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湖南师大附中2009届高三第八次月考试卷(数学理)


湖南省师大附中 2009 届高三第八次月考 理 科 数 学

时量:120 分钟

满分:150 分

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1. 定义集合 M 与 N 的

新运算: + N = {x | x ∈ M 或x ∈ N 且x ? M I N } , M = {1, 2, 3} , M 若

N = {2, 3, 4} ,则 M + N 等于(
A. {1, 2,3, 4} B. φ

) C. {2, 3} D. {1, 4} )

2.在等差数列 {an } 中,若 a1 + a5 + a9 =

π
4

,则 tan( a2 + a8 ) = (

A.

3 3

B. 3

C. 1

D. ?1

3.已知对任意实数 x ,有 f ( ? x ) = ? f ( x) , g ( ? x ) = g ( x ) ,且 x > 0 时, f ′( x ) > 0 ,

g ′( x) > 0 ,则 x < 0 时,有(
A. f ′( x ) > 0 , g ′( x ) > 0 C. f ′( x ) < 0 , g ′( x ) > 0

) B. f ′( x ) > 0 , g ′( x ) < 0 D. f ′( x ) < 0 , g ′( x ) < 0

4 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 ?ABC 顶 点 A( ?1, 0) 和 C (1, 0) , 顶 点 B 在 椭 圆

x2 y 2 sin A + sin C + = 1 上,则 的值是( 4 3 sin B
A. 1 C.

) B. 2 D.与点 B 位置有关

1 2

5.四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD = 2 , AB = 3 ,则在外接球球面上 A ,

B 两点间的球面距离是(
A.

) B.

π
6

π
3

C.

2π 3

D.

5π 6

6.设随机变量 ξ ~ N ( ? , σ 2 ) ,且当二次方程 x 2 ? 2 x + ξ = 0 无实根时的 ξ 的取值概率为

第 1 页 共 12 页

0.5,则 ? = ( A.0

) B.0.5
a

C.1

D.2

7.设 a , b , c 均为正数,且 2 = log 1 a , ( ) = log 1 b , ( ) = log 2 c ,则(
b
c
2

1 2

2

1 2



A. a < b < c

B. c < b < a

C. c < a < b

D. b < a < c

8. 已知函数 f ( x ) = 4 x ? 3 ,x ∈ R 。 规定: 给定一个实数 x0 , 赋值 x1 = f ( x0 ) , x1 ≤ 1025 , 若 则继续赋值 x2 = f ( x1 ) ,…,以此类推,若 xn ?1 ≤ 1025 ,则 xn = f ( xn ?1 ) ,否则停止赋值, 如果得到 xn 称为赋值了 n 次( n ∈ N ) 。已知赋值 k 次后该过程停止,则 x0 的取值范围是
*



) A. 45? k , 46 ? k ? ? C. 46? k ? 1, 47 ? k ? 1? ?

(

B. 45? k + 1, 46 ? k + 1? ? D. 46? k + 1, 47 ? k + 1? ?

(

(

(

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 填空题: 小题, 横线上。 横线上。 9.“ a ≠ 1 或 b ≠ 2 ”是“ a + b ≠ 3 ”成立的 “充要”、“既不充分也不必要”中的一个) . 10. lim 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、

1? 1+ x = x →0 x

11.若 Rt ?ABC 的斜边 AC 在平面 α 内,顶点 B 在平面 α 外,则两直角边 BA , BC 在平 面 α 上的射影与斜边 AC 组成的图形是 。 。

12.已知 e 是单位向量, | a + e |=| a + 2e | ,则 a 在 e 方向上的投影为

?y ≥ 0 ?y ≤ x ? 所确定的区域面积为 S ,当 0 ≤ t ≤ 1 时,记 S = f (t ) ,则 13.由线性约束条件 ? ?y ≤ 2? x ?t ≤ x ≤ t + 1 ?
f (t ) 的最大值为
。 。

14.双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为 8,则半焦距的取值范围是 15.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn =

