

土  木  工  程  学  报
9. 230f 139 G n -8. 0. 5m L 13. 76 0. 015L +0. 89 + ( 100ζ - 1) [ -0. 3e +0. 94] L-2. 2 ζ ∈ [ 0. 004, 0. 01) 9. 230f 139 G n -8. 0. 5m L 13. 76 0. 05 L +0. 89 + ( 100ζ - 1) [ -0. 27e +0. 96] L-2. 2 , f 4, 2. 4] H z n ∈ [ 1.

2010 年

a ( m ,f ,L ,ζ )= r m s n

ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07] G 0. 5m L 5. 141/( f 751) +1. 787 n -1.
2 15f L 18. 4 +0. 74f n n 0. 37 144 1000f 97 +( 100ζ -1) -0. 3e s+1 2 +0. ( f 0 . 94 ) ( L 2 . 2 ) ( f 0 . 22 ) 1000 f n n n

( 19)

ζ ∈ [ 0. 004, 0. 01) G 0. 5m L 5. 141 /( f 751) +1. 787 n -1. 18. 4 +0. 74f n
2 2

, f 2. 4, 10] H z n∈ (

5f L 0. 37 6f +26. 7f n n -240 +0. 97 +( 100ζ -1) n 100f e 96 s +0. 2 ( f 0 . 94 ) ( L 2 . 2 ) ( f 0 . 22 ) 1000 n n

ζ ∈ [ 0. 01, 0. 07]

  通过工程算例演示 a 反 应谱包络线公式的实 r m s际应用过程 , 并与 B S 5400
[ 15]

和浙江大学钱晓斌的推

2 2 4π ×1. 73 ×11. 05 ×1 ×12. 2 a =4π f K ψ= m a x ny s 5 10

2

2

荐结果 、 数值计算结果进行比较 , 验证公式的正确性 。 某钢 混 凝土组合人行桥 , 简支布置 , 跨度 42 m , 截面形 状如图 4 所示 。 人行桥阻尼比按 B S 5400 中的建议 , 取 ζ=0. 0064 , 行人重量取 G=700N。 设正常使用状态 下 , 混凝土仍处 于弹性状态 , 全桥抗弯刚度 一致 。 单 个行人通过人行桥时 , 按不同学者的推荐公式计算得 到不同的均方根加速度反应 。

=0. 16m /s 根据陈宇 的研究结果 , 将简支人行桥的均方根 加速度 a r m s与最大加速度 a ma x建立联系 : a 1 = 0. 076m/s r m s =a m a x/2. 按照钱晓斌建议的公式 , 计算简支人行桥均方根 加速度反应 ( 由 于公式的 适用范 围为 ζ≥ 0. 01 , 取 ζ= 0. 01计算 ) : a α r m s =α j r ms j r m s = 700 ×7. 31 ×( 0. 19 ×1. 73 /1. 88 +0. 0816) 3 0. 5 ×2. 84 ×10 ×42 =0 . 022m/s 数值模 拟计算结果为 a 097m/s , 如图 5 r ms = 0 . 所示 。 进一步 进 行 误差 统 计 , 结 果表 明 : ① 当 L∈ [ 7. 5, 150] m, ζ ∈ [ 0. 004, 0. 07] 时 , 在 f . 6, 2. 4] n∈ [ 1
2 2 2 [ 5]

2

图 4 钢 混凝土组 合人行桥截面 F i g . 4 S e c t i o no f s t e e l c o n c r e t ef o o t b r i d g e

范围内式 ( 19) 计算得到的 a 值与数值模拟结果的误 r ms 差小于 8 . 5%, 平均误差不到 2. 5%; ②在 f 8和 n = 4. 7. 2H z 两点处 ( 包络线下降段控制点 ) , 最大误差控制 在 6% 以内 , 平均误差不到 2. 0%。

C 30 混凝土的弹性模量 E 3. 0 ×10 M P a , 钢材 c = 弹性模量取 E 0× 10 M P a 。 按照弹性假设 , 计算 s =2. 人行桥截面抗弯刚度 E I=9 . 78G P a · m 。 取混凝土 密度 ρ 4 ×10 k g /m , 钢材 密度 ρ 85 × c = 2. s = 7. 10 k g /m , 计算人行桥线密度 , 并考虑钢筋 、加劲肋和 横隔板 的 修正 :m = 1. 15 × 2. 47 ×10 10 k g /m 。 计算简支人行桥的基频 : f = 1
简 3 3 3 3 3 3 3 4 5

4

= 2. 84 ×

π 2 2L

E I = 1. 73H z m
2

图 5 简支人行桥动力反应的数值计算结果 F i g . 5 Nu me r i c a l r e s u l t so f d y n a mi cr e s p o n s eo f s i mp l ys u p p o r t e df o o t b r i d g e

将各参数代入式 ( 19) , 得到 a 0998m/s 。 r ms = 0. 按照英国规范 B S 5400 的计算结果 :

