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扬州闰土教育扬州市2012-2013学年高二下学期期末考试


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扬州闰土教育 江苏省扬州市 2012-2013 学年高二下学期期末考试 文科数学试卷
一、填空题 1.函数 f ( x) ? cos 2 x 的最小正周期是 2.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是 . .

i 3.复数 2 ? i 的虚部是 A?



?
6 ”是“

4. ?ABC 中, “

sin A ?

1 2 ”的

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既

不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) . 5.幂函数 f ? x ? ? x
?

?? ? R? 过点 ? 2,

2 ,则 f ? 4? ?
. .

?



6. lg 2 2 ? lg 2lg5 ? lg5 ?

?

2 ?1 ?

?

0

7.如果复数 z 满足 z ? i ? 2 ,那么 z +1 的最大值是

8.函数

f ? x? ?
2

ln x x 的单调递增区间是
2

. .

9.圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 , 过点 ? 2,3? 的直线 l 与圆相交于 A, B 两点,?ACB ? 90 ,则直线 l 的方程是 10.已知 q : 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,若 ? q 为假,则实数 m 的范围是
2



11.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 BC 上的四等分点,则 tan ?EAF =
A



B

E

F

C

12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图象如图所示,则 f ( x) ?



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y 4

?1

O

5

11 x

13.已知函数 y=f(x)(x∈(0,2))的图象是如图所示的圆 C 的一段圆弧.现给出如下命题:

① f ?(1) ? 0 ;② f ?( x) ? 0 ;③ f ?( x) 为减函数;④若 f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,则 a+b=2. 其中所有正确命题的序号为 . 14.有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任意分成两堆,求出这两 堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,直到不 能再分为止,则所有乘积的和为 . 二、解答题
2 15.已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ?x || x ? a |? 1 ? ,U ? R .

?

?

(1)当 a ? 3 时,求 A

B;

(2)若 A ? CU B ,求实数 a 的取值范围.

16.已知 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? (1)求 cos(? ? ? ) 的值;

4 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(2)求 sin ? 的值.

17.已知函数 f ( x ) ?

1 ? m, m ? R . 2 ?1
x

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(1)若 m ? ?

1 ,求证:函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数; 2

(2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2) 上没有零点,求实数 m 的取值范围.

18. 已知 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM = 7 , 设内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 且

c o s A 3 a . ? c o s C 2b ? 3c

B?
(1)求角 A 的大小; (2)若角

?

, 6 求 ?ABC 的面积; (3)求 ?ABC 面积的最大值.

19.在矩形 ABCD 中,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DA 中点 O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.已知 点 B 的坐标为 (3 , 2) ,E、F 为 AD 的两个三等分点, AC 和 BF 交于点 G , ?BEG 的外接圆为⊙ H .

(1)求证: EG ? BF ;

(2)求⊙ H 的方程;

(3)设点 P(0 , b) ,过点 P 作直线与⊙ H 交于 M,N 两点,若点 M 恰好是线段 PN 的中点,求实数 b 的取值范围.

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20.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a(?1) k ln x(k ? N ? , a ? R且a ? 0), (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值;

(3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? (0,??) ,都有

f ( x ) ? x 2 ? 2a (

1 2 ? ) x e ex 成立.

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参考答案 一、填空题 1. ? 解:函数 f ( x) ? cos 2 x 的最小正周期是 T ?

2? =π 。 |? |

2? 2? 2. 3 解:直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角满足 k ? tan ? = ? 3 ,所以, ? = 3 。
2 i 2 i (2 ? i ) i 1 2 ? ? ? ? i ,所以,复数 2 ? i 的虚部是 5 。 3. 5 解:因为, 2?i 5 5 5 A?
4.充分不必要解:由

?
6 可得

sin A ?

1 1 ? sin A ? A? 2 ,但反之,由 2 可得 6 或 A ? 5? , 6

故 ?ABC 中, “

A?

?
6 ”是“

sin A ?
?