S1 + S 2 + L + S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,…, an n

第 2 页 共 12 页

的“理想数”,已知数列 a1 , a2 ,…, a1005 的“理想数”为 2012 ,那么数列 ?1 , a1 , a2 ,…,

a1005 的“理想数”是



小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin x + cos x , f ′( x ) 是 f ( x ) 的导函数。 (1)求函数 F ( x ) = f ( x ) f ′( x ) + f 2 ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)若 f ( x ) = 2 f ′( x ) ,求

1 + sin 2 x 的值。 cos 2 x ? sin x cos x

第 3 页 共 12 页

17. (本小题满分 12 分) 某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 3 分,且停止射击; 若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已经在 150m 处,这时命中记 2 分,且 停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在 200m 处,若第三次 命中则记 1 分,并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分.已知射手甲在 100m 处击中目标 的概率为

1 ,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的. 2

(1)求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标 的概率; (2)设这名射手在比赛中得分数为 ξ ,求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ⊥ 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 的中点,已知

AB = 2 , BB1 = 2 , BC = 1 , ∠BCC1 =
(1)异面直线 AB 与 EB1 的距离;

π
3

,求:

(2)三面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值。

第 4 页 共 12 页

19. (本小题满分 13 分)

?12n(1 ≤ n ≤ 24, n ∈ N * ) ? * 某出版公司为一本畅销书定价如下: C ( n) = ?11n(25 ≤ n ≤ 48, n ∈ N ) 这里 n 表示定 ?10n(n ≥ 49, n ∈ N * ) ?
购书的数量, C ( n) 表示定购 n 本所付的钱数(单位:元) . (1)有多少个 n ,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少? (2)若一本书的成本价是 5 元,现在甲、乙两人来买书,每人至少买 1 本,甲买的书 不多于乙买的书,两人共买 60 本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?

20. (本小题满分 13 分) 已知向量 OA = (2, 0) , OC = AB = (0,1) ,动点 M 到定直线 y = 1 的距离等于 d ,并 且满足 OM ? AM = k ? (CM ? BM ? d 2 ) ,其中 O 是坐标原点, k 是参数。 (1)求动点 M 的轨迹方程;

uuu r

uuur

uuu r

uuuu uuuu r r

uuuu uuuu r r

1 时,若直线 AC 与动点 M 的轨迹相交于 A 、 D 两点,线段 AD 的垂直 2 uuuu r 平分线交 x 轴 E ,求 | EM | 的取值范围;
(2)当 k = (3)如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率 e 满足 值范围。

3 2 ≤e≤ ,求 k 的取 3 2

第 5 页 共 12 页

21. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数

f ( x) = ln(1 + x) ? x

, 数 列

{an } 满 足 : a1 =

1 2



ln 2 + ln an +1 = an +1an + f (an +1an )
(1)求证: ln(1 + x ) ≤ x ; (2)求证数列 {

1 } 是等差数列; an ? 1

(3)求证不等式: a1 + a2 + L + an < n + ln 2 ? ln( n + 2)

第 6 页 共 12 页

炎德·英才大联考高三月考试卷( 炎德 英才大联考高三月考试卷(八) 英才大联考高三月考试卷 理科数学参考答案
一、选择题: 选择题: 1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B

二、填空题: 填空题: 9.必要不充分 13. 10. ?

1 2

11.线段或钝角三角形

12. ?

3 4

14. ? 4 2 ? 4, 2

?

)

3 2

15. 2009

三、解答题: 解答题: 16.解: (1)∵ f ′( x ) = cos x ? sin x , ∴ F ( x) = f ( x) f ′( x) + f 2 ( x) ……………………………………………(2 分)

= cos 2 x ? sin 2 x + 1 + 2sin x cos x
= 1 + sin 2 x + cos 2 x = 1 + 2 sin(2 x + ) 4
∴当 2 x +

π

……………………………………………(4 分)

π

4

= 2 kπ +

π
2

? x = kπ +

π
8

( k ∈ Z )时, F ( x) max = 1 + 2 …………………………………………… 分) (6

最小正周期为 T =

2π =π 2

(2)∵ f ( x ) = 2 f ′( x ) ? sin x + cos x = 2 cos x ? 2 sin x ∴ cos x = 3sin x ? tan x =

