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【全程复习方略】2014年人教A版数学文(广东用)课时作业:3.8应 用 举 例


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课时提升作业(二十三)
一、选择题 1.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速 度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行

驶,则运 动开始几小时后,两车的距离最小( (A)
69 43

)

70 (D)2 43 5 2.某水库大坝的外斜坡的坡度为 ,则坡角α 的正弦值为( 12 12 5 5 13 ? A ? ??????????????? B? ??????????????? C ? ??????????????? D ? 13 13 12 12

(B)1

(C)

)

3.在△ABC 中,A=60°,且最大边和最小边是方程 x2-7x+11=0 的两个 根,则第三边长为( (A)2 (B)3 ) (D)5

(C)4

4.(2013·广州模拟)据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登 陆.台风中心最大风力达到 12 级以上,大风、降雨给灾区带来严重的 灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地 面成 45°的角,树干也倾斜为与地面成 75°的角,树干底部与树尖着 地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是(
20 6 10 6 (A) 米????????? (B) 20 6米????????? (C) 米????????? (D) 10 6米 3 3

)

5.(2013·天津模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c,若角 A,B,C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3 ,则 S△ABC=( )

3 (A) 2???????? (B) 3???????? (C) ???????? (D) 2 2

6.某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如示 意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α , ∠ADE=β .该小组已测得一组α ,β 的值,算出了 tan α =1.24,tan β =1.20,则 H=( (A)100 m (C)124 m 二、填空题 7.(2013·揭阳模拟)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边长 AB 的长度等于_______. 8.某人站在 60 米高的楼顶 A 处测量不可到达的电视塔的高度,测得塔 顶 C 的仰角为 30°,塔底 B 的俯角为 15°,已知楼底部 D 和电视塔的 底部 B 在同一水平面上,则电视塔的高为_______米. 9.如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15°,向山顶前进 100 米到 达 B 后,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 米, 山坡对于地平面的坡角为θ ,则 cos θ =_______. 三、解答题 10. (2012· 山东高考) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列. (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. (B)110 m (D)144 m )

11.(2013·湛江模拟)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以 内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时 刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45° +θ (其中 sin θ =
26 ,0°<θ < 26

90°)且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时). (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由. 12.(能力挑战题)如图,摄影爱好者 S 在某公园 A 处, 发现正前方 B 处有一立柱, 测得立柱顶端 O 的仰 角和立柱底部 B 的俯角均为 30°,已知 S 的身高约 为 3 米(将眼睛距地面的距离 SA 按 3 米处理). (1)求摄影者到立柱的水平距离 AB 和立柱的高度 OB. (2)立柱的顶端有一长为 2 米的彩杆 MN,且 MN 绕其中点 O 在 S 与立 柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影者观察彩杆 MN 的 视角∠MSN(设为θ )是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN 取最大 值时 cosθ 的值;若不存在,请说明理由.

答案解析
1. 【解析】选 C.如图所示,设过 x h 后两车距离为 y km, 则 BD=200-80x,BE=50x, ∴y2=(200-80x)2+(50x)2 -2×(200-80x)·50x·cos 60°, 整理得 y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5), ∴当 x=
70 时 y2 最小,即 y 最小. 43

2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解. 【解析】选 B.由 tan α= α=1,得 sin α=
5 . 13 5 12 ,得 sin α=cos α,代入 sin2α+cos2 12 5

3.【解析】选 C.由 A=60°知△ABC 中最大边和最小边分别为 b,c,故 b+c=7,bc=11. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16, ∴a=4. 4.【解析】选 A.如图,设树干底部为 O,树尖着 地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45°,∠AOB =75°, ∴∠OAB=60°. 由正弦定理知, ∴AO=
AO 20 = , sin 45? sin 60?

20 6 (米). 3

5.【思路点拨】由角 A,B,C 成等差数列可得 B,由正弦定理得 A,从

而得 C,再用面积公式求解即可. 【解析】选 C.∵角 A,B,C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= 3 ,∴ ∴sin A=
a b ? , sin A sin B

asin B 3 1 1 ? ? ? , b 2 3 2

又∵a<b,∴A<B, ∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC= ?1? 3 ?
1 2 3 . 2
? 3

【变式备选】在△ABC 中三条边 a,b,c 成等比数列,且 b= 3 ,B= , 则△ABC 的面积为( )

?A?

3 3 3 3 3 ?????????? B? ?????????? C ? ?????????? D ? 2 4 4 4

【解析】选 C.由已知可得 b2=ac,又 b= 3 ,则 ac=3, 又 B= , ∴S△ABC= acsin B ? ? 3 ?
1 2 1 2 3 3 3 ? . 2 4
? 3

6.【思路点拨】用 H,h 表示 AD,AB,BD 后利用 AD=AB+BD 即可求解. 【解析】选C.由 AB= AD=
H h ,BD= , tan ? tan?

H H h H ? ? , 及 AB+BD=AD,得 tan? tan? tan? tan?
htan? 4 ?1.24 ? =124(m). tan? ? tan? 1.24 ?1.20

解得 H=

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m.

