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2003年全国高中数学联赛试题解答


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重合 . 故直线 A B的方程 为 Y=√  .  、   3’ 因此 B

20 0 3年 全 国高 中数 学 联 赛  试 题解 答 


两 点 的 横 坐 标 满 足 方 程 :x 一8 一1 3  x 6=0. 从  而知弦  中点的横 坐标 x

=4 3纵 坐标 Y  o /, o


4√ , / 3进而求得其中垂线方程为) 4 √  , /3 一
一   一



选 择 题 



4 3/ 3, Y=0 得P点的横坐标  /)√ 令 ,
1/   6 3.

1 .删 去 正 整 数 数 列 l ,, 中 的所 有 完  , 3… 2 全 平 方 数 , 到 一 个 新 数 列 , 个 新 数 列 的 第  得 这
20 0 3项 是 
A . 04   2 6 B .2 47 0  



4 / =1 / 即 I +4 3 6 3,  

4 .若  ∈【 5r 1 ,z/ 】贝 Y’ a (   一 z/2一r 3 ,0 =tnx+

等一 詈 c + 的大是 )n )o   最值  t + +s ) a  
A.  

C. 48 20  

D . 49 20  

答 ( . 意 到 4 =2 2 4  =2 1 . C) 注 5 0 5, 6 16,. ’  
2 6=a22 4 02 06 5= a18 211 = a21 4 91, 5 1 5=a 0 而  5 2 0. 7
— —

5  

B.  

6 堂   蹲:   6。 5       


答 ( ) 三 角 函 数 式可 变 形 为  C. 原
J:tn +2 "+c t   ) o ( , a (  R) o(  + +c s   )  

且 在 从 第 18 项 到 第 2 7 91 0 0项 之 间没 有 完 全  平 方数 , . 2 3 l l 2 l I 2=2 2 + . a0 =a9 + =a9 +2 ‘ 0 82 8 06  
2 = 2 48 . 2 0  

2 .设 口b∈R,b≠0 那 么 , 线 a , a , : I   x—Y+  

+ =0 6 和曲线  + y =a a  b的图形是 
J  ,
,  

一一 一   :  + 一  O 叫 S .   H 3


注 意 至   ∈【5r 1 , n1 】  0 一 z/ 2- 3 , 所以 r   一. 2 一 zt z/ ,z/ 】   璺  +4r 3∈【 22r 3 ,    
x +冗{ 卜 冗{  #/ ]  6∈ 4- 6 .
sn 2 i(  + 4 / 1 。   3   

\  、 、

A 
JJ   ,

B 
J  

1 一   I   I  一
C 

\.  
‘  

【 5 1 , z/ 】 同 为递 增 函 数 . 一  ̄/2 一r 3 上 故 


一   至一  
从 而 

.  
、   。  

与 c Sx+z/ )在  O( r 6 =  

万/ 时, 取最 大值 14 / . 3 Y 1 3 6 
5 已知 x y都在  问 ( 22 内, . , 一 ,) 且  =一 , 1 

人一  
D 

则数=≥+ 的小是 函 “   最值   
A. /  B 2 /1 C. 27 D. 25 85 . 4,  1 1 /  1/  

答 ( . 设 方 程 可 变 形 为 Y=似 +6 , B)题   / J/ a+ , b=I观 察 可 知 应 选 ( )   , B.   3 .过 抛 物 线 Y  =8x+2 的焦 点 F 作 倾   ( ) 角 为 6 。 的: , 此 直线 与 抛 物 线 交 于 A 0 氲线 若   两 点 , A 的 中垂 线 与  轴 交 于 P 点 , 弦 B 则线 段  的长 等 于 
A.1 /   63 C.1   6 /  3 B.8 3 /  D.  8

答 ( . 已知 得 Y:一1x, 以  D)由 / 所
4  
+ 

9  

一9 + 7   2x2—4  



4  一 2 9x 一 l      

9X4+ 3   — 7X2 3 7x



4  

3 7一(     9 2+4/ 1.    

而 ∈( 2一 1 ) 12 2 , 一 , 1 2 U(/ , )从而  9     x =

4x, /  即  =2 3时 , 1  

+4 x 取 最 小 值 l, /  2 

答 ( . 知 此 抛 物 线 焦 点 F 与 坐 标 原 点  A) 易
?3 ? 2  

函 数 U取 最 小 值 1 /. 25  6在 四 面 体 A D 中, A . BC 设 B:1 C : ,D  
,  

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√,  直线 
A.  