1 3

…………………………………………… 分) (9

11 1 + sin 2 x 2sin 2 x + cos 2 x 2 tan 2 x + 1 9 11 = = = = ………… (12 分) ∴ 2 cos 2 x ? sin x cos x cos 2 x ? sin x cos x 1 ? tan x 6 3
17.解: (1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 A、B、C,三次均未命中目标的 事件为 D.依题意

1 k 。设在 x 米处击中目标的概率为 P ( x ) ,则 P ( x ) = 2 ,由 x = 100m 时 2 x 1 1 k 5000 P ( A) = ,所以 = ,k = 5000 ,即 P ( x ) = , …………………(2 分) 2 2 1002 x2 5000 2 5000 1 P( B) = = ,P (C ) = = ………………………… 分) (5 2 150 9 2002 8

P ( A) =

第 7 页 共 12 页

由于各次射击都是独立的,所以该射手在三次射击中命中目标的概率为

P = P ( A) + P ( AB ) + P ( ABC ) = P ( A) + P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) P (C )

=

1 1 2 1 7 1 95 + × + × × = 2 2 9 2 9 8 144

………………………… 分) (8

(2)依题意,设射手甲得分为 ξ ,则 P (ξ = 3) =

1 1 2 1 , P (ξ = 2) = × = , 2 2 9 9 1 7 1 7 1 7 7 49 P (ξ = 1) = × × = ,P (ξ = 0) = P ( D ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = × × = , 2 9 8 144 2 9 8 144

所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2 1 9

3 1 2
…………………………(12 分)

49 7 144 144 1 1 7 49 85 所以 Eξ = 3 × + 2 × + 1× + 0× = 2 9 144 144 48

18.解:解法一: (1)∵ AB ⊥ 平面 BB1C1C ,∴ AB ⊥ BE 又∵ E 为 CC1 的中点,∴ CE = 1 ,而 BC = 1 ,且 ∠BCC1 = 形。∴ ∠BEC = ∴ ∠BEB1 =

π
3

,∴ ?BCE 为等边三角

π
3

,∴ ∠EBB1 =

π
3

, B1 E =

3

π
2

,∴ B1 E ⊥ BE ,

∴ BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线段。 ∴异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1。 (2)∵ A1 B1 / / AB ,∴ A1 B1 / / B1 E ………………………… 分) (6 …………………………(8 分)

又∵ AE ⊥ EB1 ,∴异面直线 AE 与 A1 B1 所成的角即为二面角 A ? EB1 ? A1 的大小。 ∴ ∠BAE 即为所求。 又∵ AB =

2 ,BE = 1
BE 1 2 = = AB 2 2

………………………… (10 分) ………………………… (12 分)

∴ tan ∠BAE =

解法二: (1)建立如图所示空间直角坐标系。 由于 BC = 1 , BB1 = 2 , AB =

2,

第 8 页 共 12 页

∠BCC1 =

π
3

,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中有

B (0, 0, 0) , A(0, 0, 2) , B1 (0, 2, 0) ,

C(

3 1 3 3 , ? , 0) , C1 ( , , 0) ……………………(2 分) 2 2 2 2 uuu r uuur 3 1 3 1 3 3 , , 0) ,∴ BE = ( , , 0) , B1 E = ( , ? , 0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 , , 0) ? (? , , 0) = ? + = 0 , BE ⊥ EB1 …………… 分) 即 (4 2 2 2 2 4 4

E(

故 BE ? EB1 = (

uuu uuur r

又 AB ⊥ 面 BCC1 B1 ,故 AB ⊥ BE 。因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线段, 则 | BE |=

uuu r

3 1 + = 1 ,故异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1。 4 4

……………(6 分)

(2)由已知有 EA ⊥ EB1 , B1 A1 ⊥ EB1 ,故二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 θ 的大小为

uuu r

uuur

uuuu r

uuur

uuuu r uuuuu r

uuu r

向量 B1 A1 与 EA 的夹角。 因 B 1 A1 = BA = (0, 0, 2) , EA = ( ?

uuu r

uuu r

3 1 , ? , 2) 2 2

…………………………(10 分)

uuu uuuu r r EA ? B1 A1 2 r r , 故 cos θ = uuu uuuu = | EA || B1 A1 | 3
即 tan θ =

2 2

………………………… (12 分)

19.解: (1)由于 C ( n) 在各段上都是单调增函数,因此在第一段上不存在买多于 n 本书比 恰好买 n 本书所花钱少的问题, 一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书 比恰好买 n 本书所花钱少的现象.

