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浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考数学及答案


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浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考数学(文)试题解析
一. 选择题: (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.集合 A ? {0,log 1 3, ?3,1, 2} ,集合 B ? { y ? R | y ? 2x , x ? A} ,则 A ?

B ?
2

A. {1} 【答案】B

B.{1,2}

C.{-3,1,2}

D.{-3,0,1}

1 1 8 3 2. 设集合 A= {( x, y) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 3x ? 2 y ? 7}, 则 A ? B ? (
【解析】解:? B ? { y ? R | y ? 2 , x ? A}={1,2,4, , }? A ? B={1,2}
x

)

(A) {x ? 1或y ? 2} 【答案】C

(B) {1, 2}

(C) {(1, 2)}

(D) (1, 2)

【解析】解:解方程组可知

?4 x ? y ? 6 ? ?3x ? 2 y ? 7

?x ? 1 故得到一个公共点,则交集为单元素点集,故选 C 解得 ? ?y ? 2
?

3.已知向量 a 、 b 的夹角为 60 ,且 a ? 2 , b ? 1,则向量 a 与向量 a +2 b 的夹角等于 ( ) (A) 150° 【答案】D (B) 90° (C) 60° (D) 30°

1

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π? π π ? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ?的对称轴方程为令2 x ? =k? ? , 3? 3 2 ? k? 5π ?x ? ? ,k ?Z 2 12 k? π π π π 对称中心为( ? , 0), 递增区间为2 x ? ? [2k? - ,[2k? + ], k ? Z 2 6 3 2 2 π 5π x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z , 当k=0时,选项C满足题意。 12 12 π π 把f ( x) ? 3sin 2 x向右平移 个单位,则有f ( x) ? 3sin (x- )故选C 2 3 3
5.已知 a, b 是实数, 则“a = b”是“a = b ”的( (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 【答案】C 【解析】解:构造函数 (B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
3 3



f ( x) ? x3 ? f ( x) ? x3在R上单调递增,故如果a=b,则a3 =b3 反之,一定成立。
6. 若直线 x ? t 与函数 y ? sin(2 x ? .

?
4

) 和 y ? cos(2 x ?

?
4

) 的图象分别交于 P, Q 两点, 则
( )

| PQ | 的最大值为

2

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8.在面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积大于 (A)

S 的概率是( 2

)

1 3

(B)

1 2

(C)

3 4

(D)

1 4

【答案】D 【解析】解:点 p 的位置最大为整个三角形,要考虑△PBC 面积等于 三角形的中位线所在线段上的点。 要是面积大于

S 时,点 p 的位置在 2

1 S ,则点 P 应该落在中位线上面,利用面积比,可知为 4 2
2

9.方程 2 x | x | ? y ? 1满足的性质为 A.对应的曲线关于 y 轴对称 C. x 可以取任何实数 【答案】D 【解析】解: 以-y 代 y,方程不变,说明关于 x 轴对称,以-x 代 x,方程改变,说明不关于 y 轴对称, 故 A,B,错误。当 x=2,方程中 y 无解,所以选 D。
3

B. 对应的曲线关于原点成中心对称 D. y 可以取任何实数

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? 2x , -2 ? x ? 0 f ( x) ? ? 10.设函数 ,若 f ( x ) 是奇函数,则当 x ? (0, 2] 2 ? g ( x) ? log5 ( x ? 5 ? x ) , 0<x ? 2
时, g ( x) 的最大值是( A. 1
4

) B. ? 3
4

C. 3
4

D. ? 1

4

【答案】C 【解析】解:因为

f ( x)是奇函数,故f (- x)=-f ( x) 当x ? (0, 2]时, x ? [?2, 0) ? ? f (- x) ? 2? x ? g (x)-log5 ( x ? 5 ? x 2 ) ? (x)=log5 ( x ? 5 ? x 2 ) ? 2? x , x ? (0, 2] g 显然函数是单调递增的,故(x) g (2) ? g ? 3 4

二.填空题: (本大题有 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分) 11. sin

29 29 25? ? ? cos(? ? ) ? tan(? )? 6 3 4

【答案】0 【解析】解:

