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求极限的方法及例题总结


1.定义: 说明: (1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上 面的极限严格定义证明,例如: ; x?2 (2)在后面求极限时, (1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

lim(3x ? 1) ? 5

2.极限运算法则

定理 1 已知 lim f ( x) , lim g ( x) 都存在,极限值分别为 A,B,则下面极限都存 在,且有(1) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B (2) lim f ( x) ? g ( x) ? A ? B
lim f ( x) A ? , (此时需B ? 0成立) g ( x) B

(3)

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满 足时,不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要 使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

1

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

例1

lim
x ?1

3x ? 1 ? 2 x ?1

( 3x ? 1) 2 ? 2 2 3x ? 3 3 lim ? lim ? x ?1 ( x ? 1)( 3 x ? 1 ? 2) x ?1 ( x ? 1)( 3 x ? 1 ? 2) 4 解:原式= 。
注:本题也可以用洛比达法则。

例2

lim n ( n ? 2 ? n ? 1)
n??

lim
n??

n[(n ? 2) ? (n ? 1)] 分子分母同除以 ? n ? 2 ? n ?1

n

lim
n??

3 1? 2 1 ? 1? n n

?

3 2


解:原式=

(?1) n ? 3 n lim n n 例 3 n ?? 2 ? 3
上下同除以 3n

?

解:原式

1 (? ) n ? 1 lim 3 ?1 n ?? 2 n ( ) ?1 3 。

3.两个重要极限

sin x ?1 x ?0 x (1) lim

(2) x ?0

lim(1 ? x) ? e

1 x

lim(1 ? 1 ) x ? e x x ?? ;
2

说明: 不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式,

sin 3 x 3 lim ? 1 lim(1 ? 2 x) ?2 x ? e lim(1 ? ) 3 ? e x 例如: x?0 3 x , x ?0 , x?? ;等等。
利用两个重要极限求极限

1

x

1 ? cos x 2 例 5 x ?0 3 x lim

x x 2 sin 2 2 ? lim 2 ?1 lim 2 x ?0 x ?0 x 6 3x 12 ? ( ) 2 2 解:原式= 。 2 sin 2
注:本题也可以用洛比达法则。
2 x

例6

lim(1 ? 3 sin x)
x ?0

1

解:原式=

lim(1 ? 3 sin x) ?3 sin x
x ?0

?

?6 sin x x

1

? lim[(1 ? 3 sin x) ?3 sin x ]
x ?0

?6 sin x x

? e ?6



lim(
例7
n ??

n?2 n ) n ?1
n ?1 ?3n n ?1 n ?1 ?3n

解:原式= 。

? 3 ?3 ? lim(1 ? ) n?? n ?1

? 3 ?3 n?1 ? lim[(1 ? ) ] ? e ?3 n?? n ?1

4.等价无穷小 定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0) 。 定理 3 当 x ? 0 时,下列函数都是无穷小(即极限是 0) ,且相互等价,即有:

x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin

x ~ arctan x ~ ln(1 ? x) ~ e x ? 1 。

说明:当上面每个函数中的自变量 x 换成 g ( x) 时( g ( x) ? 0 ) ,仍有上面的等价 关系成立,例如:当 x ? 0 时, e
3x

? 1 ~ 3 x ; ln(1 ? x 2 ) ~ ? x 2 。
f1 ( x) f ( x) lim g1 ( x) 存 在 时 , x? x0 g ( x) 也 存 在 且 等 于
3

x ? x0 时的无穷小,且 f ( x) ~ 定理 4 如果函数 f ( x), g ( x), f1 ( x), g1 ( x) 都是
f1 ( x) , g ( x) ~ g1 ( x) , 则 当
x ? x0

lim

f ( x)

x ? x0

lim

f1 ( x) f ( x) f ( x) lim 1 lim g1 ( x) ,即 x? x0 g ( x) = x? x0 g1 ( x) 。

利用等价无穷小代换(定理 4)求极限

lim
例9
x ?0

x ln(1 ? 3x) arctan( x2 )

ln(1 ? 3x) ~ 3 x , arctan( x2 ) ~ x2 , 解:? x ? 0时,
lim x ? 3x ?3 x2 。

原式= x?0

例 10

lim
x ?0

e x ? e sin x x ? sin x

解:原式= x?0

lim

e sin x (e x?sin x ? 1) e sin x ( x ? sin x) ? lim ?1 x ?0 x ? sin x x ? sin x 。

注:下面的解法是错误的:

(e x ? 1) ? (e sin x ? 1) x ? sin x lim ? lim ?1 x ?0 x ? 0 x ? sin x x ? sin x 原式= 。
正如下面例题解法错误一样:

lim
x ?0

tan x ? sin x x?x ? lim 3 ? 0 3 x ?0 x x 。

1 tan(x 2 sin ) x lim x ?0 sin x 例 11
解:
? 当 x ? 0 时, x 2 sin 1 1 1 是无穷小, ? tan( x 2 sin )与x 2 sin 等价 x x x ,

x 2 sin
所以,原式= x?0

lim

1 x ? lim x sin 1 ? 0 x?0 x x 。 (最后一步用到定理 2)

五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替 换求极限常常行之有效。
4

例 1.

lim(
x ?0

1 ? x sin x ? 1 ) 2 ex ?1

sin sin( x ? 1) ln x 2. x?0 lim

5.洛比达法则 定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数 f ( x) 和 g ( x) 满足: (1) f ( x) 和 g ( x) 的极限都是 0 或都是无穷大; (2) f ( x) 和 g ( x) 都可导,且 g ( x) 的导数不为 0;

lim
(3)

f ?( x) g ?( x) 存在(或是无穷大) ; f ( x) f ?( x) f ( x) f ?( x) lim lim lim g ( x ) 也一定存在,且等于 g ?( x) ,即 g ( x) = g ?( x) 。

lim
则极限

说明:定理 5 称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要 有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验
0 ? 证所求极限是否为“ 0 ”型或“ ? ”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)