C (25) = 11× 25 = 275 ,C (23) = 12 × 23 = 276 , C (25) < C (23) …………… 分) ∴ (1 C (24) = 12 × 24 = 288 ,∴ C (25) < C (24)
…………………………(2 分)

C (49) = 49 × 10 = 490 , C (48) = 11× 48 = 528 ,∴ C (49) < C (48) C (47) = 11× 47 = 517 ,∴ C (49) < C (47) , C (46) = 11× 46 = 506 ,

第 9 页 共 12 页

∴ C (49) < C (46) ,C (45) = 11× 45 = 495 , C (49) < C (45) ………………… ∴ (5 分) ∴这样的 n 有 23,24,45,46,47,48,共 6 个。 (2)设甲买 n 本书,则乙买 60 ? n 本,且 n ≤ 30 , n ∈ N ①当 1 ≤ n ≤ 11 时, 49 ≤ 60 ? n ≤ 59 , 出版公司赚得钱数 f ( n) = 12n + 10(60 ? n) ? 5 × 60 = 2n + 300 …………………(7 分) ②当 12 ≤ n ≤ 24 时, 36 ≤ 60 ? n ≤ 48 , 出版公司赚得钱数 f ( n) = 12n + 11(60 ? n) ? 5 × 60 = n + 360 …………………(8 分) ③当 25 ≤ n ≤ 30 时, 30 ≤ 60 ? n ≤ 35 , 出版公司赚得钱数 f ( n) = 11× 60 ? 5 × 60 = 360 …………………(9 分)
*

…………………(6 分)

?2n + 300,1 ≤ n ≤ 11 ? ∴ f ( n) = ?n + 360,12 ≤ n ≤ 24 ?360, 25 ≤ n ≤ 30 ?

……………………………………(10 分)

∴当 1 ≤ n ≤ 11 时, 302 ≤ f ( n) ≤ 322 ;当 12 ≤ n ≤ 24 时, 372 ≤ f ( n) ≤ 384 ; 当 25 ≤ n ≤ 30 时, f (n) = 360 。 故出版公司至少能赚 302 元, 最多赚 384 元. …………………………………… (13 分) 20.解: (1)设 M ( x, y ) ,则由 OA = (2, 0) , OC = AB = (0,1) 且 O 是原点, 得 A(2, 0) ,B (2,1) ,C (0,1) , 从而 OM = ( x, y ) ,AM = ( x ? 2, y ) ,CM = ( x, y ? 1) ,

uuu r

uuur

uuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r uuuu uuuu r r uuuu uuuu r r BM = ( x ? 2, y ? 1) , d =| y ? 1| ,根据 OM ? AM = k (CM ? BM ? d 2 )
得 ( x, y ) ? ( x ? 2, y ) = k[( x, y ? 1) ? ( x ? 2, y ? 1) ? | y ? 1|2 ] , 即 (1 ? k ) x 2 + 2(k ? 1) x + y 2 = 0 为所求轨迹方程。 ……………………………… 分) (4

1 1 1 2 2 时,动点 M 的轨迹方程是 ( x ? 1) 2 + 2 y 2 = 1 ,即 y = ? ( x ? 1) , 2 2 2 x y x ∵ AC 的方程为 + = 1 ,∴ y = 1 ? 代入 ( x ? 1) 2 + 2 y 2 = 1 , 2 1 2
(2)当 k =

x 2 x2 2 ∴ ( x ? 1) + 2(1 ? ) = 1 ,∴ x ? 2 x + 1 + 2 ? 2 x + = 1 ,∴ 3 x 2 ? 8 x + 4 = 0 , 2 2
2

