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高中数学 3.1.1 倾斜角与斜率 课件 新人教A版必修2


第三章

直线与方程

§3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率

自 学 导 引(学生用书P61)

1.理解斜率的概念,掌握直线斜率的定义公式,会求已知直线 的斜率.

2.能用增量比的概念解析直线的斜率为正?为负?为0以及斜
率不存在的各种情况时直

线的特点. 3.理解直线的倾斜角的概念,并了解直线的倾斜角与直线斜率 之间的关系. 4.知道直线的斜率及倾斜角是与我们日常生活密切相关的,并 能用它们解释生活中的某些现象.

课 前 热 身(学生用书P61)

1.当直线l与x轴相交时,我们取_________作为基准,______ x轴正向 x轴 与________________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.并 直线l向上方向 规定:直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°,从而可得 直线的倾斜角的范围是______________. 0°≤α<180°

2.倾斜程度相同的直线,其倾斜角必_______;倾斜程度不同 相等 的直线,其倾斜角________. 不相等

3.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的
_________,即k=__________,但要注意,倾斜角是90°的直 斜率 tanα 线没有斜率,只有倾斜角不是90°的直线才有斜率,而且倾斜 角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的 倾斜程度.

4.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的斜率公式是
k=______________.
x 2 ? x1 y 2 ? y1

5.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),当AB与x轴平行或重合 时,有a2______________b2,此时k_______________0,也 = =

适合 ___________(填“适合”?“不适合”)斜率公式;当AB与y 轴平行或重合时,有a1___________b1,此时斜率 =
________________. 不存在

名 师 讲 解 (学生用书P61)

1.什么是直线的倾斜角?如何理解?

(1)直线倾斜角的定义可理解为:
当直线与x轴相交时,x轴绕交点按逆时针方向旋转与直线重

合时所成的最小正角为直线的倾斜角,当直线与x轴平行时,
规定直线的倾斜角为0°.

(2)清楚定义中的三个条件. (ⅰ)直线向上方向; (ⅱ)x轴正向; (ⅲ)0°≤α<180°.

(3)任何一条直线都有唯一的倾斜角.
(4)确定一条直线,必须具备两个条件:(ⅰ)定点;(ⅱ)倾斜角,二 者缺一不可.

2.什么是直线的斜率?如何理解? (1)定义见课前热身3.

(2)对直线斜率的理解
(ⅰ)由k=tanα知,当α=0°时,k=0,当0°<α<90°时,k>0,当 k=90°时,k不存在,当90°<k<180°时,k<0;

(ⅱ)任何一条直线的倾斜角都存在.当α=90°,斜率不存在.但
直线存在,它与x轴垂直.

3.什么是直线的斜率公式?如何理解? 直线l经过点P1(x1,y1)?P2(x2?y2). 由公式k=
y 2 ? y1 x 2 ? x1

(x2≠x1)知

(ⅰ)当x1=x2时,斜率k不存在,此时,直线l垂直x轴;
(ⅱ)当y1=y2时,k=0,此时,l平行x轴(或与x轴重合);

(ⅲ)当x1≠x2时,斜率存在且 P2公式不变,

k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

.

由表达式知交换点P1与

k ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

.

典 例 剖 析 (学生用书P62)

题型一 斜率?倾斜角的概念

例1:下列叙述中不正确的是(

)

A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都对应唯一的倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为k=tanα

解析:由于每条直线都有唯一的倾斜角.垂直x轴的倾斜角为
90°,垂直y轴的倾斜角为0°.当倾斜角为90°时,其斜率tanα 不存在,故应选D. 答案:D 误区警示:正确理解倾斜角?斜率的概念及它们之间的关系.

变式训练1:经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在
求其斜率. (1)(-1,1)?(3,2);

(2)(1,-2),(5,-2);
(3)(3,4),(2,5); (4)(2,0),(2,
答 案 : (1) k ? (2)k ? (3) k ?
3

).
? 1 4

2 ?1 3 ? ( ? 1) ? 0

?2 ? (?2) 5 ?1 5?4 2?3

? ? 1( 4 ) 倾 斜 角 ? ? 9 0 ? , 斜 率 不 存 在 .

题型二 斜率公式的应用 例2:经过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜 角为135°,求m的值.

解 :由 斜 率 坐 标 公 式 k ?
2

y 2 ? y1 x 2 ? x1

知 , 当 x 1 ? x 2时 , 公
2 2

式 成 立 .因 此 .当 m ? 2 ? 3 ? m ? m 即 2 m ? m ? 1 ? 0 , 即 m ? ? 1且 m ? ? m ? 2m ? 3
2

1 2

时 .有 ta n 1 3 5 ? ? m ? 2m ? 3
2

m ? 2 ? (3 ? m ? m )
2 2 2

2m ? m ? 1
2

? ? 1, 4 3

即 3 m ? m ? 4 ? 0 , 解 得 , m ? ? 1或 m ?

.

由前面已知m≠-1, 4 ∴m= 是
m ?

3
4 3

. 不是
m ? 4 3

误区警示:在应用斜率公式时,要注意x1≠x2.因此,本题答案
,

或m=-1,应把m=-1舍去.

变式训练2:当且仅当m为何值时,经过两点A(m,2),B(-m,2m-

1)的直线的倾斜角为60°?
解 : 利 用 斜 率 公 式 可 得 ta n 6 0 ? ? 解得m ? 3( 3 ? 1) 4 2m ? 1 ? 2 ?m ? m 即 3 ? 2m ? 3 ?2m ,

.