1 2 ”的充分不必要条件。

5.2 解:因为,幂函数 f ? x ? ? x 所以, f ? 4? ? 4 2 =2. 6.0 解: lg2 2 ? lg 2lg5 ? lg5 ?
1

?? ? R? 过点 ? 2,

2 ,即 2 ? 2? , ? ?

?

1 , 2

?

2 ?1 ? lg 2(lg 2 ? lg5) ? lg5 ?1 ? lg 2 ? lg5 ?1 ? 0 。

?

0

z +1 表示圆上的点 Z 到点 P(-1,0)的距离,而点 P 在圆内,所以, z +1 的最大值是 AP 的长度+半径,
即2?

2。
f ? x? ? ln x x , 所 以 , 由f ' ? x ? ? 1 ? ln x ? 0, 得0<x<e , 故 , 函 数 x2

8 . ? 0, e? ( 写 出 开 区 间 算 对 ) 解 : 因 为 ,

f ? x? ?

ln x x 的单调递增区间是(0,e).
2 2

9.x ? 2或15x ? 8 y ? 6 ? 0 解:C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 半径为 2 , 因为, 过点 ? 2,3? 的直线 l 与圆相交于 A, B 两 点 , ?ACB ? 90 , 所 以 , 圆 心 C 到 直 线 l 距 离 为 1 , x=2 是 所 求 直 线 之 一 ; 设 L 的 另 一 方 程 为

y ? 3 ? k ( x ? 2),即,kx ? y ? 3 ? 2k ? 0 ,由

| k ? (?1) ? 3 ? 2k | k ?1
2

? 1 ,得 k ?

15 ,所以, 15 x ? 8 y ? 6 ? 0 。综上 8

知,直线 l 的方程是 x ? 2或15x ? 8 y ? 6 ? 0 。

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q : 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立, 10. 即 q 为真命题。 即 (?m)2 ?16 ? 0, ?4 ? m ? 4 , ??4, 4? 解:? q 为假,
2

故实数 m 的范围是 ? ?4, 4? 。

11.

3 解:过 A 作 AD⊥BC 于 D。 4 1 1 EF,∠EAD=∠FAD= ∠EAF 2 2

∵AB=AC,AB⊥AC,AD⊥BC,∴AD=BD=CD; ∵BE=EF=FC,∴AE=AF,DE=DF= ∴AD=3DE ∴tan∠EAD=

ED 1 ? AD 3

2 2tan?EAD 3 3 ? ? 。 ∴tan∠EAF= 2 2 1 ? tan ?EAD 4 ?1? 1? ? ? ?3?
4sin(
12.

?
6

x?

?

) 6 解:观察函数图象可知,A=4,T=11-(-1)=12,? ? 2? ? ? ,即 f (x) ?4s i n ( 12 6

?x )? ? , 将 (5,0)
6

代入得, 4sin( 5? ? ? ) ? 0, 5? ? ? ? k? , ? ? k? ? 5? , k ? z ,又 0≤? ? 2?) , 6 6 6 所以, ? ?

?
6

, f ( x) ?

4sin(

?
6

x?

?

) 6 。

13.①③④解:因为,x=1 时,是极值点,所以,① f ?(1) ? 0 正确; 因为函数的图象先上升后下降,即函数由增变为减,所以,② f ?( x) ? 0 不正确; 由图象可知, f ( x) ?

2 x ? x 2 , f '( x) ? 2 ? 2a 2a ? a 2 2 ? 2b

2 ? 2x 2 x ? x2

, 所以,③ f ?( x) 为减函数正确;

f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,即

?

