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2016届云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(一)数学(文)试题 扫描版


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(一) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 C 8 B 9 C 10 B 11 B 12 D

1 2,4} ? {x 1 ? x≤4} ? {2,4} ,故选 C. 1. A ? B ? {0,,
2.∵ z ?
1 ? 2i ? ?2 ? i, ∴ z ? ?2 ? i ,故选 B. i
2

5 ? 5 5 13 ? ? ,故选 D. 3.∵x 为第四象限的角,∴ sin x ? ? 1 ? cos x ? ? ,于是 tan x ? 12 12 13 13
4.记 3 个社团分别为 A、B、C,依题意得,甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有 9 种,分别为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C), 而两位同学参加同一个社团的种数为 3,故所求概率为
3 1 ? ,故选 A. 9 3

?a≤0, ?a≤0, ?a ? 0, ?a ? 0, 5.∵ ? a ?1 ?? ? a ? ?,? ?? ? a ? 1 ,故选 C. ?a ? 2 ? ?1 ?a ? 1 ??e ? ?1 ?a ? 1

6 . ∵ f ( x) ? 0 ? cos x ? 1 ? m , 由 0≤m≤1 , 得 0≤1 ? m≤1 , 且 ?1≤ cos x≤1 , 所 以 函 数
f ( x) ? cos x ? m ? 1 有 零 点 . 反 之 , 函 数 f ( x) ? cos x ? m ? 1 有 零 点 , 只 需 |m ? 1|≤1 ?
0≤m≤2 ,故选 A.

7.如图 1,不妨设正方体的棱长为 1,则切削部分为三棱锥 A ? A1 B1 D1 , 其体积为 积为
1 ,又正方体的体积为 1,则剩余部分(新工件)的体 6
图1

5 ,故选 C. 6 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 8.由 | AB ? AC| ? | AB ? AC| 知 AB ? AC ,以 AB,AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直

? 4 1? ? 2 2? 角 坐 标 系 , 则 A(0,0),B(2,0),C (0, 1) , 于 是 E ? , ?,F ? , ? , 据 此 , ? 3 3? ? 3 3? ??? ? ???? ? 4 1 ? ? 2 2 ? 8 2 10 AE ? AF ? ? , ? ?? , ? ? ? ? ,故选 B. ? 3 3? ? 3 3? 9 9 9

9 .依题意,记 g ( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 ) ?? ?( x ? a8 ) ,则 f ( x) ? xg ( x),f ?( x) ? g ( x) ? xg ?( x) ,

f ?(0) ? g (0) ? a1a2 ?? ? a8 ? (a1a8 ) 4 ? 212 ,故选 C.
10.显然 BC ? 平面PAB ,则 BC ? AE ,又 PB ? AE ,则 AE ? 平面PBC ,于是 AE ? EF ,

且AE ? PC ,结合条件 AF ? PC 得 PC ? 平面AEF ,所以 △AEF 、 △PEF 均为直角三
角形,由已知得 AF ?
2 2

,而 S△AEF ?

1 1 1 1 AE ? EF≤ ( AE 2 ? EF 2 ) ? ( AF ) 2 ? ,当且 2 4 4 8
1 时 , △AEF 的 面积 最大,此 时 2

仅 当 AE ? EF 时 ,取 “ = ” , 所以, 当 AE ? EF ?
1 EF 2 ,故选 B. tan ?BPC ? ? 2 ? PF 2 2 2

11.∵ 1 ?

1 1 (n 2 ? n) 2 ? 2(n 2 ? n) ? 1 n 2 ? n ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ?1? ? ? ? ,所以 2 2 2 2 n (1 ? n) n (1 ? n) n(n ? 1) ? n n ?1?

1 ? 1 ?1 1 ? ?1 1? ? 1 , 故 [ S ] ? 2014 ,故选 S ?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ?…?1? ? ? ? ? 2015 ? 2015 ?1 2 ? ? 2 3? ? 2014 2015 ?

