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平面向量的数量积(1)


普通高中课程标准实验教科书(必修4)数学第二章第四节

向量的数量积
(第1课时)

问题情境
前面我们学习了向量的加法、减法和数乘三种 运算,那么向量与向量能否“相乘”呢?

一个物体在力F的作用下发生了位移S,那么 该力对此物体所做的功为多少?

F
θ


W ?| F || S | cos?

S

建构数学
平面向量的数量积

已知两个非零向量 a 和 b 它们的夹角为 ?, 我们把数量 |a||b|cos? 叫做 a 与 b 的数量积, B (或内积)记作: a? b ,

即 a ? b ?| a || b | cos?
θ O

b

a

B

1

A

规定:零向量与任意向 量的数量积为0 .

向量a 与向量b 的数量积也叫“点乘” .

建构数学

注意:
(1) 两个向量的数量积是一个实数,不是向量, 符号由cos 的符号所决定. (2) 两个向量的数量积称为内积,只能写成 a ? b, 不能写成 a ? b 或 ab ,书写时要严格区分.

即 a?b

ab

a?b

建构数学

注意:
(3) 向量的数量积和实数与向量的积 (数乘)不是 一回事. 数量积 a ? b ?| a || b | cos? 的结果是一个数量 (实数);

实数与向量的积(数乘)还是一个向量.

建构数学
对于两个非零向量的夹角,作如下规定:

已知两个非零向量 a 与 b, 作OA ? a, OB ? b,
则?AOB ? ? , (0? ? ? ? 180? )叫做向量 a 与b 的夹角 .

B
b a b

O

θ
a

A

特别地: 当? ? 0 时 , 向 量 a 与 b 同 向 ;
?

b
?

a

当? ? 180 时,向量a 与b 反向 ;
当? ? 90 时 , 则 向 量a 与 b 垂 直 ,
?

b

a

记 作 a ? b.

b
a

平行四边形ABCD中,∠BAD= 600,则向量 AB 与 BC、 CD、 DA的夹角分别是多少度?
D C

A

60?

120

?

B

60?
E

F

数学运用
例1.已知 | a|= 2,| b|= 3,分别求满足下列条件 的 a ?b: (1) a 与 b 的夹角? =120?; (2) a ? b; (3) a // b .

建构数学 如图:|b| cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 . 也是数量.
当?为 锐 角 时 , b cos? ? 0, 当?为 钝 角 时 , b cos? ? 0 当?为 直 角 时 , b cos? ? 0
O

向量 b 在向量 a 上的投影:

B
b a
B

1A

(1) B
b

B1 B
b

O (2)

a

A

当? ? 0 时 , b cos? ? b ,
?

当? ? 180 时 , b cos? ? ? b
?

O ( B1 ) (3)

a

A

建构数学
B

a ? b 的几何意义:

b a

a ? b ?| a || b | cos?
数量积 a ? b 等于 a 的 长 度 与b 在 a 的 方 向 上 的 投 影 b cos?的 乘 积 .

O (1) B
b

B

1A

B1 B
b

O (2)

a

A

O ( B1 ) (3)

a

A

数学应用

例2 已知 a 与 b 的夹角为 2? ,且 3 | a | = | b | = 2,求: (1) a 在 b 上的投影; ? 1 (2) a 在 a ? b 上的投影; 1 (3) b 在 a ? b 上的投影.? 3

建构数学
数量积的性质:
设 a, b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量,

?是 a 与 e 的夹角,则

(1) e ? a ? a ? e ?| a | cos? .
(2) a ? b ? a ? b ? 0.
( 3)、当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b; 当 a 与 b 反向时, a?b ? ?a b.
e
O

B

b

a
B1 A

特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a ( a ? a可简写成a )

2

2

(4) cos? ?

a?b | a || b |

,

(5) | a ? b |?| a || b | .

建构数学
数量积的满足以下运算律:

(1)a b ? b a
(2)(? a) b ? a (?b) ? ? (a b) ? ? a b

(3)(a ? b) c ? a c ? b c

思考:判断下列各题是否正确:

(1) 若 a ? 0 ,则对任意向量 b ,有 a ? b = 0. 正确
(2) 若 a ? 0 , 则对任意非零向量 b ,有 a ? b ? 0. 不正确 (3)若 a ? 0 ,且 a ? b = 0,则 b ? 0 . 不正确

如a ? b时

思考:判断下列各题是否正确:

(4) 若 a ? b ? 0,则 a ? 0 , 或 b ? 0. 不正确
(5) 对任意非零向量 a ,有 a ?| a |2 . 正确 (6) 若 a ? b ? b ? c(b ? 0) ,则a ? c .
2

不正确

如图

数学应用
例1变式.已知| a|= 2,| b|= 3,< a, b ?? ? (1)若 a ? b ? ?3,求 ? (2)若? ? 1200 ,求 (4a ? b) ? (3b ? 2a) 和 |a ? b |的值 (3)若(4a ? b) ? (3b ? 2a) ? ?5,求 ? (4)若 |a ? b |? 19 ,求 ?

课堂小结

1. 向量的数量积的物理模型是力的做功. 2. | a || b |cos?的结果是个实数(标量).

3. 利用 a ? b ?| a || b | cos? ,可以求两向量 的夹角,尤其是判定垂直. 4. 向量夹角的范围是[0,?].
5. 五条性质要掌握.


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