2b ? b 2

? 0 ,整理得, (a ? b)(a ? b ? 2) ? 0, a ? b ,所以,a+b=2。

综上知,答案为①③④。

n(n ? 1) 2 解:假设每次分堆时都是分出 1 个球, 14.
第一次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n-1 个,则乘积为 1×(n-1)=n-1; 第二次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n-2 个,则乘积为 1×(n-2)=n-2; 依此类推 我要去看得更远的地方
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最后一次应该是应该一堆是 1 个球,另一堆 1 个,则乘积为 1×1=1; 设乘积的和为 Tn,

n(n ? 1) 2 则 Tn=1+2+?+(n-1)= n(n ? 1) 2 。 故答案为
15.解:由题意得, A ? x | x ? 3或x ? ?1 , B ? ?x | a ?1 ? x ? a ?1 ?。 (1) a ? 3 时, B ? ?x | 2 ? x ? 4? ,

?

?

4分

?A

B ? ?x | 3 ? x ? 4? 。

8分 14

(2) 因为 A ? CU B , 所以 a ? 1 ? 3且a ? 1 ? ?1 , 解之得 0 ? a ? 2 , 所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 。 分
1 sin(? ? ? ) 1 1 16. 解: (1)由 tan(? ? ? ) ? ? ? ? ? ? sin(? ? ? ) ? ? cos(? ? ? ) 3 cos(? ? ? ) 3 3

而 cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ) ? 1

1 9 ? cos 2 (? ? ? ) ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 9 10
而0 ?? ?

?

2

,0 ? ? ?

?

2

??

?

2

?? ?? ?

?

2

? cos(? ? ? ) ? 0

? cos(? ? ? ) ?

3 10 10 3 10 10 , sin(? ? ? ) ? ? 10 10

(2)由(1)可得 cos(? ? ? ) ?

而 cos ? ?

4 2 3 4 , ? 为锐角,故 sin ? ? 1 ? ( ) ? 5 5 5

3 3 10 4 10 13 10 ?sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ? ? ? ? ? 5 10 5 10 50
17.解: (1 )定义域为 R 关于原点对称.

f ( x) ? f ( ? x) ?
因为

1 1 1 1 1 1 2x 1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 x ?x x x 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ,

所以函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 我要去看得更远的地方
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(2) f ?( x) ?

2x ln 2 ? 0 ? f ( x) 是实数集 R 上的单调递增函数(不说明单调性扣 2 分)又函数 f ( x) 的图象不间 (2 x ? 1)2

断,在区间 (1, 2) 恰有一个零点,有 f (1) f (2) ? 0

1 1 1 1 (m ? )(m ? ) ? 0 ? ?m?? 2 5 5 , 故 函 数 f ( x) 在 区间 (1, 2) 没 有 零 点时 , 实 数 m 的取 值 范 围是 即 解之得 2 1 1 m ? ? 或m ? ? 5 2
18.解: (1)

14 分

cos A 3a ? cos C 2b ? 3c

? (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C

即 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) ,又 A,B,C 为 ?ABC 的内角,

? cos A ?

3 2

?A?

?
6
8分

A?B?
(2)由(1)知

?
6

,

? AC ? BC , C ?

2? 1 MC ? x 3 ,设 AC ?x , 则 2 ,又

AM ? 7 ,故在 ?ABC 中,

1 2 2? x sin ? 3 2 2 2 3 由 余 弦 定 理 得 ; AC ? MC ? 2 AC ? MC ? cos C ? AM , 得 x ? 2 , 故 ?ABC 的 面 积 为 2
16 分 解题过程中,要注意灵活选用正弦定理或余弦定理,注意角的范围。 19.解: (1)由题意可知 A (3 , 0) , B (3 , 2) , C (?3 , 2) , F (?1, 0) . 所以直线 AC 和直线 BF 的方程分别为: x ? 3 y ? 3 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

3 ? 3 4 x? , ( , ) ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , ? ? 5 由? 解得 ? 所以 G 点的坐标为 5 5 . 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ? ?y ? , ? 5 ?
k BF ? 1 2,
8分

6分

所以 kEG ? ?2 ,

因为 kEG ? kBF ? ?1 ,所以 EG ? BF ,

(2)由(1)知⊙ H 的圆心为 BE 中点 H (2,1) ,半径为 BH ? 2 , 我要去看得更远的地方
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所以⊙ H 方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 .

