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湖北省荆州中学2012届高三第一次质量检查(数学文)


一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分 且只有一个是正确的)

在每小题给出的四个选项中,有

4. 设 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且
<

br />f (? x)? f ( x,则( ) )
A. f ( x ) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递增 ? 2?

D. f ( x ) 在 ?

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那 么 c 和 A 的值分别是( )

A.75,25

B.75,16

C.60,25

D.60,16

9.已知函数 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 , 若有 f (a) ? g (b) , b 的取值范围为 则 ( ) A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

B. (2 ? 2, 2 ? 2) D. ?1,3?

C. ?1,3?

10.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双 曲线的离心率的取值范围为( )

A. (0, 2)

B. (1, 2)

C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , ??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上.

15.若函数 y ? f ( x) ( x ? R )满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 且 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 1 ? x 2 ,函数

?lg x ( x ? 0) ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5 , 5] 内零点的个数有___ 个 g ( x) ? ? 1 ?? x ( x ? 0) ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共计 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

18.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资 单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配 这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元) 。

20. 已 知 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于

A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值

数学(文)参考答案
一、选择题 1.B 2. D 3. A 4. A 5. B 6. D 二、填空题 11. 6 12. 16 13. . {m | ? 1 ? m ? 7} 2 2 7. B 8. A 9. B 10. B 14. ?min ? 6

15. 8

三、解答题

17. 解: (1) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 1 = 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1.

因此 f (x) 的最小正周期为 ? ,最小值为 ? 1 . (2) 由 f (? ) ? 2 得 2sin(2? ? 而由 ? ? ? 故 2? ?

?
6

) ? 1 =2,即 sin(2? ?

?
6

)?

1 . 2

? ?2 7 ? ?? ? ? , ? 得 2? ? ? ? ? , ? ? . 6 ?3 6 ? ?4 2?
?
5 ? ?. 6 6
解得 ? ?

?
3

.

当t ?

5 25 , y max ? 4 ,此时 x ? 10 ? =3.75 4 2 ? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万

元。

(3) 对任意 x ? [2,??) 恒有 f ( x) ? 0 , 即 x?

a ? 2 ? 1 对 x ?[2,??) 恒成立 x

3 9 ∴ a ? 3x ? x 2 ,而 h( x) ? 3x ? x 2 ? ?( x ? ) 2 ? 在 x ?[2,??) 上是减函数 2 4
∴ h( x) max ? h(2) ? 2 ,∴ a ? 2

(2) 由 p=4, 4 x2 ? 5 px ? p2 ? 0 化简得 x ? 5 x ? 4 ? 0 ,从而 x1 ? 1, x2 ? 4,
2

y1 ? ?2 2 , y2 ? 4 2 ,从而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 )
设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4?,?2 2 ? 4 2? ) , 又 y3 ? 8x3 , 即
2
?

?2

2 ?2? ? 1? ? 8(4 ? ? 1 ) (2? ?1)2 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2 ,即
2

?

2 21. 解:(1) f ?( x) ? 2mx ? (2m ? 4m ? 1) ?

m ? 2 (2mx ? 1)[ x ? (m ? 2)] ? x x

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 0

所以, ?

? f ?(1) ? 2m ? (2m 2 ? 4m ? 1) ? m ? 2 ? ?2m 2 ? m ? 1 ? 0 ? 解 m ? ?1 2 2 ? f (1) ? m ? (2m ? 4m ? 1) ? ?2m ? 3m ? 1 ? 0 ?


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