题型三 斜率与倾斜角的关系 例3:过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连结A(1,-2),B(2,1)的线

段总有公共点,求直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围.

分析:作出图示,连结PA?

PB,由kPA、kPB的变化来
找倾斜角α的范围.

解:连结PA?PB,kPA=-1,kPB=1,由已知l与线段AB总有公共点, ∴k∈[-1,1]. 相应倾斜角α的范围是0°≤α≤45°或135°≤α<180°. 误区警示:由斜率的范围来确定倾斜角α的范围一定要结合 图形,观察直线l的运动范围.

变式训练3:如果直线的斜率k的取值范围是0≤k<1,求它的倾

斜角的取值范围.
解:设倾斜角为α,则k=tanα.

又0≤k<1
∴0≤tanα<1 又0°≤α<180°,∴0°≤α<45°.

易错探究 例4:如图所示,已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过点P的直线l 与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的变化范围.

错 解 :由 已 知 可 得 k P B ? 5 4 范 围 是 [ ? , ]. 2 3

4 3

, k PA ? ?

5 2

, 所 以 k的 取 值

错因分析:对直线的斜率与倾斜角之间的变化关系理解不准
确.直线l是一组绕点P转动而形成的直线,点A和B是它的极端 位置,当l从PB位置逆时转到PA时,倾斜角从锐角变化到钝角, 其斜率从正数kPB到+∞,又从-∞到一个负数kPA.
正 解 :由 k PB ? (?? , ? 5 2 4 3 , k PA ? ? 5 2 知 , 斜 率 k的 取 值 范 围 是

] ? [ 4 3, ? ? ).

技 能 演 练(学生用书P63)

基础强化
1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的斜率是( A.1 C.-1或1 答案:A B.-1 D.以上都不对 )

2.如下图有三条直线l1,l2,l3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列关 系正确的是( )

A.α1>α2>α3 B.α1>α3>α2 C.α2>α3>α1 D.α3>α2>α1 答案:D

3.已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是( A.不存在 C.135° B.45° D.90°

)

解析:MN⊥x轴,∴倾斜角为90°. 答案:D

4.直线l经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是( A.45° C.45°或135° B.135° D.-45°

)

解析:k=tanα=-1,又0°≤α<180°,∴α=135°. 答案:B

5.斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值是 ( )

A.a=4,b=0
C.a=4,b=-3
解析 :依题意得 7?5 a?3

B.a=-4,b=-3
D.a=-4,b=3
? 2 ,? a ? 4 , 又 b?5 ?1 ? 3 ? 2,

? b ? ? 3 .故 a ? 4 , b ? ? 3.

答案:C

6.已知点P(3,m)在过M(2,-1),N(-3,4)的直线上,则

m=________.
解 析 :由 题 意 可 得 m ?1 3?2 ? m ?4 3?3 ,? m ? ? 2 .

答案:-2

7.已知点P(3,2),点Q在x轴上,若直线PQ的倾斜角为150°,则

点Q的坐标为________.
(3 ? 2 3 , 0 )

解 析 :? 点 Q 在 x 轴 上 , 可 设 Q 的 坐 标 为 ( x 0 , 0 ), 由 题 意 得 , 0?2 x0 ? 3 ? ta n 1 5 0 ? ? ? 3 3 , ? x 0 ? 3 ? 2 3 . ? Q (3 ? 2 3 , 0 ).

8.已知A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3),求证:四边形ABCD为平行

四边形.
证 明 :由 题 知 , k AB ? 0 ?1 1? 0 ? ? 1, k C D ? 3?2 2?3 ? ? 1, 所

以 k AB ? k CD , k BC ? k DA , 所 以 A B ? C D , B C ? D A , 所 以 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形. k BC ? 2?0 3 ?1 ? 1, k D A ? 3 ?1 2?0 ? 1,

能力提升

9.如下图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,求菱形各边和两条对
角线所在直线的倾斜角与斜率.

解:由于AD∥BC,可知AD与BC所在直线的倾斜角都为60°, 其斜率都为tan60°=
3

.

又AB∥CD,且AB与x轴重合,从而可知AB与CD的倾斜角都

为0°,其斜率都为tan0°=0.
由于AC和BD是菱形的对角线,则αAC=30°,αBD=120°,其斜 3
3

率分别为kAC=tan30°=

3 BD=tan120°=,k

.

10.已知直线l的斜率k≥-1,求其倾斜角α的取值范围. 解:当-1≤k<0时,即-1≤tanα<0,

且0°≤α<180°,∴135°≤α<180°;
当k≥0时,即tanα≥0, 又∵0°≤α<180°,∴0°≤α<90°. 综上知,直线l的倾斜角的取值范围是 [0°,90°)∪[135°,180°).

品 味 高 考(学生用书P64)

11.(北京高考)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab≠0)共线,



1 a

?

1 b

的值等于________. 1
2

解 析 :? A ? B ? C 三 点 共 线 , ? k AB ? k AC ,即 0?2 a?2 ? b?2 0?2 ,

即 ? a ? 2 ? ? b ? 2 ? ? 4, ? a b ? 2 a ? 2 b ,? a b ? 0 , ? 2 b ? 2 a ? 1,? 1 a ? 1 b ? 1 2 .

12.(2008·浙江)已知a>0,若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________.
1?
解 析 :由 题 意 可 得 ? a ? 0或 a ? 1 ? a ?a
2

2
2

2 ?1

?

a ?a
3

3 ?1

, 化 简 得 a ( a ? 2 a ? 1) ? 0 , 2.

2 . ? a ? 0 ,? a ? 1 ?


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