10 分

(3) 设 M 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 N 点的坐标为 (2 x0 , 2 y0 ? b) , 因为点 M , N 均在⊙ H 上,所以 ?
2 2 ? ?( x0 ? 2) ? ( y0 ? 1) ? 2 , 2 2 ? ?(2 x0 ? 2) ? (2 y0 ? b ? 1) ? 2 ,

① ②



由②-①×4,得 8x0 ? 4(1 ? b) y0 ? b2 ? 2b ? 9 ? 0 , 所以点 M ( x0 , y0 ) 在直线 8x ? 4(1 ? b) y ? b2 ? 2b ? 9 ? 0 , 又因为点 M ( x0 , y0 ) 在⊙ H 上, 所以圆心 H 到直线 8x ? 4(1 ? b) y ? b2 ? 2b ? 9 ? 0 的距离 (2 , 1) 12 分

16 ? 4(1 ? b) ? b 2 ? 2b ? 9 64 ? 16(1 ? b) 2
) ? 10 ? 4 即 (b ? 1
2

? 2



14 分

8 ? 2(b ? 1)2 ,

整理,得 (b ?1)4 ?12(b ?1)2 ? 28 ? 0 ,即 [(b ?1)2 ? 2][(b ?1)2 ?14] ? 0 , 所以 1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 ,故 b 的取值范围为 [1 ? 14,1 ? 14] . y P Q O M K H x N 16 分

解法二:过 H 作 HK ? MN 交 MN 于 K , 设 H 到直线 PM 的距离 HK ? d ,则

PK ? 3MK ? 3 MH 2 ? d 2 , PH ? PK 2 ? d 2 ? 9MH 2 ? 8d 2 ? 18 ? 8d 2 ,
又因为 PH ? 所以 18 ? 8d
2

PQ 2 ? QH 2 ? (b ? 1) 2 ? 4
? (b ? 1) 2 ? 4 , 8d 2 ? 14 ? (b ? 1)2 ,因为 0 ? 8d 2 ? 16 ,

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所以 0 ? 14 ? (b ? 1)2 ? 16 ,所以 (b ? 1)2 ? 14 , 1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 ; 解法三:因为 PH ? PM ? MH , PM ? 2MK ? 2MH ,所以 PH ? 3MH ? 3 2 所以 PH ?

PQ 2 ? QH 2 ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 3 2 ,所以 (b ? 1)2 ? 14 , 1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 .

20.解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( a ,??) 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 (2)若 k ? 2014 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) .
2 记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2ax ? x ? 2ax ln x ? 2ax g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x

?

?

?

?

?

a , ?? 上是增函数.????4 分

?

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;

令 g ?( x) ? 0 , 得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,所以

2 2 , x 2 ? a ? a ? 4a . 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) 2 2

当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .

2 ? g ( x ) ? 0, ? ? x ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, 则? 2 即 ? 22 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , ? g ?( x2 ) ? 0, ? ? x2 ? ax 2 ?a ? 0,

因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x
2

= 1,从而解得 a ? 1 ????10 分 2

2 另 解 : f ? x ? ? 2ax 即 x ? 2a ln x ? 2ax 有 唯 一 解 , 所 以 : 2a ?

x2 x2 , 令 p ? x? ? , 则 ln x ? x ln x ? x

p? ? x ? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1?

? ln x ? x ?

2

, 设 h ? x ? ? 2ln x+x ? 1 , 显 然 h ? x ? 是 增 函 数 且 h ?1? ? 0 , 所 以 当 0 ? x ? 1 时

p? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 ,于是 x ? 1 时 p ? x ? 有唯一的最小值,所以 2a ? p ?1? ? 1 ,综上: a ?
(3)当 k ? 2013 时, 问题等价于证明 x ln x ?

1 . 2

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ex e
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由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 设 m( x) ?

1 e

1 时取到, e

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , x e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.故命题成立.????16 分 e ex
不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得解。

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