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安徽省黄山市田家炳实验中学2012—2013年高二第二学期期中考试理科数学试卷


安徽省黄山市田家炳实验中学 2012—2013 年高二第二学期期中考试

数学(理科)试卷
一、选择题(每题 5 分,共 10 小题) 1、设函数 y ? f ( x) 在 R 上可导,则

lim
?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 等于( 3?x
C.

/>) 。

A. f '(1)

B. 3 f '(1)

1 f '(1) 3

D.以上都不对

1 3 2013 ( ? i) 2 2、复数 2 的值为( ?1? i3
A.

) 。

?1

B.

1? i 2
) 。

C.

1? i 2

D.

1? i

3、若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是( a ?1
B.

A.2

2 a a ?1

C. a

D.3

4、若 f (n) ? 1 ?

1 1 1 ? ??? (n ? N ? ) ,则 n ? 1 时, f (n) 是( 2 3 2n ? 1
B.

) 。

A. 1

1 3

C. 1 ?

1 1 ? 2 3
2

D.非以上答案

5、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理数根,那么 ( ) a、b、c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是 A.假设 a、b、c 都是偶数; B.假设 a、b、c 都不是偶数; C.假设 a、b、c 至多有一个偶数; D.假设 a、b、c 至多有两个偶数。 1 6、函数 y ? x 2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2 A.(-∞ ,-1)或(0,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)

x 7、 “因指数函数 y ? a 是增函数 (大前提) , 而 y ? ( ) 是指数函数 (小前提) , 所以 y ? ( )

1 3

x

1 3

x

是增函数(结论) ” ,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错

) 。 B.小前提错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错

8、定积分

? ? sin x dx 的值是
?

?

( B.2

) C.4 D.-2

A.0

9 、设 F ( x) ? f ( x) g ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0 ,且

g (2) ? 0 ,则不等式 F ( x) ? 0 的解集是(
A. (?2, 0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (2, ??)

) B. (??, ?2) ? (0, 2) D. (?2, 0) ? (0, 2)

10、 若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是减函数, 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的 ... 图象可能是( )

二、填空题(每题 5 分,共 25 分 11、 若x ? 0, y ? 0, 且

1 4 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 x y
3 2



12 、 若 函 数 f ( x) ? x ? mx ? x ? 1 在 R 上 没 有 极 值 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 13、 。

?

2

1

(

2x ? 1 )dx = x2 ? x
x



14、过原点作曲线 f ( x) ? e 的切线,求切线方程为



15、以下说法正确的有

(填正确的序号) 。

①一个函数 f ( x) 若在 x ? x 0 处的导数为零,则这个函数 f ( x) 在 x ? x 0 处一定取得极值。 ②定积分 S=

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义就是函数 f ( x) 的曲线与直线 x ? a, x ? b 以及 x 轴所围

成图形的面积。 ③函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上的极大值就是最大值,极小值就是最小值。 ④归纳推理和类比推理都是两种合情推理,通过这两种方法推理所得到的的结论不一定正

确。 ⑤若 x ? 2, 则x ?

1 5 的最小值是 。 x 2

2012—2013 黄山市田家炳实验中学高二下学期 数学(理科)期中考试卷二卷
(满分 150 分 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 时间 120 分钟)

6

7

8

9

10

二、填空题(每题 5 分,共 25 分,请注意正确的书写,字迹工整) 11、 13、 15、 三、解答与证明题(共 6 大题,共计 75 分,解答与证明要注意正确格式以及推导步骤,否 则酌情扣分) 16、分别求解下列关于 x 的不等式 (1) x ? 8 x ? 12 (6 分)
2

12、 14、

(2) x ? 3 ? x ? 5 ? 14 (6 分)

[来源:GkStK.Com]

17、 (12 分)已知曲线 f ( x ) ? ax ? b 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是
3

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求曲线过点 ?? 1,0 ? 的切线的方程. y ? 3x ? 1 ,

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

[来源:GkStK.Com]

18、 (12 分)已知 a, b, c 是全不相等的正实数,求证:

b?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ? ? ? 3. a b c

19、 (13 分)若 a, b, c 为实数,且 a ? x ? 2 z ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2x ?

?
3

,c ? z2 ? 2y ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0.

[来源:学优高考网]

20、 (13 分)已知数列 ?a n ? 满足: a1 ? 0 , a n ?1 ? (Ⅰ)计算 a 2 , a3 , a 4 的值;

1 ? an (n ? N * ) 3 ? an

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果猜想 ?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

21、 (13 分)已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ?

ln x x

(Ⅰ)求函数 g ( x) ?

ln x 的单调递增区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围; (III)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n

2012—2013 黄山市田家炳实验中学高二第二学期期中考试 数学试题参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分,请注意正确的书写,字迹工整)

三、解答与证明题(共 6 大题,共计 75 分,解答与证明要注意正确格式以及推导步骤,否 则酌情扣分) 16、分别求解下列不等式(12 分)

(6 分)(1)解:原不等式转化为: x 2 ? 8 x ? ?12或x 2 ? 8 x ? 12 即: 2 ? x ? 6或x ? 4 ? 7或x ? 4 ? 7 (6 分) (2)解:分步讨论如下 ①当 x ? ?5时, 原不等式转化为 3 ? x ? x ? 5 ? 14 ? x ? ?8 即: ? 8 ? x ? -5 ②当 ? 5 ? x ? 3时,原不等式可化为 3 ? x ? x ? 5 ? 14 ? 8 ? 14 即: ? 5 ? x ? 3 ③当 x ? 3时,原不等式可化为x ? 3 ? x ? 5 ? 14 ? x ? 6 即: 3 ? x ? 6 综合①②③可得原不等式的解集为: ?x ? 8 ? x ? 6?

17、 (12 分) (1)解:因为 f / ( x) ? 3ax 2 所以 f / (1) ? 3a ,又因为函数在 x ? 1 处的切线方程是 y ? 3 x ? 1 所以 3a ? 3 ? a ? 1 又因为 f ( x ) ? ax 3 ? b 的图像过(0,1)
所以 b ? 1 所以 f ( x) ? x ? 1
3

(2)解:设函数在切点(—1,0)处的斜率为 k 所以 k ? f (?1) ? 3 由点斜式可得切线方程为
/

y ? 3x ? 3
18、 (12 分)证明:要证明 只需证明



全不相等, 命题得证.

20、 (13 分)解:(Ⅰ) 由

,当

时,



时,



时,

(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想 证明:(1) 当 (2)假设 那么,当 时, 成立

时( k ? 1) 猜想成立,即有 时有



时成立. 成立.

综合(1) 和(2),由数学归纳法可知



ln x 1 1 ? ? ( x ? 2) 2e x 2 x4



ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ? 4 ? ??? ? 4 ? ( 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) 4 2e 2 2 3 n 3 n
1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? ??? ? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 3 n

又∵

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n

? 1?

1 ?1 n



ln 2 ln 3 ln n 1 ? 2 ? ??? ? 4 ? 4 2e 2 3 n


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