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2.2.1直线与平面平行的判定


引入新课

怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? a

?

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在

的平面给人 以平行的印象.

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

A

A

B

B

课程讲授——直线与平面的判定定理

如果平面 ? 内有直线 b 与直线 a 平行,那么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何?
是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行?
a a

?
图一

b

?
图二

b

课程讲授——直线与平面的判定定理

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交
a

?

b

课程讲授——直线与平面的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行.
a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

证明直线与平面平行,三个条件必须具备,才能 得到线面平行的结论.

课程讲授——直线与平面的判定定理

怎样判定直线与平面平行?
(1)定义法:证明直线与平面无公共点;

(2)判定定理:证明平面外直线与平面内直线 平行.

数学运用

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平 行于经过另外两边所在的平面.

已知:空间四边形ABCD中, E,F分别AB,AD的中点.
求证:EF//平面BCD. 证明:连接BD.

A

A

E

F D

?

B

C

因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD(三角形中位线的性质)

因为 EF ? 平面BCD, BD ? 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.

例2.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,E为 DD?的 中点,试判断 BD? 与平面AEC的位置关系,并说明理 由. 证明:连接BD交AC于点O, D? C? 连接OE, A?

在 ?DB D?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.
? EO // BD?
? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?
A

E
D
O

B?

C

B

例3.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、 F分别为AB、PD的中点,求证:AF∥平面PEC

例4.如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一 点,M、N分别是AB、PC的中点(1)求证:MN//平 面PAD;(2)若MN ? BC ? 4 ,PA ? 4 3 ,求异面直 线PA与MN所成的角的大小

随 堂 小 测

C
D

A

3
平行或相交

作业


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