【方法技巧】测量高度的常见思路 解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解 仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关 系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角 形. 7.【解析】由△ABC 面积为 3,得 absin 60°=3, 得 ab=4 3 , 又 BC=a=2,故 b=2 3 , ∴c2=a2+b2-2abcos C =4+12-2×2×2 3 × =16-4 3 , ∴c= 2 4 ? 3 . 答案: 2 4 ? 3 8. 【解析】如图,用 AD 表示楼高,AE 与水平面平行,E 在线段 BC 上, 因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60, 则 AE=
BE 60 ? ? 120 ? 60 3, tan15? 2 ? 3
1 2 1 2

在 Rt△AEC 中, CE=AE·tan 30°=(120+60 3 )×
3 =60+40 3 , 3

∴BC=CE+BE=60+40 3 +60=120+40 3 , 所以塔高为(120+40 3 )米. 答案:120+40 3

9.【解析】在△ABC 中, BC=
ABsin?BAC 100sin 15? ? ? 50 sin?ACB sin (45? ? 15?)

?

6? 2 .

?

在△BCD 中,sin∠BDC= =

BCsin?CBD CD

50( 6 ? 2)sin 45? ? 3 ? 1, 50

又∵cos θ=sin∠BDC,∴cos θ= 3 -1. 答案: 3 -1 10.【思路点拨】 (1)先利用切化弦,将已知式子化简,再利用和角公 式,三角形内角和定理,正弦定理化成 b2=ac.(2)利用(1)的结论 和余弦定理及三角形面积公式求解. 【解析】(1)由已知得: sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, sin Bsin(A+C)=sin Asin C,sin 2B=sin Asin C. 由正弦定理可得:b2=ac, 所以 a,b,c 成等比数列. (2)若 a=1,c=2,则 b2=ac=2, ∴cos B=
a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4

sin B= 1 ? cos 2 B ?

7 , 4 1 2 1 2 7 7 ? . 4 4

∴△ABC 的面积 S= acsin B ? ?1? 2 ?

11.【解析】 (1)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,∠BAC=θ,

sinθ=

26 . 26

由于 0°<θ<90°,所以 cosθ= 1 ? ( 由余弦定理得 BC=
AB2 ? AC2 ? 2AB AC cos? ? 10 5.

26 2 5 26 ) ? . 26 26

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(2)船会进入警戒水域. 方法一:如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B,C 的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=
2 AB=40, 2

x2=ACcos∠CAD=10 13 cos(45°-θ)=30, y2=ACsin∠CAD=10 13 sin(45°-θ)=20. 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率 k= 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= 所以船会进入警戒水域. 方法二:如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得, cos∠ABC=
AB2 ? BC2 ? AC2 2AB BC
20 =2,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

0 ? 55 ? 40 1? 4

? 3 5<7.

?

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 3 10 ? . 10 2 ? 40 2 ?10 5
9 10 ? . 10 10

从而 sin∠ABC= 1 ? cos2?ABC ? 1 ? 在△ABQ 中,由正弦定理得,
ABsin?ABC ? AQ= sin(45? ? ?ABC) 40 2 ? 10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△QPE 中,PE=QE·sin∠PQE =QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC) =15×
5 ? 3 5 <7. 5

所以船会进入警戒水域. 【变式备选】如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正 东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营 救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南 偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝 北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(已知 sin 41°≈
21 ,角度精确到 1°)? 7

【解析】 连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10 ×cos 120°=700.

所以 BC=10 7 . ∵
sin?ACB sin 120? ? , 20 10 7

∴sin∠ACB=

21 , 7

∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°. ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 12. 【解析】 (1)如图,作 SC⊥OB 于 C, 依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又 SA= 3 ,故在 Rt△SAB 中,可求得 AB= 到立柱的水平距离 AB 为 3 米. 在 Rt△SCO 中,SC=3,∠CSO=30°, OC=SC·tan 30°= 3 , 又 BC=SA= 3 ,故 OB=2 3 ,即立柱的高度 OB 为 2 3 米. (2)如图,以 O 为原点,以水平方向向右为 x 轴正方 向建立平面直角坐标系,连接 SM,SN, 设 M(cos α,sin α),α∈[0,2π), 则 N(-cos α,-sin α),由(1)知 S(3,故 SM =(cos α-3,sin α+ 3 ),
SN =(-cos α-3,-sin α+ 3 ),
SA =3,即摄影者 tan30?

3 ).

∵ SM · SN =(cos α-3)·(-cos α-3)+(sin α+ 3 )·(-sin α + 3 )=11. | SM |·| SN |

? (cos? ? 3) 2 ? (sin? ? 3) 2

(?cos? ? 3) 2 ? (?sin? ? 3) 2

? 13 ? (6cos? ? 2 3sin?) 13 ? (6cos? ? 2 3sin?) ? 2 ? 169 ? [4 3cos (? ? )] 6 ? ? 169 ? 48cos 2 (? ? ). 6

由α∈[0,2π)知 SM SN ∈[11,13]. 所以 cos ∠MSN=
SM SN SM SN

∈[

11 ,1] ,易知∠MSN 为锐角, 13

故当视角∠MSN 取最大值时,cos θ= 另解:∵cos ∠MOS=-cos ∠NOS, ∴
MO2 ? SO2 ? SM 2 NO2 ? SO2 ? SN 2 ?? 2MO SO 2NO SO

11 . 13

于是得 SM2+SN2=26 从而 cos θ=
SM 2 ? SN 2 ? MN 2 SM 2 ? SN 2 ? MN 2 11 ? ? . 2SM SN SM 2 ? SN 2 13

又∠MSN 为锐角, 故当视角∠MSN 取最大值时,cosθ=
11 . 13

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