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2016高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 专题综合检测一 文


专题综合检测(一)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2015·湖南卷)设 A,B 是两个集合,则“A∩B=A”是“A? B”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵ A∩B=A?

A? B,∴ “A∩B=A”是“A? B”的充要条件.

2.若 f(x)=

1 log1(2x+1) 2

,则 f(x)的定义域为(A)

? 1 ? A.?- ,0? ? 2 ?

?1 ? B.? ,0? ?2 ?
D.(0,+∞)

? 1 ? C.?- ,+∞? ? 2 ?

1 解析:由题意,得 log1(2x+1)>0,即 0<2x+1<1,解得- <x<0. 2 2

log 0.3 ?1? 3 ,则(C) 3.已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ? ?5? A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 10 10 解析:∵-log30.3=log3 >1,且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 ∵y=5 为增函数, ∴5log23.4>5log43.6,
x

1

log 0.3 ?1? 3 >5log 3.6, 即 5log23.4>? ? 4 ?5? ∴a>c>b.

4.(2014·新课标Ⅱ卷)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则(C) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:若 x=x0 是函数 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0;若 f′(x0)=0,则 x=x0 不一定 是极值点,例如 f(x)=x ,当 x=0 时,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点,故 p 是 q 的必要 条件,但不是 q 的充分条件.选 C.
3

cos 6x 5.函数 y= x -x的图象大致为(D) 2 -2

解析:函数 f(x)=

cos 6x cos 6x x -x,f(-x)= -x x=-f(x),f(x)为奇函数,当 x→0 且 x> 2 -2 2 -2
x
-x

0 时 f(x)→+∞;当 x→0,且 x<0 时 f(x)→-∞;当 x→+∞,2 -2 →+∞,f(x)→0; 当 x→-∞,2 -2 →-∞,f(x)→0.故选 D.
x
-x

6. (2014·浙江卷)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱形” 是“AC⊥BD”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若四边形 ABCD 为菱形,则对角线 AC⊥BD;反之若 AC⊥BD,则四边形不一定是平
2

行四边形,故“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选 A.

7.(2014·新课标Ⅱ卷)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则

a=(D)
A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因为 y=a- 1

x+1

,所以切线的斜率为 a-1=2,解得 a=3.故选 D.

8.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是(A) A.f(x)= 1
3

x2

B.f(x)=x +1 D.f(x)=2
-x

2

C.f(x)=x

解析: 根据函数奇偶性的判断可得选项 A、 B 为偶函数, C 为奇函数, D 为非奇非偶函数, 所以排除 C,D 选项,由二次函数的图象可得选项 B 在(-∞,0)是单调递减的,根据排除法 1 2 选 A.因为函数 y=x 在(-∞,0)是单调递减的且 y= 在(0,+∞)是单调递减的,所以根

x

据复合函数单调性的判断同增异减可得选项 A 在(-∞,0)是单调递增的.

?0,1?, ? ? ?cos π x,x∈? ? 2? 9. (2014·辽宁卷)已知 f(x)为偶函数, 当 x≥0 时, f(x)=? 则 1 ? ? ,+∞?, ? ?2x-1,x∈? ?2 ?
1 不等式 f(x-1)≤ 的解集为(A) 2

?1 2? ?4 7? A.? , ?∪? , ? ?4 3? ?3 4? ?1 3? ?4 7? C.? , ?∪? , ? ?3 4? ?3 4?

1? ?1 2? ? 3 B.?- ,- ?∪? , ? 3? ?4 3? ? 4 1? ?1 3? ? 3 D.?- ,- ?∪? , ? 3? ?3 4? ? 4

解析:先画出当 x≥0 时,函数 f(x)的图象,又 f(x)为偶函数,故将 y 轴右侧的函数图 1 象关于 y 轴对称,得 y 轴左侧的图象,如右图所示,直线 y= 与函数 f(x)的四个交点横坐 2
3

3 1 1 3 1 3 3 1 ?1 2? 标从左到右依次为- , - ,,, 由图象可知,≤x-1≤ 或- ≤x-1≤- , 解得 x∈? , ? 4 3 3 4 3 4 4 3 ?4 3?