B. 12.圆 C 在抛物线内部,当 l⊥y 轴时,必有两条直线满足条件,当 l 不垂直于 y 轴时,设
M ( x0,y0 ),A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) , 则 x0 ?
2 x12 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) ?
2 ? x1 ? x2 y ? y2 ? x ? 4 y1, , 由 ? 12 ? ,y0 ? 1 2 2 ? ? x2 ? 4 y2

x y1 ? y2 x1 ? x2 y ?5 ? ? k AB ? 0 , 因为圆心 C (0,5) , 所以 kCM ? 0 , x1 ? x2 4 2 x0 ? 0

2 2 ? 4 y0 ,所以 x0 ? 12 ,且 由直线 l 与圆 C 相切,得 k AB ? kCM ? ?1 ? y0 ? 3 ,又因为 x0

2 2 2 r 2 ? x0 ? ( y0 ? 5)2 ? x0 ? 4 ? 16 ? r ? 4 , 又 r 2 ? ( y0 ? 5)2 ? x0 ? 0 ? r 2 ? (3 ? 5)2 ? 0 ?

r 2 ? 4 ? r ? 2 ,故 2 ? r ? 4 ,此时,又有两条直线满足条件,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13 51 14
? 8 3? ? ? 3 ,2 ? ? ?

15
? 1 ? ? ? ,? ? ? ? 9 ?

16
1 3

13.依程序框图得 b ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 0 ? 22 ? 0 ? 23 ? 1 ? 24 ? 1 ? 25 ? 51 . 14.由于
y 表示可行域内的点 ( x,y ) 与原点 (0,0) 的连线的斜 x

率,如图 2,求出可行域的顶点坐标 A(3, 1),B(1,2) ,
y ?1 ? 1 1 C (4,2) ,则 kOA ? ,kOB ? 2,kOC ? ,可见 ? ? ,2 ? , x ?3 ? 3 2



y 1 ?1 ? ? 8 3? ? t ,则 z ? t ? 在 ? ,2 ? 上单调递增,所以 z ? ? ? , ? . 3 x t ? ? ? 3 2?
2

图2

1? 1 ? ?2 ? 15. f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ? ? x ? ? ? ? 2a .当 x ? ? ,? ? ? 时, f ?( x) 的最大值为 2 4 3 ? ? ? ?
2 2 1 ?2? f ? ? ? ? 2a ? ,令 2a ? ? 0 ,解得 a ? ? ,所以 a 的取 9 9 9 ?3? ? 1 ? 值范围是 ? ? , ? ? ? . ? 9 ?

16.如图 3,设 AC 中点为 M,连接 OM,则 OM 为
△ABC 的中位线,于是 △OFM ∽△AFB ,且

| OF | 1 c 1 c 1 ? ,即 ? ? ? . | FA | 2 a?c 2 a 3

图3

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ an ?1 ?
4an , an ? 2



a ?2 1 1 1 1? 1 1? 1 1 ,∴ ? ? ? ? ?, ? n ? ? an ?1 2 2 ? an 2 ? an ?1 4an 4 2an

∴ 又 a1 ? 1,

? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ,所以数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. a1 2 2 2 2 ? an 2 ?

???????????????????????????????(6 分)
1 1 1 ?1? (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ? ? ?? ? an 2 2 ? 2 ?
n ?1

?

1 n n n ,∴ bn ? ? ? n , n 2 an 2 2

设 Sn ?

1 2 3 n ? ? ? … ? n ,① 2 2 2 23 2

1 1 2 n ?1 n 则 Sn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

1? 1 1? n ? 1 1 1 1 n 2 2 由①-②得, Sn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? ? 1 2 2 2 2 2 1? 2
∴ Sn ? 2 ? 1 n ? n. n ?1 2 2

? ? ? ? n ?1? 1 ? n , 2n ?1 2n 2n ?1

???????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)列联表如下: 支持 男生 女生 总计 计算得 K 2 ? 30 45 75 反对 50 25 75 总计 80 70 150

150(30 ? 25 ? 50 ? 45) 2 ? 10.714 ? 10.828 , 80 ? 70 ? 75 ? 75
????????????(6 分)

所以没有 99.9%的把握认为态度与性别有关.

