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二元一次方程组应用题归类及精选例题


二元一次方程组精选应用题库 二元一次方程组是最简单的方程组, 其应用广泛, 尤其是生活、 生产实践中的许多问题, 大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即: (1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示 其中的两个未知数; (2)找:找出能够表示题意两个相等关系; (

3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; (4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值; (5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案. 现将中考中常见的几种题型归纳如下: 一、市场营销问题 例 1(2005 年河南省实验区)某商场购进甲、乙两种服装后,都加价 40%标价出售. “春 节”期间商场搞优惠促销,决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售. 某顾客购买 甲、 乙两种服装共付款 182 元, 两种服装标价之和为 210 元. 问这两种服装的进价和标价各是 多少元? x y 解: 设甲种服装的标价为 x 元, 则进价为 元; 乙种服装的标价为 y 元, 则进价为 元. 1 .4 1 .4 由题意,得 ? x ? y ? 210, ? x ? 70, 解得, ? ? ?0.8 x ? 0.9 y ? 182. ? y ? 140. x y 所以, =50(元) , =100(元). 1 .4 1 .4 故甲种服装的进价和标价分别为 50 元、70 元,乙种服装的进价和标价分别为 100 元、140 元. 二、生产问题 例 2(2005 年长沙市实验区)某工厂第一季度生产两种机器共 480 台. 改进生产技术后, 计划第二季度生产两种机器共 5544 台,其中甲种机器产量要比第一季度增产 10%,乙种机器 产量要比第一季度增产 20%. 该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台? 解:设该厂第一季度生产甲种机器 x 台,乙种机器 y 台. ? x ? y ? 480, 由题意,得 ? ?10% x ? 20% y ? 540 ? 480. ? x ? 220, 解得, ? ? y ? 260. 故该厂第一季度生产甲种机器 220 台,乙种机器 260 台. 三、校舍改造问题 例 3 为满足市民对优质教育的需求,某中学决定改变办学条件,计划拆除一部分旧校舍, 建造新校舍,拆除旧校舍每平方米需 80 元,建造新校舍每平方米需 700 元. 计划在年内拆除 旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米, 在实施中为扩大绿地面积, 新建校舍只完成了计划的 80%, 而拆除旧校舍则超过了计划的 10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积. (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米? (2)若绿化 1 平方米需 200 元,那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大

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约是多少平方米? 分析:本题可以设一个未知数列方程来解决,但关系复杂,转化起来比较繁杂.因此,选 用列二元一次方程组来解决.其中有两个很明显的相等关系:一是原计划拆、建总面积,二是 实施当中,拆、建的总面积. 解: (1)设原计划拆除旧校舍 x 平方米,新校舍 y 平方米. 由题意,得 , ? x ? y ? 7200 ? . ?(1 ? 10%) x ? 80% y ? 7200 , ? x ? 4800 解得, ? . ? y ? 2400 (2)实际比原计划拆除与新建校舍节约资金为: (4800×80+2400×700)-[4800×(1+10%)×80+2400×80%]×700 = 297600. 用此资金可绿化面积为 297600÷200 = 1488(平方米). 四、方案选择问题 例 4(2005 年临沂市实验区)李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿 泉水,李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 8 桶和 12 桶,且在乙供水点比在甲供水 点多花 18 元钱. 若只考虑价格因素,通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜 一些? 解:设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为 x、y 元. ?10x ? 6 y ? 51, 由题意,得 ? ?12 y ? 8 x ? 18. ? x ? 3, 解得, ? ? y ? 3.5. 由于 3.5 > 3,所以到甲供水点购买便宜一些. 开动脑筋,做一做: 1、 (2005 年无锡市实验区)某天,一蔬菜经营户用 60 元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和 豆角共 40kg 到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示: 品 名 西红柿 豆角 批发价(单位:元/kg) 1.2 1.6 零售价(单位:元/kg) 1.8 2.5 问:他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱? 2、 (2005 年吉林省实验区)随着我国人口速度的减慢,小学入学儿童数量每年按逐渐减 少的趋势发展,某区 2003 年和 2004 年小学儿童人数之比为 8 : 7,且 2003 年入学人数的 2 倍比 2004 年入学人数的 3 倍少 1500 人,某人估计 2005 年入学儿童数将超过 2300 人,请你通 过计算,判断他的估计是否符合当前的变化趋势.

五、数字问题 例 1 一个两位数, 比它十位上的数与个位上的数的和大 9;如果交换十位上的数与个位上 的数,所得两位数比原两位数大 27,求这个两位数. 分析:设这个两位数十位上的数为 x,个位上的数为 y,则这个两位数及新两位数及其之

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间的关系可用下表表示: 十位上的数 原两位数 x 个位上的数 y 对应的两位数 10x+y 9 10y+x y+27 10y+x=10x+ 相等关系 10x+y=x+y+

新两位数

y



?10 x ? y ? x ? y ? 9 ?x ? 1 解方程组 ? ,得 ? ,因此,所求的两位数是 14. ?10 y ? x ? 10 x ? y ? 27 ?y ? 4
点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次 方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接 设这个两位数为 x,或只设十位上的数为 x,那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程.一般 地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元” ,然后列多元方程组 解之. 六、利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%;如果打八折出售可以盈利 10 元,问 此商品的定价是多少? 分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为 x 元,进价为 y 元,则打九折时的卖出价为 0.9x 元,获利(0.9x-y)元,因此得方程 0.9x-y=20%y;打八折时 的卖出价为 0.8x 元,获利(0.8x-y)元,可得方程 0.8x-y=10.