∴x=

2 2 2 或 x = 2 ,∴ D ( , ) 。 3 3 3
第 10 页 共 12 页

∴ AD 的中点为 ( , ) ,∴垂直平分线方程为 y ? 令 y = 0得 x = ∴ | EM |=

4 1 3 3

1 4 = 2( x ? ) , 3 3

7 7 ,∴ E = ( , 0) 6 6

uuuu r

7 1 4 17 ( x ? )2 + y 2 = ( x ? )2 + , 6 2 3 36
………………… (8 分)



r 17 uuuu 7 ≤| EM |≤ ( 0 ≤ x ≤ 2 ) 6 6

(3)由于

3 2 ≤e≤ ,即 e < 1 ,所以此时圆锥曲线是椭圆,其方程可以化为 3 2
……………………………… 分) (9

( x ? 1)2 y2 + =1 1 1? k
2 2

2 2 a b c2 此时 e = ①当 0 < k < 1 时, = 1 , = 1 ? k , = a ? b = 1 ? (1 ? k ) = k , 2

c2 =k, a2



3 2 1 1 ≤e≤ , ∴ ≤k≤ ; 3 2 3 2
2 2

……………………………… (11 分)

②当 k < 0 时, a = 1 ? k , b = 1 , c 2 = a 2 ? b 2 = (1 ? k ) ? 1 = ?k , 此时 e =
2

c2 ?k k 3 2 1 k 1 = = ,而 ≤e≤ ,∴ ≤ ≤ 2 a 1 ? k k ?1 3 2 3 k ?1 2 1 1 1 1 。综上可知 k 的取值范围是 [ ?1, ? ] U [ , ] 2 2 3 2
…………………………………………………… (13 分)

而 k < 0 时,可解得 ?1 ≤ k ≤ ?

21.解: (1)由 f ( x) = ln(1 + x) ? x 得 f ′( x) =

1 x ?1 = ? 1+ x 1+ x

当 ?1 < x < 0 时, f ′( x) > 0 ,即 y = f ( x) 是单调递增函数; 当 x > 0 时, f ′( x) < 0 即 y = f ( x) 是单调递减函数; 且 f ′(0) = 0 ,即 x = 0 是极大值点,也是最大值点

f ( x) = ln(1 + x) ? x ≤ f (0) = 0 ? ln(1 + x) ≤ x , x = 0 时取到等号。 ……… 分) 当 (4

第 11 页 共 12 页

(2)由 ln 2 + ln an +1 = an +1an + f ( an +1an ) 得 2an +1 = an +1an + 1 , an +1 =

1 , 2 ? an

故 an +1 ? 1 =

a ?1 1 1 1 ?1 = n , = ?1 2 ? an 2 ? an an +1 ? 1 an ? 1

即数列 {

1 1 } 是等差数列,首项为 = ?2 ,公差为 ?1 ………………… (8 分) an ? 1 a1 ? 1
1 n = ? n ? 1 ? an = an ? 1 n +1

(3)由(2)可知

1 1 1 1 1 1 +1? +L+1? = n ? ( + +K+ ) 1+1 2 +1 n +1 2 3 n +1 1 1 1 n+2 又∵ x > 0 时,有 x > ln(1 + x ) ,令 x = > 0 ,则 > ln(1 + ) = ln n +1 n +1 n +1 n +1 1 1 1 3 4 5 n +1 n+2 ∴ n ? ( + +K+ ) < n ? (ln + ln + ln + L + ln + ln ) 2 3 n +1 2 3 4 n n +1 3 4 n+2 n+2 = n ? (ln × × L × ) = n ? ln = n + ln 2 ? ln(n + 2) 2 3 n +1 2
所以 a1 + a2 + L + an = 1 ? ∴ a1 + a2 + L + an < n + ln 2 ? ln( n + 2) 用数学归纳法证,酌情给分. ………………… (13 分)

第 12 页 共 12 页


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