(Ⅱ)记 6 名男生为 A1,A2,a3,a4,a5,a6 ,其中 A1,A2 为支持, a3,a4,a5,a6 为反对, 记 4 名女生为 B1,B2,b3,b4 ,其中 B1,B2 为支持, b3,b4 为反对,随机抽取一男一女所 有可能的情况有 24 种,分别为
( A1,B1 ),( A1,B2 ),( A1, b3 ),( A1, b4 ),( A2,B1 ),( A2,B2 ),( A2, b3 ),( A2, b4 ), (a3,B1 ),
(a3,B2 ), (a3,b3 ),(a3, b4 ),(a4,B1 ),(a4,B2 ),(a4, b3 ),(a4, b4 ),(a5,B1 ),(a5,B2 ), (a5,b3 ),(a5, b4 ),(a6,B1 ),(a6,B2 ),(a6, b3 ),(a6, b4 ),

其中恰有一人支持一人反对的可能情况有 12 种,所以概率为 P ? 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 4,取 AC 的中点 D,连接 DS,DB. 因为 SA ? SC , BA ? BC , 所以 AC ? DS, 且AC ? DB , DS ? DB ? D , 所以 AC ? 平面SDB ,又 SB ? 平面SDB , 所以 AC ? SB . ????????????(6 分)

1 . 2

???(12 分)

图4

(Ⅱ)解:因为 SD ? AC,平面SAC ? 平面ABC , 所以 SD ? 平面ABC . 如图 4,过 D 作 DE ? CM 于 E,连接 SE,则 SE ? CM , 所以在 Rt△SDE 中, SD ? 1 , DE ?
∴ SE ?
1 , 2

?????????(8 分)

5 , CM 是边长为 2 的正△ABC 的中线,∴ CM ? 3 , 2

1 1 5 15 , ∴ S△SCM ? CM ? SE ? ? 3 ? ? 2 2 2 4 S△BMC ? 1 1 1 3 . ? AB ?CM ? ? 2 ? 3 ? 2 2 4 2

??????????????(10 分)

设点 B 到平面 SCM 的距离为 h,
1 1 则由 VB ? SCM ? VS ? BCM 得 S△SCM ? h ? S△BMC ? SD , 3 3

3 S△BMC ? SD 2 5 所以 h ? . ? 2 ? S△SCM 5 15 4

?????????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵e ? 又S ?

b2 1 2 b2 1 , ∴ e2 ? 1 ? 2 ? ,∴ 2 ? ,即 a 2 ? 2b 2 . a 2 2 a 2

1 ? 2a ? 2b ? 4 2, ∴ ab ? 2 2 ,∴ b 2 ? 2,a 2 ? 4 . 2

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

?????????????????(4 分)

(Ⅱ)由题意知,当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),P( x,y ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立方程 ? 4 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1), ?
因为直线与椭圆交于两点, 所以 ? ? 16k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(2k 2 ? 4) ? 24k 2 ? 16 ? 0 恒成立,

4k 2 2k 2 ? 4 ?2k , x x ? ,y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? , 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ???? ? ???? ??? ? 又∵ OM ? ON ? tOP , ∴ x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 4k 2 x ? ? , ? ? x1 ? x2 ? tx, ? t t (1 ? 2k 2 ) ∴? ∴? ? y1 ? y2 ? ty, ? y ? y1 ? y2 ? ?2k , ? t t (1 ? 2k 2 ) ?

因为点 P 在椭圆

x2 y 2 16k 4 8k 2 ? ? 1 上,所以 2 ? 2 ? 4, 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 ) 2 4 2
2k 2 1 ?1? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
????????????(8 分)

∴t 2 ? 即 2k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ),
???? ? ???? 4 5 又∵| OM ? ON |? , 3

???? ? 4 5 4 ? 6k 2 2 5 4 5 ? 即 | NM |? ,整理得: 1 ? k 2 ? , , ∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 3 3 3

化简得: 13k 4 ? 5k 2 ? 8 ? 0 ,解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ?
∵t 2 ? 1 ?

8 (舍) , 13

? 6? ? 6 ? 1 2 ? 1 , ? , 1? , ∴ ? t 2 ? 1 ,即 t ? ? ??? 2 ? ? ?. 3 ? 1 ? 2k 3 ? ? ? 3 ?