 第 43 卷  第 9 期

聂建国等 · 步行荷载作用下单跨人行桥振动的均方根加速度反应谱法

· 115·  

本文推荐公式能够很 好地预测人行 桥可能产生 的最大 均方 根 加速 度反 应 。 B S 5400 的 计算 结 果在 f 6, 2. 4] H z 范围内偏小 , 在 f 2, 8] H z 范 n ∈ [ 1. n∈ [ 3. 围内偏大 。 造成该现象原因是 B S 5400 中的动载因子 c 257。 与 Y o u n g 推荐值比较 : 在 f 1 取固定常数 0 . n∈ [ 1. 6 , 2. 4] H z 范围内 , B S 5400 中 c 在 f 1 取值偏小 ; n∈ [ 3. 2, 8] H z 范围内 , B S 5400 的取值偏大 。 而钱晓斌的 推荐公式普遍低估了人行桥动力反应 , 应用于实际设 计时可能造成不安全 。

人行桥基频 f n和步频 f s的联合参数分析结果表 明: 在 f 1, 2, 3处 , 固支人行桥与参考简支人行桥 n/f s = 反应谱的峰值都很好的满足式 ( 23) , 比较结果如图 7 所示 。 a ( f 01) =1. 09a ( f 01) r m s n, 150, 0. r m s n, 150, 0 . f 4, 8] H z n ∈ [ 1. ( 23)
固 简

6 边界条件的影响
首先计算两端固支人行桥的 a 反 应谱包络线 。 r m s为了将固支人行桥与简支人行 桥的动力反应建立联 系并方便比较 , 假设参考的简支人行桥的跨度 L、 阻尼 比 ζ 、 基频 f 均与固支人行桥相同 , 而这 n和线密度 m 一假设可以通过调节两种人行 桥抗弯刚度 E I 实现 。 固支梁各阶自振频率的近似解见式 ( 20 ) 。 固支人行 桥与简支人行桥振型的比较如图 6 所示 。 1. 506π ω 1 ≈ L
2

图 7 固支与简支人行桥 a 反应谱的比较 r m s F i g . 7 Co mp a r i s o no f a r e s p o n s es p e c t r u msb e t we e n r ms f i x e d e n da n ds i mp l ys u p p o r t e df o o t b r i d g e s

人行桥基频 f 步频 f 人行桥跨度 L 和阻尼比 ζ n、 s、 的联合参数分析的结果表明 : 简支与固支人行桥的相 对均方根加速度反应 ( a ′ ) 随人行桥跨度 L 和 r m s/a r m s 阻尼比 ζ 的变化规律几乎完全一致 ( 如图 8 所示 ) , 即:
1

E I m
2

K π +0. 5π ω k≈ L k=2, 3, . . .

E I m

( 20 )

F f ,L , ζ ) =F f ,L ,ζ ) 固 ( n/f s 简 ( n/f s

( 24)

图 6 固支与简支人行桥前三阶振型比较 F i g . 6 Co mp a r i s o no f t h ef i r s tt h r e ev i b r a t i o nmo d a l sb e t we e n f i x e d e n da n ds i mp l ys u p p o r t e df o o t b r i d g e s

两端固 支 人 行桥 模 态 质量 与 参 考简 支 人行 桥 对比 : 固 简 R M = 0. 793 1 =M 1 /M 1 R M = 0. 878 2 =M 2 /M 2
固 3 简 3 固 简

( 21 )

R M = 0. 874 3 =M /M 仍使用前三阶模态近 似人行 桥动力反 应 。 为方 便计算 , 取 G=M m = 1 。 则固支人行桥各模态运动 方程如式 ( 22) 所示 。
· · 简

q t )+2ζ ﹒ m( t )+ω t )= m( mω mq mq m(
N+ 1 m

2

1 图 8 固支与简支人行桥 ( a /a ′ )与 L和 ζ 关系曲线的对比 r ms r m s

1 ∑ R M mj = 1

[( j -1) Δl ]F -( j -1) t ] e[ t s

( 22 )

F i g . 8 C o mp a r i s o no f ( a /a ′ )-1 La n d ζr e l a t i o n sb e t w e e n r ms r m s f i x e d e n da n ds i mp l ys u p p o r t e df o o t b r i d g e s

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2010 年

因此 , 固支人行桥均方根加速度反应谱包络线公 式为 : a ( f ,ζ )= r ms n, L
简 r m s 固

参 考 文 献 [ 1]  Z i v a n o v i cS , P a v i cA , R e y n o l d s P .V i b r a t i o ns e r v i c e a b i l i t y o f f o o t b r i d g e su n d e rh u m a n i n d u c e de x c i t a t i o n :al i t e r a t u r e

1. 09a ( f 01) r ms n, 150, 0. F f ,L ,ζ ) 固 ( n/f s ( 25 )