?0.9 x ? y ? 20% y ? x ? 200 解方程组 ? ,解得 ? , ?0.8x ? y ? 10 ? y ? 150
因此,此商品定价为 200 元. 点评:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润 的计算一般有两种方法, 一是: 利润=卖出价-进价; 二是: 利润=进价×利润率 (盈利百分数) . 特 别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念. 七、配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人,每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个,如果一个 螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每

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天生产出来的产品配成最多套? 分析:要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据题 意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1.因 此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓 25x个,螺母 20y个,依题意, 得

? x ? y ? 120 ? x ? 20 ,解之,得 ? . ? ?50 x ? 2 ? 20 y ?1 ? y ? 100
故应安排 20 人生产螺栓,100 人生产螺母. 点评:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配 套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其 中两种最常见的配套问题的等量关系是: (1) “二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于 乙产品数的a倍,即
甲产品数 乙产品数 ? ; a b

(2) “三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产 品数应满足的相等关系式是: 八、行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加油站,A 到 B 的距离为 120 千米,B 到 C 的距离也是 120 千米.分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相 同的速度驾车沿高速公路逃离现场, 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以 相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去,结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎 面而上的巡逻车堵截住, 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪 团伙的车的速度各是多少? 【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y 千米/时,则
? ? x ? y ? 40 ? x ? 80 ?3 ? x ? y ? ? 120 ,整理,得 ? ,解得 ? , ? ? ? x ? y ? 120 ? y ? 40 ? x ? y ? 120
甲产品数 乙产品数 丙产品数 ? ? . a b c

因此,巡逻车的速度是 80 千米/时,犯罪团伙的车的速度是 40 千米/时. 点评: “相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都

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存在着一个相等关系, 这个关系涉及到两者的速度、 原来的距离以及行走的时间, 具体表现在: “相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离; “同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离. 九、货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨,容积为 1200 立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲 种货物每吨体积为 6 立方米, 乙种货物每吨的体积为 2 立方米,要充分利用这艘船的载重和容 积,甲、乙两重货物应各装多少吨? 分析: “充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货 物的体积等于船的容积” .设甲种货物装 x 吨,乙种货物装 y 吨,则

? x ? y ? 300 ? x ? y ? 300 ? x ? 150 ,整理,得 ? ,解得 ? , ? ?6 x ? 2 y ? 1200 ?3x ? y ? 600 ? y ? 150
因此,甲、乙两重货物应各装 150 吨. 点评:由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意 先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或两边 同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等. 十、工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装 厂原来的生产能力, 每天可生产这种服装 150 套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能 完成订货的
4 ;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服 200 套,这 5

样不仅比规定时间少用 1 天,而且比订货量多生产 25 套,求订做的工作服是几套?要求的期 限是几天? 分析:设订做的工作服是 x 套,要求的期限是 y 天,依题意,得

4 ? ? x ? 3375 ?150 y ? x 5 ,解得 ? . ? ? y ? 18 ?200 ? y ? 1? ? x ? 25 ?
点评:工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时 间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时 间” .其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1”表示总工作量.

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十一【典题精析】 (2006年南京市)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆,小型汽车的停 车费为4元/辆.现在停车场有 50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费 230 元,问中、小型 汽 车 各 有 多 少 辆? 解 析 : 设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆.由题意,得

? x ? y ? 50, ? ?6 x ? 4 y ? 230. ? x ? 15, 解得, ? ? y ? 35.
故中型汽车有15辆,小型汽车有35辆. 例 2(2006 年四川省眉山市)某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示: 销售方式 每吨获利(元) 直接销售 100 粗加工后销售 250 精加工后销售 450

现在该公司收购了 140 吨蔬菜, 已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜 16 吨 (两 种加工不能同时进行) . (1)如果要求在 18 天内全部销售完这 140 吨蔬菜,请完成下列表格: 销售方式 全部直接销 售 获利(元) (2)如果先进行精加工,然后进行粗加工,要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜,则应 如何分配加工时间? 解: (1)全部直接销售获利为:100×140=14000(元) ; 全部粗加工后销售获利为:250×140=35000(元) ; 尽量精加工,剩余部分直接销售获利为:450×(6×18)+100×(140-6×18)=51800 (元). (2)设应安排 x 天进行精加工, y 天进行粗加工. 全部粗加工后 销售 尽量精加工,剩余部分直接 销售

? x ? y ? 15, 由题意,得 ? ?6 x ? 16y ? 140. ? x ? 10, 解得, ? ? y ? 5.

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故应安排 10 天进行精加工,5 天进行粗加工. 十二【跟踪练习】 为满足市民对优质教育的需求,某中学决定改变办学条件,计划拆除一部分旧校舍,建造 新校舍,拆除旧校舍每平方米需 80 元,建新校舍每平方米需 700 元. 计划在年内拆除旧校舍 与建造新校舍共 7200 平方米,在实施中为扩大绿地面积,新建校舍只完成了计划的 80%,而 拆除旧校舍则超过了计划的 10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积. (1)求:原计划拆、建面积各是多少平方米? (2)若绿化 1 平方米需 200 元,那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大 约是多少平方米?

答案: (1)原计划拆、建面积各是 4800 平方米、2400 平方米; (2)可绿化面积为 1488 平方米.

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