?4 7? ∪? , ?.故选 A. ?3 4?
10.已知函数 f(x)=2 +x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2 的零点依次为 a,b,c, 则(A) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
x

? ?x ,|x|≥1, 11.设函数 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 ?x,|x|<1, ?

2

g(x)的值域是(C)
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

解析: 由 f(x)≥0, 可得 x≥0 或 x≤-1.当 x≤-1 时,f(x)≥1; 当 x≥0 时, f(x)≥0. 又 g(x)为二次函数,其值域为(-∞,a]或[b,+∞),而 f(g(x))的值域为[0,+∞),可 知 g(x)≥0.

12.已知函数 f(x)=
? ? 1? A.?a?a> ? ? ? 3?

3x-1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(B) ax2+ax-3

3

B.{a|-12<a≤0}
? ? 1? D.?a?a≤ ? 3? ? ?

C.{a|-12<a<0}

?a≠0, ? 解析:由 a=0 或? 可得-12<a≤0.故选 B. 2 ? ?Δ =a -4a×(-3)<0,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) -x+a,x≤0, ? ? 13. 设 f(x)=? 1 若 f(0)是 f(x)的最小值, 则 a 的取值范围是__________. x+ ,x>0, ? ? x 解析:由题意,当 x>0 时,f(x)的极小值为 f(1)=2;当 x≤0 时,f(x)极小值为 f(0) =a,f(0)是 f(x)的最小值,则 a≤2. 答案:(-∞,2]

4

14.(2014·江西卷)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 解析:因为 y′=ln x+1,设切点(a,b),则 k=ln a+1=2,a=e,又 b=aln a=e, 所以 P(e,e). 答案:(e,e)

?ln x,x>0, ? 15.设函数 f(x)=? D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处 ? ?-2x-1,x≤0,

的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________. 1 解析:∵f′(x)= ,∴k=f′(1)=1,∴切线 l:y=x-1.

x

因而切线 l、曲线 f(x)、x 轴围成三角形区域,其中最优解是(0,-1),代入得 zmax= 2. 答案:2

? π? 16.(2015·山东卷)若“? x∈?0, ?,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为 4? ?
________.

? π? ? π? 解析: 由题意, 原命题等价于 tan x≤m 在区间?0, ?上恒成立, 即 y=tan x 在?0, ? 4? 4? ? ? ? π? 上的最大值小于或等于 m,又 y=tan x 在?0, ?上的最大值为 1,所以 m≥1,即 m 的最小 4? ?
值为 1. 答案:1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)设集合 A={x|x <4},B=?x|1<
?
2

?

4 ? ?. x+3?

(1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x +ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值. 解析:(1)A={x|x <4}={x|-2<x<2},
? 4 ? ? x-1 ? ?=?x| <0?={x|-3<x<1}, B=?x|1< x + 3? ? x+3 ? ?
2 2

∴A∩B={x|-2<x<1}.
5

(2)因为 2x +ax+b<0 的解集为

2

B={x|-3<x<1}.
所以-3 和 1 为 2x +ax+b=0 的两根.
2

a - =-3+1, ? ? 2 故? 所以 a=4,b=-6. b ? ?2=-3×1.

1 18.(12 分)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称.

x

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)·x+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)的图象与 h(x)关于 A(0,1)对称,设 f(x)图象上任意一点坐标为 B(x,

x′+x ? ? 2 =0, ? ?x′=-x, y),其关于 A(0,1)对称点 B′(x′,y′).则? ∴? ? y+y′ ?y′=2-y, =1, ? ? 2
∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ 1 +2. x′

1 1 1 ∴2-y=-x- +2,∴y=x+ ,即 f(x)=x+ .

x

x

x

(2)g(x)=x +ax+1,∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴- ≥2,即 a≤-4,∴a 的取值 2 范围为(-∞,-4].