? ? 6? 6? 当直线 MN 的斜率不存在时, M ? ?1, 2 ? ?, N ? ?1, ? 2 ? ? ,此时 t ? ?1 , ? ? ? ? ? 6? ? 6 ? ∴t ? ? ?1, ? , 1? . ? ??? ? 3 ? ? ? 3 ?
21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,求导可得 f ?( x) ? a ?
1 , x 1 , x

????????????????????(12 分)

由 f ?(1) ? 0 得 a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,∴ f ( x) ? ? x ? ln x,f ?( x) ? ?1 ? 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ; 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 所以 f ( x) 的减区间为 (1, ? ?) ,增区间为 (0, 1) . (Ⅱ)由题意: ax ? ln x ? x 2 ,即 ax ? x 2 ? ln x ,
∵ x ? 1, ∴a ? x ? ln x 恒成立. x

?????????(4 分)

1 ? ln x x 2 ? ln x ? 1 ln x ? ,则 g ?( x) ? 1 ? , x2 x2 x 1 令 h( x) ? x 2 ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? 2 x ? ? 0 , x
令 g ( x) ? x ?

∴ h( x) 在 (1,? ?) 上单调递增,

又 h(1) ? 0 ,∴当 x ? (1,? ?) 时, h( x) ? 0, ∴ g ?( x) ? 0 ,
∴ g ( x) 在 (1,? ?) 上单调递增,

所以 g ( x) min ? g (1) ? 1 , ∴当 a≤1 时, a ? g ( x) 恒成立, ∴a 的取值范围为 (??, 1] . ??????????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵ EF∥AD, ∴ ?FEB ? ?A , 又 ?A ? ?C ,∴?C ? ?FEB ,

∴在△EFC与△BFE中 ,
??EFC ? ?BFE, ? △EFC∽△BFE . ? ??C ? ?FEB

????????????????(5 分)

(Ⅱ)∵△EFC∽△BFE ,
∴ EF FC ? ? EF 2 ? FB ? FC , FB EF

又 FG 是圆的切线,由切割线定理得 FG 2 ? FB ? FC ,
∴ EF 2 ? FG 2 ,即 EF ? FG .

????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)直线 l: ? (cos ? ? sin ? ) ? 6 化成普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 设点 P 的坐标为 ( 3 cos ?,sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
?π ? 2sin ? ? ? ? ? 6 3 ? ? , d? ? 2 2 ?π ? ? 3 1? ∴当 sin ? ? ? ? ? ?1 时,点 P ? ? , ? , ?3 ? ? 2 2? ?2 ? 6 此时 d max ? ? 4 2 . ??????????????????????(5 分) 2 x2 (Ⅱ)曲线 C 化成普通方程为 ? y 2 ? 1 ,即 x 2 ? 3 y 2 ? 3 , 3 3 cos ? ? sin ? ? 6

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数)代入 x 2 ? 3 y 2 ? 3 化简得 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , l1 的参数方程为 ? 2 ? y? t, ? ? 2

得 t1 ?t2 ? ?1 ,所以 MA ? MB ?| t1t2 |? 1 .??????????????????(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 , 不等式 f ( x)≥0 为 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥5 , ①当 x≤ ? 2 时,不等式为: ?3x ? 1≥5 ,即 x≤ ? 2 ,满足; ②当 ?2 ? x ?
1 时,不等式为: ? x ? 3≥5 ,即 x≤ ? 2 ,不满足; 2

1 4 ③当 x≥ 时,不等式为: 3x ? 1≥5 ,即 x≥ ,满足. 2 3

? 4? 综上所述,不等式 f ( x)≥0 的解集为 ? x x≤ ? 2或x≥ ? . 3? ?

????????(5 分)

3 (Ⅱ)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x)≥ 对于 x ? R 恒成立, 2

即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥m ?

3 对于 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x≤ ? 2), ? ? 1? ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3 ? ?2 ? x ? ?, 2? ? ? ? 1? ? ?3x ? 1? x≥ ? . 2? ? ?

由图 5 可看出 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是

5 , 2

3 5 所以 m ? ≤ ,∴ m≤1 ,即 m 的取值范围是 (??, 1] . 2 2

图5

????????????????????????????????(10 分)


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