29 29 25? 5? 1 ? ? ? cos(? ? ) ? tan(? ) ? sin(4? ? ) ? cos(10? ? ? ) ? tan(6? + ) 6 3 4 6 3 4 1 1 = + ?1 ? 0 2 2 12.当太阳光线与地面成 ? ( 0? ? ? ? 90?) 角时,长为 l 的木棍在地面上的影子最长为 sin
_____________ 【答案】

【解析】解:利用太阳光线平行投影,设木棍与底面所成的角为 ? 首先确定杆怎么放影子最长,可以想象,固定杆的一端在地面,另一端的取值在空中为一 个圆,然后光线将圆的投影到地面,仍旧是形状完全一样的圆,圆上每一个点与杆在地面 的点的连线为影子的取值范围。易看出,最长的时候影子长度 m= l

l sin ?

?cos ? + l ?sin ? /tan ? =
l sin ?

( ? + ? ) ? + ? =90°时就最大了,所以 ? =90°- ? , 可知影子的最长值为

l l (sin ? ?cos ? +cos ? ?sin ? )= ?sin sin ? sin ?

4

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【答案】④ 【解析】解: 利用已知中新定义,

? ? ? ? a =(1,2), ? b (3,4) a ? b =(4,6)命题1错 ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 y2 , x2 y1 ), b ? a ? ( x2 y1 , x1 y2 )命题2错 ? ? ? (a ? b) c ? ( x1 y2 , x2 y1 ) ? ( x3 , y3 ) ? ( x1 y2 y3 , x2 y1 x3 ) ? ? ? ? (a ? (b ? c) ? ( x2 y3 , x3 y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 y3 y1 , x1 y2 x3 ) ? ? ? ? ? ? ? a ? b) c ? a ? (b ? c)命题3错 ( ? ( ? ? ? ? (a ? b) c ? ( x1 ? x2 , y2 ? y1 ) ? c( x3 , y3 ) ? ( y3 ( x1 ? x2 ), ( y2 ? y1 ) x3 ) ? ? ? ? ? (a ? c) (b ? c) ? ( x1 y3 , x3 y1 ) ? ( x2 y3 , x3 y2 ) ? ( y3 ( x1 ? x2 ), ( y2 ? y1 ) x3 ) ? 故命题4正确。
可知只有命题④正确。 16.如图,测量河对岸 A、B 两点间的距离,沿 河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得: ∠ ACB=60 ° , ∠ BCD=45 ° , ∠ ADB=60 ° , ∠ ADC=30°,则 AB 的距离是 .

5

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【答案】 20 6 【解析】解:利用正弦定理,求解 AD 和三角形 ABD 中,余弦定理求解 AB。因为

?BCD是直角三角形,BD=CD=40,在?ACD中,利用正弦定理 CD AD 40 AD ? ? ? ? AD ? 20( 3 ? 1) 0 sin ?CAD sin ?ACD sin 45 sin1050 在?ABD中,利用余弦定理,AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD?BDcos ? AB ? 20 6
(第 16 题)
2 2 17.关于 x 的不等式 x ? 9 ? x ? 3 x ? kx 在 [1,5] 上恒成立,则实数 k 的范围为

?
3

【答案】k≤6 【解析】解:

?2 x2 ? 3x ? 9(5 ? x ? 3) ? 因为 f ( x) ? x ? 9 ? x ? 3x ? ? (1 ? x ? 3) ?3x ? 9 ?
2 2
2 2 要是不等式 x ? 9 ? x ? 3 x ? kx 恒成立,分别对于两段函数进行考虑。

9 9 3 ? x ? 5时,2x2 -3x+9 ? kx,即(k+3)? 2x+ 恒成立,只需k+3 ? (2x+ ) min x x 9 而y=2x+ 在[3,5]递增,即k+3 ? 9 ? k ? 6 当 x 9 9 当1 ? x ? 3时,3x+9 ? kx,即k ? 3+ ,? k ? (3+ ) min ? 6 x x 综上可知k ? 6
三. 解答题: (本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本题 14 分)