与 C 的距离为 2 D , 夹角为万 3 /,  
.  
/  3 /   B.12 C.1 3 D. 2 /  /   

2一+a, ()   一2a+7 +5, 使      gx = ( ) 要

B  

则 四 面 体 A C 的 体积 等于  B D

只 需 f()g  在 ( 3 上 的 图象 均 在  轴 下  x , () 1 ) , x
方 , 充 要 条 件 是 f 1 0, 3 ≤0, 0 ≤0, 其 ()   f() g )   g 3  0, () 山此 求 得 -   a 一1 ? 4   .    

答 ( . 图, C B) 如 过  
作 C / B, E/ A 以△ C   DE

1 . 知 abCd均 为正 整 数 , lg b 0已 ,,, 且 o。 


为底 面 ,C 为侧 棱 作 棱  B 柱 A F —E D , 所 求  B C 则 四面 体 积 V 等 于 上 述 棱  l
柱 体 积  的 l , 知 A   /易 3 B 与 C 的 公垂 线 MN 就 是 棱 柱 A F—E D 的  D B C

3 2,o   / lg d:5 4, a—c=9 , Ub—d= / 若 贝    答 9 . 已知 可 得 a =6 C =d, 而  3山   ,  从

a:(/ ), d/). 此 口c分 别 整 除 6d, b a2C=( c 冈 , ,  
山 a—c=9得 ( / ) 一( c =9,I b a   b a  d/ ) 最 (/ + J
d /  ( /   /  =9 从而 有     C ) a— 6 C) ,

高, /E D =6 。 所 以  C 0,
、 



 

/ = -?A? 伽  3 {去M r  
J 

I/ +   C =9 .f/ 5 b a d /  , ba= ,  

:  

.一 MA . r c  . cD . i sn/ECD  3    2




l/ —  c 1 I c 4 6n d /  , d /     .  
于 是 得 a=2 , 5b=1 5C=1, 2, 6d=3 , 以   所 2
b—d = l 5—3 2 2= 9   3.



 

.  



2.   1.

.  

3 2    

一 .   2   2  

二 、 填 空 题 

7不 等式 I I一   一 I I3 0, .    2 4  + < 的解 集  是  : .    

1. 八 个 半 径 都 为 1的球 分 两 层放 置 在  1将 个 圆 柱 内 , 使 得 每 个 球 和 其 相 邻 的 四 个  并 球相 切 , 与 圆柱 的一 个底 面及侧 面 都相 切, 且   则 此 圆柱 的 高 等于 — —  


答 (3一√ 一1/) (5 )23. 一,(5 )2U( —1 ,)原  √ / 等式 分解可 得 ( I 3   +  l1< 山此得  I 一)   ( I _ ) 0,
所求 不 等 式 的解 集 是  ( 3一 √5—1/ ) ( —1/ ,)  一,( ) 2 U( √5 ) 23 .

8设  , 是 椭 圆  / +Y / .   9   4=1 两 个  的

答  8+2. 图 , 如 山  .   已知 , 、下 层 四个 球 的  上 球 心 A。  。 C’ D。 、 、 、   和 A、B、C、D 分 别 是  上 、 下 两 个 边 长 为 2的  正 方 形 的顶 点 , 以它 们 朋  且

C 

焦点, 是椭 圆上 的点, I 且 
△  的面 积 等 于— —

IP 2 2 1则  : F  :, I I   =
.  

的 外 接 圆o D。 o D为  和 上 、 下 底 面 构 成 圆 柱 , 时 , 在 下 底 面 的 射  同 A’
影 必 是 A 的 中 点  B 在 /  A 中, A=A。 XA。 B A。 B=A B=2,  

答 4 山椭 圆 的 定 义 知  .

  f


f  +f

l6 f =,  

l2 5 = 4.  



。 ?

‘   I I  
?

I : I2 1 l = :,     I4I  I2 =, P = .  

设A B的中点为 M则 A N = 3. 。 4  
Y O :O : . M A   , N :1  O ,

又 4 +2 =(√ ), 见△      2 5 可
三 角形 , : 两 卣角边 长 为 4和 2所 以  ,
1  


是 直角 

所 以  7 =√2—1  、 , ,

A’ =  ’ 一  =√ √   . M √ N  删 2 2:  
冈 此 所 求 原来 圆 柱 的 高 为  8 +2.   1 . M ={ 化 纯 小 数 0 aa  ̄.  进  2设 , l .l2  ̄ (卜 口

{× × : . 42 4  
二 

9已知 A=  I 一 x 3 0 . {   4 + < , R ,   ∈ } B
{  卜 +a 0 一 ( +7x   0 ∈尺    l     , 2a ) +5 , 2     }. 若 A B, 实 数 a的 取 值 范 围是   则 答 -  a 一 . 4   1易得 A=(,)设 f x = 1 . ()   3

— —

制)a,取 0或 li ,, , 1 a =l, I 、 i i (=l …, — )   }  2 l ,
是  中 元 素 的 个 数 , 是   
月 — }∞  

中所 有 元 素 的 

. 