= 1. 09 a ( f ,ζ ) n, L

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值得注意的是 , 式 ( 25) 表达的固支人行桥动力反 应较简支人行桥大的观点 , 是基于固支人行桥与简支 人行桥基频 f n相等的条件得到的 。 此时两种人行桥 截面抗弯刚度不同 , 截面形式也不同 。 对于非理想边界条件的人行桥 , 在设计阶段很难 准确计算基频 f n 。 在工程设计中可先按照简支人行 桥分析得到基频 f 。 根据式 ( 20 ) , 人行桥准确基频 f n 在 [ f, 2. 27f] 区间范围内 。 设计时 , 考虑安全性可 作如下处理 : ①使用固支人行桥均方根加速度反应谱 公式 ( 25 ) 估计人 行桥动力反应 ; ②取 f n ∈ [ f, 2. 3f 4H z 时 , 经过上 n ] 范围内的最不利解 。 当 f n ≥ 1. 面方法的处理后 , 等效为 : 当 f 4, 2. 4] H z 时,在 n ∈ [ 1. 式( 25) 中取 f 4H z 计算人行桥动力反应 ; 当f n =2. n ∈ ( 2. 4, 8] H z 时 ,取 f n =f计算人行桥动力反应 。 即反 应谱包络线在 f 4, 2. 4] H z 内变为水平线 , 在 n ∈ [ 1. f 2. 4, 10] H z 范围内没有变化 。 n∈ (
简 n 简 简 简 简 简 n 简 n 简 n 简 n

7 结论
( 1) 基于分布参数体系的振型 分解法 , 将人行桥 上行人行走过程这一多点激励 问题简化为解耦的单 自由度体系强迫振动的叠加 。 ( 2) 使用分段解析法计算简支人行桥在步行荷载 作用下的动力反应 , 并分析了动力反应最大值点可能 出现的位 置 , 以 及各模态 对人行桥 加速度反 应的贡 献 。 结果表明 : 对于低频简支人行桥 (f 4H z ) , n < 1. 高阶振型对加速度动力反应影响较大 ; 对于基频 f n≥ 1. 4H z 的简支人行桥 , 一般情况下跨中点加速度基本 代表了全桥加速度 的峰值 。 使用第一阶 模态跨中点 的加速度来估算人行桥动力反应 , 误差不大 。 ( 3) 以数值模拟计算的结果为 基础 , 使用多参数 联合分析的方法 , 总结归纳了简支人行桥均方根加速 度反应 a 跨度和阻尼比的变化 r ms随人行桥基频 、步频 、 规律 。 在此基础上 , 提出了可用于估算简支人行桥均 方根加速度反应的 a 反 应谱包络线公式 ( 19) 。并 r m s通过算例验算了公式的准确性 。 ( 4) 构建了固支人行桥的 a 反 应谱包络线公式 r m s( 25) 。 在此基础上 , 探讨了实际工程中边界不明确时 人行桥动力反应的估算方法 。

· 130·  

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2010 年

[ 2]  荆志东 . 天津站交通枢纽工程详细勘察岩土工程勘察 报 告[ R ]. 天津: 铁道第三勘察设计院 , 2006 [ 3]  H a r b a u g hAW.M O D F L O W2005, T h eU Sg e o l o g i c a l s u r v e y m o d u l a rg r o u n d w a t e rm o d e l —t h eg r o u n d w a t e rf l o wp r o c e s s [ M] .V i r g i n i a :U SG e o l o g i c a l S u r v e y , 2005

[ 4]  李宏军 . 天津站综合 交通枢纽工程 1标 段群井抽水试验 报告 [ R ]. 上海 : 上海长凯岩土工程有限公司 , 2007 [ 5]  金淮 . 天津站 综合交通 枢纽 工程抽 水试 验报 告 [ R ]. 北 京: 北京城建勘测设 计研究院有限责任公司 , 2006

1979 -) , 男 , 博士 , 讲师 。 主要从事 地下工程水土耦合分析教学与科研 。   杨建民 ( 1967 -) , 男 , 博士 , 教授 。 主要从事 地下工程教学与科研 。   郑  刚 (   焦  莹 ( 1964 -) , 男 , 硕士 , 高级工 程师 。 主 要从事城市地下工程设计与施工技术研究与管理 。

( 上接第 116 页 ) [ 12]  B a c h m a n nH , P r e t l o v eAJ , R a i n e rH .V i b r a t i o np r o b l e m s i ns t r u c t u r e s :p r a c t i c a l g u i d e l i n e s [ M] .B a s e l , 1995 [ 13]   K e r rS , B i s h o pN .H u m a ni n d u c e dl o a d i n go nf l e x i b l e s t a i r c a s e s [J ] .E n g i n e e r i n gS t r u c t u r e s , 2001, 23:37-45

[ 14]   T i l l yG , C u l l i n g t o nD , E y r eR .D y n a mi cb e h a v i o u ro f f o o t b r i d g e s[ M ] . I A B S E S u r v e y sS -26 /84, P e r i o d i c a , 1984:1324 [ 15]  B r i t i s hS t a n d a r d s A s s o c i a t i o n .B S5400 S t e e l , c o n c r e t e a n d c o m p o s i t eb r i d g e s [S ] .1978 I A B S E

  聂建国 ( 1958 -) , 男 , 博士 , 教授 。 主要从事 结构工程研究 。
1981 -) , 男 , 硕士研究生 。 主要从事结构工程研究 。   陈  宇 ( 1975 -) , 男 , 博士 , 副教授 。 主要从 事结构工程研究 。   樊健生 (


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