当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

1986年全国高中数学联赛试题及详细解析


第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A.{x|2nπ +θ <x<(2n+1) π -θ ,n∈Z} B.{x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ , n∈Z} C. x|(2

n -1)π +θ <x<2nπ -θ , ∈Z} { n D. x|2nπ +θ <x< ( 2n+1)π -θ , { n∈Z} 2 2 ⑵ 设 x 为复数,M={z|(z-1) =|z-1| },那么( )

A.M={纯虚数}

B.M={实数}

C.{实数}? M ?{复数} ? ?

D.M={复数}

2.填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分): 本题共有 4 个小题,每小题的答案都是 000 到 999 的某一个整数,请把你认为正确的答 案填在 上. ⑴ 在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13,若作一平面 与这二球面相切,且与圆柱面交成一个椭圆,则这个椭圆的长轴长与短轴长之和 是 . ⑵ 已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程 1 f(f(f(x)))= x 2 的解的个数是
x



21 世纪教育网

⑶ 设 f(x)= 于 ;

4 1 2 3 1000 , 那 么 和 式 f( )+f( )+f( )+ … +f( )的值等 x 4 +2 1001 1001 1001 1001

⑷设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4 么 x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于

5x+9y+4z .

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,那

[来源:21 世纪教育网]

第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,…,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,…) 求证:对于任何自然数 n,

P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+…+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
是一次多项式.(本题应增加条件:a0≠a1)

0

1

2

n-1

n

21 世纪教育网

3.平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染色方法将所有 的整点都染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵对 任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边 形. 证明你设计的方法符合上述要求.
21 世纪教育网

1986 年全国高中数学联赛解答
第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A. x|2nπ +θ <x<(2n+1)π -θ , ∈Z} { n B. x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ , { n∈Z} C. x|(2n-1)π +θ <x<2nπ -θ , ∈Z} { n D. x|(2n-1)π -θ <x<2nπ +θ , { n∈Z} 【答案】D π 【解析】- <θ <0,在(-π ,0)内满足 sinx<a 的角为-π -θ <x<θ ,由单位圆 2 易得解为 D.

y O

? 1

x

⑶ 设实数 a、b、c 满足 2 ?a -bc-8a+7=0, ? 2 2 那么,a 的取值范围是( ? b +c +bc-6a+6=0.

)

A.(-∞,+∞)

B.(-∞,1]∪[9,+∞)

C.(0,7)

D.[1,9]

【答案】D 2 2 2 2 【解析】①×3+②:b +c -2bc +3a -30a+27=0,?(b-c) +3(a-1)(a-9)=0,?1 ≤a≤9.选 D. b2+c2+2bc-a2+2a-1=0,(b+c)2=(a-1 )2,?b+c=a-1,或 b+c=-a+1.

⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆 C1,C2,…,C7,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点, 圆 C6 恰好经过 M 中的 6 个点, 圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点, …, 那么 M 中的点数最少为( ) A.11 B.12 C.21 D.28 【答案】B 【解析】首先,C7 经过 M 中 7 个 点,C6 与 C7 至多 2 个公共点,故 C6 中至少另有 4 个 M 中的点,C5 至少经过 M 中另外 1 个点,共有 至少 7+4+1=12 个点.

1 ⑹ 边长为 a、b、c 的三角形,其面积等于 ,而外接圆半径为 1,若 4

s= a+ b+ c,t= + + , a b c
则 s 与 t 的大小关系是 A.s>t B. s=t C.s<t D.不确定 【答案】C 1 abc 1 【解析】△= absinC= ,由 R=1,△= ,知 abc=1.且三角形不是等边三角形. 2 4R 4 ∴ 1 1 1 1 1 1 a+ b+ c + + ≥ + + = = a+ b+ c.(等号不成立).选 C.

1 1 1

a b c

ab

bc

ca

abc

4 1 2 3 1000 ⑶ 设 f(x)= x ,那么和式 f( )+f( )+f( )+…+f( )的值等于 4 +2 1001 1001 1001 1001 【答案】500 【解析】 f(x)+f(1-x)= 4 4 4 4 + 1-x = x + x x=1. 4 +2 4 +2 4 +2 4+2?4
x
1-x

x



x



以 x=

1 2 3 500 , , ,…, 代入⑴式,即得所求和=500. 1001 1001 1001 1001

⑷ 设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4

5x+9y+4z ;

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,那么

x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于

第二试 1.(本题满分 17 分)已知实数列 a0,a1,a2,…,满足 ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,…) 求证:对于任何自然数 n,

P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+…+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
是一次多项式. (本题应增加条件:a0≠a1)

0

1

2

n-1

n

2.(本题满分 17 分)已知锐角三角形 ABC 的外接圆半径为 R,点 D、E、F 分别在边 BC、 CA、AB 上,求证:AD,BE,CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是

R S= (EF+FD+DE).
2

3.(本题 16 分)平面直角坐标系中,纵横坐标都是整数的点称为整点,请设计一种染 色方法将所有的整点都染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四边 形. 证明你设计的方法符合上述要求.
21 世纪教育网


相关文章:
1986年全国高中数学联赛试题及解答
· 1986 年全国高中数学联赛解答第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 ...1 x π 【解析】 - <θ <0, 在(-π, 0)内满足 sinx<a 的角为-π-...
1998年全国高中数学联赛试题及详细解析
A,都有 n ai 3 n Fn6(Fn5(Fn4(Fn3(Fn2( Fn1(a)))=1.证明你的结论. 一九九八年全国高中数学联赛解答第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6...
1996年全国高中数学联赛试题及详细解析
1996年全国高中数学联赛试题及详细解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛 一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x +(y-1) ...
1986年全国高中数学联赛试题及解答
1986 年全国高中数学联赛试题第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴设-1<a<0,θ =arcsin...
1986年全国高中数学联赛试题及详细解析
1986 年全国高中数学联赛解答第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 分) ⑴设-1<a<0,θ =arcsin...
1999年全国高中数学联赛试题及详细解析
1999年全国高中数学联赛试题及详细解析_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档1999年全国高中数学联赛试题及详细解析_数学_高中教育_教育专区。...
1997年全国高中数学联赛试题及详细解析
100,25 1997 年全国高中数学联赛解答第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=...
1994年全国高中数学联赛试题及详细解析
证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶 点的三边颜色相同的三角形. 1994 年全国高中数学联赛解答第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 ...
1986年全国高中数学联赛试题之解答
1986 年全国高中数学联赛 冯惠愚 1986 年全国高中数学联赛试题第一试 1.选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分,每小题答对得 7 分,答错得 0 分不答得 1 ...
更多相关标签:
全国初中数学联赛1986 | 1986年高考数学试题 | 1986年高考语文试题 | 哈利波特剧情详细解析 | 镜头语言的详细解析 | 色戒剧情详细解析 | 信号详细剧情解析 | 金蝉脱壳剧情详细解析 |