和, l   / = 则 i m( L)  
?3 ? 3  

 

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答 11 . 为 M   小 数 的 小数 点 后 均 有  /8因 中 ,位 , 除 最 后 一 位 上 的 数 字 必 为 1 , 余 各  l 而 外 其 位 上 的 数 字 均 有 两 种 选 择 ( 或 1方 法 , O ) 故 
=2 ’又  


实 虚 部 分 离 , 得  可
.  

: C S s n + sn = s  f   O  t i  f i  f i n , y: aC S f O   +2 c s t i  f b o   sn +c i  f  sn ,

冈 在 这 2 个 数 中, 数 点 后 第 ,  ’ 小 l  





Y=a 1  ) +2 (一x x+C  (  (一   b 1 ) X O

位 上 的 数 字 全 是 1而其 余 各 位 上 数 字 是 0或   , 1 有一半, , 各 故 
:  

1, ) 

_  + l (  1 +. + 1 ) .  ?  


?  



2  

1   . !   ! 1一 l l / O 
?  

( 1  





! n一 +- 1 2 .  7
l O 
? 

. 

即 Y= a 一2 ) +2 — ) + ( +c bx   ( ax a. ①  b 山 A、 C三 点  共 线 , B、 _ 易知 a 一2 +c b≠0  , 可 知 所 绘 曲线 是 抛  {   B  物线 段( 图) 如 .   易 求 得 A , D  BC 的 中点 分 别 是:   。  ~
J( / ,口+b / )  D  [ 1 4( ) )2 ,
— 

,  

? . . 

专   0+ 8 =( ) 1 月1 -8   . + 1 1     、 0
5 证 明  等 式  .

E( / , +c / ) 3 4( 6 ) 2 

所 以 直线 DE 的 方 程 

三、解答题  1. 3 2 3设 /  

y (一 )+ ( + b c. =c 口 ÷3 2— )   口  
+ -x 2 . 3<√  
。 

② 

2  + √ 厨
2  √
:  

山① 、② 联 立 消 去 Y得 
( 口+C b( 一2 ) x一1 2    / ) =0
。 。 

证 根 据 柯 西  等 式 有 

+ 厨

+/ - x , 3  i 3

?

+C一 2 b≠ 0.  

:、 ‘( . 一12 =0,. :1 2  /) . 。   / .



+ 厨

+ ,o G     / -4 Y- 2: x 6

注 意到 14<12 / 所 以抛 物线 与△  / / <3 4。
A C 中 半 行 于 AC 的 中化 线 D 有 且  有 一  B E 个 公 共 点, 点 的 坐 标 为 ‘ 此   1
,  

q 2 +34(x +2 一3 O 4 1 (+1 /) +2   +2 一    2
=  

1 <2/   9 ,- i  ̄.
应 的 复 数 为 z   + +  :  _

一 ,  + ) 对 等 其

.  

注 山于 
√2  

,三 √ 

, 2 - x不能   04  ̄
√3/   2


2  

4 

l . 张 纸 上 画 有 半 径 为 尺的 圆 D 和 圆 内  5一 定 点 A, O   a, 叠 纸 片 , 圆 周 上 某一  且 A 折 使

同时 相 等 , 以原 不 等 式 可 加 强 为  所

2  

+ 厨

+  

<  

/. 2 

点 A’ 好 与 A 点 重合 , 样 的每 一 种 折 法 ,  U 这 都 
留 下 一 条 直 线 折 痕 ,‘A’ 遍 圆 刷 上 所 有 点  ?  取 1 时, 所 有 折 痕 所 在 直  求 线 上点的集合.  
解 如 图, P 是 所  设 有 折 痕 所 在 直 线 上 点 的  集 合 的 任 意 一 点, 则存 在  圆剧 上 点 A’ 得 l A’   使 P l =

1 . A、B、C分 别 是 复 数 z :a,,   4设 o i : z

l 2 i , +c , 应 的  共 线 的 三 点( , / +b, =l i埘 z a  b C都 是 实数 ) 明: 曲线 z o O  + , , 证   =Z  S f   C 2 IO  s   + z  n tt ) AAB 中 半  zC S ti f 2 i  i∈R 与   n s C 行 于 AC 的 中位 线 { 一 个 公 共 点 . 求 出此  有 并 点.   证 设 z= +y (,   i Y∈R)贝  x ,U
+ .  y f

=aC S t+2 l2 ic s ti  + O  i f/ +b) o   s f   n (+c) i    1 is , n
?3 ? 4  

}  I P , I OI P =P + P ’ R. 从而 P +IAI OI I A I   I > 易知, 满足 l Ol  AlR的点的 P是在      P  P +l =
以 D,   为 焦 点,R 为 长 轴 长 的 椭 圆 上 . 足  满

