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24.3正多边形和圆(1)


三条边相等, 三个角也相等(60度)。

四条边都相等, 四个角也相等(90度)。

正多边形:

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。

如果一个正多边形有n条边,那么这个正 多边形叫做正n边形。

想一想:
菱形是正多边形吗?矩形是正多边形吗?为什么?

r />
你知道正多边形与圆的关系吗?
把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出 这个圆的内接正n边形, 这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段 弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.

∵AB=BC=CD=DE=EA
∴ AB=BC=CD=DE=EA,

A B O

∴BCE=CDA=3AB
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.

E

·
D

C

又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆.

正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.

E
中心角

D

F

. O.

半径R

边心距r

C

正多边形的边心距: 中心到正多边形的一边 的距离.

A

B

以中心为圆心,边心距为半径 的圆为正多边形的内切圆 的圆与各边有何位置关系?

中心角 ? 360 n

?

E 中心角

D

边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
180 ? ?AOG ? ?BOG ? n

F
R

.O .
a

C

G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r ? 面积S ?

A

a    ? R ( )  , 2
2

2

1 1 L ? 边心距(r) na ? 边心距(r) ? 2 2

例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心 360? 角等于 ,△OBC是等边三角形,从而正 ? 60? 6 六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, 利用勾股定理,可得边心距
BC 4 ? ? 2, PC= 2 2 F
O r B P R C E

r ? 42 ? 22 ? 2 3.
亭子地基的面积 1 1 S ? lr ? ? 24 ? 2 3 ? 41.6(m 2 ). 2 2
A

D

练习:分别求出半径为R的圆内接正三角形, 正方形的边长,边心距和面积. 解:作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB,则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距=OD= 在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
1 3 AD ? OA ? OD ? R ? R ? R, 2 2

1 R. 2

A

O · D

3R ∴A B 3 B= 3R ? R 2 2 ? 3 3R ∴S△ABC=
2 4

C

解:连接OB,OC 作OE⊥BC垂足为E,

∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形

BE 2 ? OE 2 ? OB 2

A
O ·

D

2OE 2 ? OB 2
OB OE ? 2
2 2

2 2 边心距OE ? OB ? R 2 2 2 边长BC ? 2BE ? 2 ? R ? 2R 2

B

E

C

S正方形ABCD ? AB?BC ?

?

2R

?

2

? 2R2

3、正多边形都是轴对称图形,一个正n边形 共有n条对称轴,每条对称轴都通过n边形 的中心。

4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形,它的中心就是对称中心。

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形 中心 ABCD的______. 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做 边心距 正方形ABCD的______. 3、若正六边形的边长为1,那么正六边形的中 60 1 心角是____度,半径是___,边心距是 3 , 2 它的每一个内角是______. 120° 中心 4、正n边形的一个外角度数与它的______角 的度数相等.

5.正多边形一定是 轴 对称图形,一个正n边 形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通 过 中心 ;如果一个正n边形是中心对称图 形,n一定是 偶 数.
6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要 旋转 72 度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12 和18,则它们的周长之比为2﹕3,面积之比 为 4﹕9 .

8.下列说法中正确的是( D ) A.平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形 9. 下列命题中,真命题的个数是( A ) ①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形一定全等. A.1 B.2 C. 3 D. 4

10.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为 1﹕3,则n等于( C ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和 原来的图形重合,那么这个正多边形是( B ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形

12.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的 13.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距

A .O B E

D

C

6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 , 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。

中心 角, 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
E C

.O A F B

判断:
1.各边相等的圆内接多边形是正多边形( )

2.各边相等的圆外切多边形是正多边形(
3.各角相等的圆内接多边形是正多边形(




4.各角相等的圆外切多边形是正多边形(




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