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函数的奇偶性典型例题


课题:函数的奇偶性 (一) 主要知识: 1. 函数的奇偶性的定义: 设 y ? f ( x) ,x ? A , 如果对于任意 x ? A , 都有 f (? x) ? ? f ( x) , 则 称 函 数 y ? f ( x) 为 奇 函 数 ; 如 果 对 于 任 意 x ? A , 都 有 f (? x) ? f ( x), 则 称 函 数 y ? f ( x) 为偶函数;

2. 奇偶函数的性质: ?1? 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ? 2 ? f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点对称;

? 3? 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的
3. f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . 4. 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

单调性.

(二)主要方法:
1. 判断函数的奇偶性的方法:

?1? 定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.
? 2 ? 图象法; ? 3? 性 质 法 : ① 设
D ? D1

若不对称,则为非奇非偶函数;若

对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式;

f ( x) , g ( x) 的 定 义 域 分 别 是 D1 , D2 , 那 么 在 它 们 的 公 共 定 义 域

D2 上:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇;
f ( x) ? ?1 . f (? x)

②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;

2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,
典型题型

问题 1.判断下列各函数的奇偶性:

?1?

f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ; f ( x) ? lg( 1 ? x2 ? x) ;

? 2?

? 3?

? 4?

; 2x 2 ? ( x ? 0) ?x ? x f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

?1 ? 2 ? f ( x) ?

x 2

问题 2.利用函数的奇偶性求解析式
已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则 f ( x ) 的解析式为

问题 3.利用定义判断抽象函数的奇偶性
1.已知函数 f ( x ) 满足: f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) ? f ( y) 对任意的实数 x 、 y 总成立, 且 f (1) ? f (2) .求证: f ( x ) 为偶函数. 2.已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,

?1? 求证: f ( x) 为奇函数; ? 2 ? 若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) .
问题 4.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用

. ?1? 已知 f ( x) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数,
若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | ,则

A . f (? x1 ) ? f (? x2 )

B . f (? x1 ) ? f (? x2 ) D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

? 2 ? 设定义在 ??2, 2? 上的偶函数 f ( x) 在区间 ?0, 2? 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,
求实数 m 的取值范围

问题 5:利用函数的奇偶性求值
已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? _______

问题 6:数形结合
1 设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?5, 5? 若当 x ??0, 5? 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

y

问题 7:已知函数的奇偶性求参数

y ? f ( x) 5 ? ? O 2 ? x

ax 2 ? 1 1.已知函数 f ( x) ? ( a 、 b 、 c ? Z )为奇函数,又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 , bx ? c
求 a 、 b 、 c 的值 .

x?m 是奇函数,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1 2 3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , x ???2a ? 3, 1? 是偶函数,则 a ? b ?
2.定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ?
2


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