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l O      l P +l

l >R的 点 P是 在 以 0, 为 焦 点 ,   A 尺

I   =3( d  ,   E3 3  mo 2)  

为 长 轴 长 的椭 圆 外 部 .   另 方 面, 以 0、A 为焦 点 , 为长 轴 长 的  对 尺

1; 三一o  1三 3td)   3   5. 3  3o      ( m
山 (,) 1 > 32 = , m>n f 及①可 知 
3 ;3 一 El d   .       mo 2 1 (  

椭 圆 及 其 外 部 的任 意 一 点 P, P 作 椭 圆 的 切  过 线 , 其 切 点 为 . 结 O 设 连 B并 延 长 交 圆 D于  ’   点 , 根 据 椭 圆 的 光 学 性 质 及 定 义 易 知 △  则 P A竺 △ P A’ 而 l ll ’, P在 线 段  B B , 从   =   l即
A 的 中乖 线 上 . A’  

现 设 U是 满 足 3 ;1( d   “ mo 2 )的 最 小 正  数, 对任 意满足 3 则  ;l d   的正 整 数  , ( mo 2 )  
有 U1 .   

综 上 , 有 折 痕 所 在 直 线 上 点 的集 合 是 以  所 D, 为焦 点 , 为长 轴 长 的椭 圆及 其 外 部 .   尺  

事 实 上 , “ , 山带 余 除 法 可 知 , 在  若   则 存 非 负整 数 a, 使 得  =a b, n+b, 中 0<b 其   U一1 从 而 可 推 出 3 ,  ;3 ;3 “   ;lmo 2 )  ( d ,
而 这 显 然 与 U的 定 义 矛 盾 , 以 Ul . 所       注 意 到 3 ( d   , ;9mo 2 )3 葺3mo 2 ) 3 ( d   ,  ;1( d   ,3 l mo 2 )  ;l d   , 而 可 知 m— ( mo 2 )从  

加 


试 

过 圆 外 一 点 P 作 圆 的两 条 切 线 和 一  条割 线 , 点 为  , 所 作 剂 线 交 圆 于 C、D 两  切  . 点, 在 P、D  _., 弦 C 上 取 一 点 Q, C 2f 在 q D 使 


n:4 其 中 k为 正整 数 . k,   同理 山② 推 出 3 一 ;l d   ,   ( mo 5 )  





3 El d   . 针 ( mo 5 1 

下 面 求 满 足 3 ;l d   的 正 整 数 k.   ( mo 5 1  
。 .

‘  = 1 5×2   3 +  .


‘ .

3 甜一1 1 ×2 ) :( +5   一1 ( d   , ;Omo 5 )  
5k×2    +


? . .

×5  ×2  + 

F 


) k k 1 k-2 ( ) ( _ ×5 ×2    




Omo 5 ) ( d  .  

‘ ? ?

P , B 四 点 共 圆 . , Q,  


即 5 十5 k3 k一1×2 】   七   [ +( )   +




‘ 



P .  P B, .  4 ‘ =ZP QB.  




?

‘ P  =ZQ   DA+ZDA Q  ZQ DA+LB DC .   PQ =Z Q+ZB DB DC,  

?

k k l k-2 ( ) ( ) × ’ 2   Omo 5 ) 5× “ ( d  ,  
-   — ~

k+5 [ +( k3 k一1×   + ) 2】  
5  2   Omo 5 ) : “ ( d ,.  

. ZDBQ=AQ . . DA=ZP AC.   二 、 设三 角 形 的 三 边 长 分 别 是 整 数 , ,  


‘ ? .

5 k 即 k t代入上式得  l , =5 ,
t t +2 ( t )兰Omo 5 )  +5[ 3  5 —1 】 ( d  .

. 

且>>已 / f    3  .  
.  

斋,  )中 其

从 而 有 t Omo 5 1   ( d  .  
‘ ?

{} X =X— x , [】 示 不 超 过 X的最 大 整 数 . I 】而 X 表   求 这 种 三 角 形 周 长 的最 小 值 解 由题 设 可 知 

?

k= 5 t= 5 S 3



其 中 S为 正整 数 .  

一 :  卜   ,    一 斋一  
‘ . ?

m—n 0 s, =5 0 S为正 整 数 .   同理 可 证 , 一n=5 0 , 为 正 整 数 0r   由于 f   >n 所 以 有 r>s. > ,   从 而 三 角 形 的 三 条边 分 别 为 50 十 0   
?



?

. 

.  

3 E3 3 ( d 0 1        mo 1   

50 0 s+n和 , 2 .  
?35 ?  


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