则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使 用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限 说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷 小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。

1 ? cos x 2 例 12 x ?0 3 x (例 4) lim
sin x 1 ? x ?0 6 x 6。 解:原式= (最后一步用到了重要极限) lim

?x 2 lim x ?1 x ? 1 例 13
cos

5

?
解:原式=

?
2

sin

lim
x ?1

2 ? ?? 1 2。

?x

lim
例 14
x ?0

x ? sin x x3

sin x 1 1 ? cos x lim ? 2 6。 解: 原式= x ?0 3 x = x ?0 6 x (连续用洛比达法则, 最后用重要极限)

lim

sin x ? x cos x x 2 sin x 例 15 x ?0 lim
解:

原式 ? lim

sin x ? x cos x cos x ? (cosx ? x sin x) ? lim 2 x ?0 x ?0 x ?x 3x 2 x sin x 1 ? lim ? x ?0 3 x 2 3

1 1 lim [ ? ] x ?0 x ln( 1 ? x ) 例 18
1 1 lim [ ? ] ? 0 x ?0 x x 解:错误解法:原式= 。
正确解法:

原式 ? lim

ln(1 ? x) ? x ln(1 ? x) ? x ? lim x ?0 x ln( 1 ? x) x?x x ?0 1 ?1 x 1 ? lim 1 ? x ? lim ? 。 x ?0 x ?0 2 x (1 ? x ) 2x 2
x ? 2 sin x 3 x ? cos x

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例 19

lim
x??

1 ? 2 cos x 0 lim 解:易见:该极限是“ 0 ”型,但用洛比达法则后得到: x ?? 3 ? sin x ,此极
限 不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

2 sin x x lim x ?? cos x 3? x (分子、分母同时除以 x) 原式= 1?
6

1 = 3 (利用定理 1 和定理 2)

6.连续性 定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果 x0 是函数 f ( x) 的定 义去间内的一点,则有 x? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )



利用函数的连续性(定理 6)求极限

例4

lim x e
x?2

2

1 x

解:因为

x0 ? 2 是函数 f ( x) ? x e 的一个连续点,
2
2 1 2

1 x

所以原式= 2 e ? 4 e 。

7.极限存在准则 定理 7(准则 1)单调有界数列必有极限。 四、利用单调有界准则求极限 首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。
x ? a , x2 ? a ? a ? a ? x1 ,?, xn ?1 ? a ? xn (n ? 1,2,?) 例 1. 设 a ? 0 , 1
lim x n 求极限 n?? 。

7

定理 8(准则 2)已知 (1) (2)

{xn } , { yn } , {z n } 为三个数列,且满足:

yn ? xn ? zn , (n ? 1, 2, 3,? )
n ??

lim y n ? a lim xn



n ??

lim z n ? a lim xn ? a


则极限 n??

一定存在,且极限值也是 a ,即 n??

10. 夹逼定理

利用极限存在准则求极限 例 20 已知

x1 ? 2 , xn?1 ? 2 ? xn , (n ? 1, 2,?)

,求 n ??

lim x n

lim x n x { x } n n 解:易证:数列 单调递增,且有界(0< <2) ,由准则 1 极限 n ?? 存
在,设 n??

lim xn ? a

。对已知的递推公式

xn?1 ? 2 ? xn

两边求极限,得:

a ? 2 ? a ,解得: a ? 2 或 a ? ?1 (不合题意,舍去)
所以 n??

lim xn ? 2


8

lim (
例 21
n??

1 n2 ? 1 n

? ?

1 n2 ? 2 1

??? ? 1

1 n2 ? n

) 1 n ?n
2

解:易见: n ? n
2

n ?1
2

n ?2
2

???

?

n n ?1
2

lim
因为
n??

n n ?n
2

?1


lim
n??

n n ?1
2

?1
1 ??? 1 n2 ? n ) ?1


lim (
所以由准则 2 得:
n??

1 n2 ? 1

?

n2 ? 2

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题, 洛必达法则和等价无穷小结合御用, 往往能化简运算, 收到奇效。

11. 泰勒展开法

9

12. 利用定积分的定义求极限法 积分本质上是和式的极限, 所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8. 利用复合函数求极限

10

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是:若级数 n?1
?

?u

?

n

lim u n ? 0 收敛,则 n ?? ,故对某些极限

,可将函数 f (n) 作为级数 n ?1 lim f ( n ) ? 0 有 n?? 。
n??

lim f ( n )

? f ( n)

的一般项,只须证明此技术收敛,便



lim

n??

n! nn

十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时, 求该数列的极限就成了求相应级 数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂级数,有时为 Fourier 级数)。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
lim(1 ?
n ??

例求

1 3 3 ? 2 ? ? ? n ?1 ) 3 3 3

7 等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q 绝对值符号要小于 1)

8 各项的拆分相加(来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数

11

9 求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系,已知 Xn 的极限存在 的情况下, xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法 ,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! x 的 x 次方快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 能看出速率的快慢) !!!!!! 当 x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

对数函数 (画图也

12 换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中 16 直接使用求导数的定义来求极限, (一般都是 x 趋近于 0 时候,在分子上 f(x 加减麽个值)加减 f(x)的形式, 有特别注意)

看见了

12


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