2

a

2 19.(12 分)已知函数 f(x)=x- +a(2-ln x)(a>0),讨论 f(x)的单调性.

x

2 a x -ax+2 2 解析:f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+ 2- = .设 g(x)=x -ax+2, 2

2

x

x

x

二次方程 g(x)=0 的判别式Δ =a -8. ①当Δ =a -8<0,即 0<a<2 2时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0,此时 f(x)在(0, +∞)上是增函数. ②当Δ =a -8=0, 即 a=2 2时, 仅对 x= 2有 f′(x)=0, 对其余的 x>0 都有 f′(x) >0,此时 f(x)在(0,+∞)上也是增函数. ③当Δ =a -8>0,即 a>2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x1=
2 2 2

2

a- a2-8
2

,x2

6



a+ a2-8
2

,0<x1<x2.

x f′(x) f(x)
?

(0,x1) +

x1
0 极大值

(x1,x2) - ?

x2
0 极小值

(x2,+∞) + ?

a- a2-8 ? a- a2-8? ?a+ a2-8 ? 此 时 f(x) 在 ?0, , ?与? ,+∞? 上 单 调 递 增 , 在 ( 2 2 2 ? ? ? ? a+ a2-8
2 )上单调递减.

20.(12 分)如图所示,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向做匀速移动, 速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R),E 移动时单位时间内的淋雨量包括 两部分:①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比 1 1 例系数为 ;②其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距 10 2 3 离 d=100,面积 S= 时: 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围确定移动速度 v,使淋雨量 y 最少.

解析: (1) 由题意知, E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 100 |v - c| + ,故 y = 20 2 v

? 3 |v-c|+1?=5(3|v-c|+10). ?20 2? ? ? v
(2)由(1)知,当 0<v≤c 时, 5 5(3c+10) -15;

y= (3c-3v+10)= v v

v

5 5(10-3c) 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15.

v

7

5(3c+10) ? ? v -15,0<v≤c, 故 y=? 5(10-3c) ? ? v +15,c<v≤10. 10 3c ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数,故当 v=10 时,ymin=20- . 3 2 10 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函 3 50 数,故当 v=c 时,ymin= .

c

e 21.(12 分)设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. 1+ax 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解析:对 f(x)求导,得 f′(x)=e
x

x

1+ax -2ax 2 2 .① (1+ax )

2

4 3 1 2 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x -8x+3=0,解得 x1= ,x2= .当 x 变化时,f′ 3 2 2 (x)与 f(x)变化情况见下表:

x f′(x) f(x)

?-∞,1? ? 2? ? ?
+ ?

1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2? ? ?
- ?

3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ? ? ?
+ ?

3 1 ∴x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 1+ax -2ax≥0 在 R 上恒成立,即Δ =4a -4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. ∴a 的取值范围为{a|0<a≤1}.
2 2

22.(12 分)(2015·安徽卷)已知函数 f(x)= 2(a>0,r>0). (x-r) (1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性; (2)若 =400,求 f(x)在(0,+∞)内的极值.

ax

a r

8

分析: (1) 由题意可知 x+ r≠0 即 x≠- r ,即可求出 f(x) 的定义域;又 f′(x)=

a(x+r)2-2ax(x+r) -a(x2-r2) = ,a>0,r>0 即可求出函数的单调区间. 4 4 (x+r) (x+r)
(2)由(1)可知 f(x)在(0,+∞)内的极大值为 f(r)= 内无极小值. 解析:(1)由题意可知 x+r≠0 即 x≠-r, ∴f(x)的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞). 又 f′(x)=

ar
4r

2

= =100,f(x)在(0,+∞) 4r

a

a(x+r)2-2ax(x+r) -a(x2-r2) = , 4 4 (x+r) (x+r)

又 a>0,r>0,令 f′(x)>0,? x∈(-r,r),令 f′(x)<0,? x∈(-∞,-r)或 (r,+∞),∴f(x)的单调递增区间为(-r,r),单调递减区间为(-∞,-r)和(r,+∞). (2)由(1)可知 f(x)在(0,+∞)内的极大值为 f(r)=

ar a =100,f(x)在(0,+∞) 2= 4r 4r

内无极小值,∴f(x)在(0,+∞)内极大值为 100,无极小值.

9


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