(1)求 f(x)的最大值及此时 x 的值 (2)求 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2011)的值 【解题说明】本试题主要考查了三角函数恒等变换的运用,以及三角函数最值问题和三角 函数周期性的运用。能很好的对于基础知识,和基本技能进行考核,属于中低难度的试题。 【答案】 (1) f ( x ) max ? (2)1005 【解析】

3 4 , x ? 4k ? ( k ? z ) 2 3

6

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(1)A=45 , B=75 (2)等边三角形 【解析】 (1)A=45 , B=75
0 0

0

0

..............7 分
/

(2)等边三角形?????7 分( 14 ) 20. (本题 14 分) 解关于 x 的不等式 ax +2x+2 ? a>0
2

【解题说明】本试题主要考核同学们对于含有参数的不等式的求解,和分类讨论思想的综 合运用。首先注意二次项系数是否为零,然后结合判别式,以及二次函数图象来完成。 【答案】 ①a=0,x> ? 1

2 2 x ? ( ? 1) ? 0 a a 2 ③0<a<1, x ? 1 ? 或 x ? ?1 a ④a=1,x≠ ?1 且 x∈R 2 ⑤a>1,x< ?1 或 x ? 1 ? a
②a<0, x ?
2

∴ ?1 ? x ? 1 ?

2 a

7

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【解析】 解:①a=0,x> ? 1 ②a<0, x ?
2

??????3

2 2 2 x ? ( ? 1) ? 0 ∴ ?1 ? x ? 1 ? ??????3 a a a 2 ③0<a<1, x ? 1 ? 或 x ? ?1 ??????3 a ④a=1,x≠ ?1 且 x∈R ??????2 2 ⑤a>1,x< ?1 或 x ? 1 ? ??????3 a

21. (本题 15 分)

? 3? x ,0 ? x ? 3 ? 已知 f ( x) ? ?1 ? x 2 , ? f (3), x ? 3 ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a ? 0 恰有一个实数解,求实数 a 的取值范围;
【解题说明】本试题考查了分段函数的单调性,以及函数与方程的思想,解决关于方程有 实数解的问题的转化与化归能力。运用导数来判定函数单调区间,是我们对于超越函数的 一般的研究方法,考查了同学们的基础知识,基本技能和思维能力的综合性。 【答案】 (1) f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 10 ? 3) , f ( x ) 单调递减区间是 ( 10 ? 3,3)

(2) a ? 【解析】

3 10 ? 3 , 或者 ? a ? 3 . 5 2

解: (1)当 x ? 3 时, f ( x) ? f (3) ?

3 是常数,不是单调函数; 5 3? x 当 0 ? x ? 3 时, f ( x) ? ,求导,得 1 ? x2 ?? 0, 0 ? x ? 10 ? 3, 2 2 x ? 6x ? 1 ( x ? 3) ? 10 ? ? f ?( x) ? ? ?? ?? 0, x ? 10 ? 3 2 2 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) ? ?? 0, 10 ? 3 ? x ? 3 ?

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 10 ? 3) , f ( x ) 单调递减区间是 ( 10 ? 3,3) . (8 ) (2)由(1)知, f (0) ? 3, f ( x) max ? f ( 10 ? 3) ?
/

1 2( 10 ? 3)

?

10 ? 3 3 , f (3) ? 2 5

方程 f ( x) ? a ? 0 恰有一个实数解,等价于直线 y ? a 与曲线 y ? f ( x) 恰有一个公共

8

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解 : 1 ) f ?( x) ? ? (

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). 依 题 意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时 有 解 : 即 x ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 有解.则 ? ? 4 ? 4a ? 0 且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个

正根. 此时, ?1 ? a ? 0 ??????????????????????5 分

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x
(2) a ? ? 列表:

x g ?( x) g ( x)

(0,1) +

1 0 极大值

(1,2)

2 0 极小值

(2,4) +

?
?

?

?
---5

5 ? g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2, g ( x)极大值 ? g (1) ? ?b ? .g (4) ? ?b ? 2 ? 2 ln 2 4


? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 解得: ln 2 ? 2 ? b ? ? ????????????5 分 4 ? g (4) ? 0 ?
9

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